找準“變”與“不變”，架起“平面”與“立體”

韓文美

立體幾何的翻折問題是指將一平面圖形翻折后變成空間圖形，然后根據(jù)平面圖形的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等的變化與否來研究空間圖形中各元素間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等問題.所以，解決翻折問題的關(guān)鍵是確定翻折前后的不變量與改變量.

一般情況下，在折線同側(cè)的量，折疊前后不變，“跨過”折線的量，折疊前后可能會發(fā)生變化，這是解決這類問題的關(guān)鍵.

一、翻折中的判定問題

通過平面圖形的翻折后變成空間圖形，進而研究翻折后的空間圖形中的點、線、面的位置關(guān)系，判定相關(guān)的點、線、面的平行或垂直關(guān)系，以及相應(yīng)量的變化等.

點評 平面圖形翻折為空間圖形問題的關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化，不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征，據(jù)此可加以分析與判斷.

二、翻折中的距離問題

通過平面圖形的翻折后變成空間圖形后的距離問題，往往涉及空間幾何體的表面積與體積，以及空間距離等數(shù)量關(guān)系的證明與計算等.

例2 如圖3，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.

三、翻折中的探究問題

結(jié)合平面圖形的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系研究翻折后的空間圖形中的點、線、面的開放與創(chuàng)新探索問題，包括點、線的位置確定，存在性或探究性問題等.

例4 如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點.將△ADE沿DE翻折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖5.

（1）求證：DE∥平面AlCB；

（2）求證：A1F⊥BE；

（3）線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由.

分析 （1）由D，E分別為AC，AB的中點，通過線線平行的轉(zhuǎn)化，易證DE∥平面AlCB；

（2）由題中線線垂直可證DE⊥平面A1 DC，進而有DE⊥A1F，結(jié)合線面垂直的判定可證A1F⊥平面BCDE，進而得到對應(yīng)的線線垂直關(guān)系；

（3）分別取A1C，A1B的中點P，Q，可得PQ∥BC，平面DEQ即為平面DEP，結(jié)合（2）中的線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，利用線線垂直關(guān)系來證明對應(yīng)的線面垂直關(guān)系，進而得以解決存在性問題.

證明 （1）因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DE∥BC，

義因為DE 平面AlCB，BC 平面A1CB，所以DE∥平面AlCB.

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC，

所以DE⊥A1D，DE⊥CD，

義A1D ∩ CD=D，所以DE⊥平面A1DC，

而A1F 平面A1DC，所以DE⊥A1F，

又因為A1F⊥CD，CD∩ DE=D，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.

（3）線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.

理由如下：如圖6，分別取AlC，AiB的中點P，Q，則PQ∥BC，

又因為DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即為平面DEP，

由（2）知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C，

又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，

所以A1C⊥DP，所以A1C⊥平面DEP，從而A1C⊥平面DEQ，

故線段A1B上存在點Q，使得AlC⊥平面DEQ.

點評 在解決翻折中的開放、創(chuàng)新或探究性問題時，一般通過先確定存在性、位置關(guān)系等開放性結(jié)論，再通過合理的推理與分析來說明.而正確的翻折處理、直觀圖的判定以及科學的推理論證都是必不可少的.

立體幾何的翻折問題背景簡單，立意深遠，對考生的空間想象能力要求很高，可以有效改善同學們對立體幾何的思維定勢，構(gòu)造空間立體幾何結(jié)構(gòu)直觀圖，使靜態(tài)數(shù)學動態(tài)化，優(yōu)化思維品質(zhì).