從一道函數(shù)零點(diǎn)例題談起

于海軍

同學(xué)們?cè)谡n本上遇到過這樣一個(gè)問題：判斷函數(shù)fx）=x2-2x-1在區(qū)間（2，3）上是否存在零點(diǎn).這是一道比較簡單的課本例題，書中提供了兩種解法：

解法一 將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為解方程問題，根據(jù)求根公式得方程x2-2x-1=0的兩個(gè)根分別為x1=1+√2，x2=1-√2.因?yàn)?<√2<2，所以2<1+√2<3.因此函數(shù)f （x）=x2-2x-1在區(qū)間（2，3）上存在零點(diǎn)，

解法二 從函數(shù)圖象出發(fā)，如圖1，f（2）=-1<0，f（3）=2>0，而二次函數(shù)f（x）=x2-2x-1在[2，3]上的圖象是不間斷的，這表明函數(shù)圖象在區(qū)間（2，3）上一定穿過x軸，即函數(shù)在區(qū)間（2，3）上存在零點(diǎn).

我們對(duì)這個(gè)解法不妨做一些思考，讓這種解法能解決更一般的函數(shù)零點(diǎn)問題.

如果是一般的二次函數(shù)在給定區(qū)間（m，n）上有零點(diǎn)，能根據(jù)圖象得到判定方法嗎？

觀察二次函數(shù)圖象，我們發(fā)現(xiàn)如果函數(shù)圖象在（m，n）中穿過z軸一次，則函數(shù)y-f（x）在（m，n）中就唯一存在一個(gè)零點(diǎn)x0，怎么保證穿過一次呢？用f（m）f（n）<0保證就可以了，

思考一 如果二次函數(shù)y=f（x）對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，m

例1 若關(guān)于z的方程3tx2+（37t）x+4 =0有兩個(gè)實(shí)根α，β，滿足O<α<1<β<2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，

解析 函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，即為方程f（x） =0的根，由題意設(shè)f（x）=3tx2+（37t）x+4，可得 f（0）（1）<0，f（1）（2）<0解得 3t +3-7t +4<0，（3t-7t+7）（12t+6-14t +4）<0， 即7/4

如果將函數(shù)改為單調(diào)函數(shù)，零點(diǎn)能用圖象判定嗎？答案是肯定的，

思考二 一般地，如果函數(shù)f （x）在區(qū)間[m，n]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)f（m）f（n）<0，那么有且僅有一個(gè)x0∈（m，n），使得f （x0）=0，即函數(shù)y=f（x）在（m，n）中存在唯一零點(diǎn)x0.

例2 若方程2x=kx +2（k<0）在（0，1）上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍，

解析 由題意設(shè)f（x）=2x-kx-2（k<0），則函數(shù)y=f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，它有且僅有一個(gè)根的條件是f（O）.f（1）<0，得解（20-0-2）（21-k2）<0 k<0.

如果不是單調(diào)函數(shù)呢？零點(diǎn)的情況又如何呢？觀察圖象得出函數(shù)與方程中一個(gè)重要結(jié)論：

（零點(diǎn)存在定理）一般地，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的圖象是一條不間斷的曲線，且有f（m）f（n）<0，那么至少有一個(gè)x0∈（m，n），使得f（x0）=0，即y=f（x）在（m，n）中至少存在一個(gè)零點(diǎn)x0，

例3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程ex-x-2=0有一個(gè)根所在的區(qū)間為（）

A.（-1，0）

B.（0，1）

C.（1，2）

D.（2，3）

解析 由題意設(shè)f（x）=ex-x-2.函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，則代人得f（2）f（1）<0，所以選C.

同學(xué)們，如果將零點(diǎn)存在定理?xiàng)l件從f（m）f（n）0，零點(diǎn)又會(huì)出現(xiàn)怎樣的變化情況？

思考三 一般地，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的圖象是一條不間斷的曲線，且有f（m）f（n）>0，那么，函數(shù)f （x）在區(qū)間（m，n）內(nèi)不一定沒有零點(diǎn).

例4 若函數(shù)f（x）=3x2+ 2ax +1（a>0）在區(qū)間（- 1，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析 由題意知

△=（2a）2-4X3Xl>0，

-1<2a/6<1，

f（-1） =3-2a +1>0，

f（1） =3+2a +l>0，

又a>0，解得√3<以<2.

思考四 一般地，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的圖象是一條不間斷的曲線，那么當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，n）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)不一定有f（m）f（n）<0，也可以是f（m）f（n）>0.

例5 已知函數(shù)f（x） =2ax2 +2x-3.如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析 若a=O，則f（x）=2x-3.f（x）=0 x=3/2不∈[-1，1]，不合題意，故a≠0.

下面就a≠0分兩種情況討論：

（1）當(dāng)f（-1）f（1）≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，1]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即（2a5） （2a-1）≤o，解得1/2≤a≤5/2.當(dāng)f（-1）f（1）>0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)的條件是f（-1/2a）f（1）≤o或f（-1/2a）f（-1）≤0，

-1<-1/2a<1，

f（-1）f（1）>0，

解得a>5/2.

綜上，實(shí)數(shù)以 的取值范圍為[1/2，+∞）.

從以上思考結(jié)論的演變過程可以看出，研究函數(shù)零點(diǎn)的每個(gè)結(jié)論都離不了函數(shù)圖象，這是函數(shù)中一種非常重要的思想，即數(shù)形結(jié)合思想，它比具體的數(shù)學(xué)知識(shí)具有更強(qiáng)大的抽象性與概括性，所以我們加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識(shí)，有利于優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，活化知識(shí)，提高解決問題的能力.