關(guān)于定積分計算方法與技巧的再補(bǔ)充

馬艷麗，褚正清，李海霞，聶東明

（安徽新華學(xué)院通識教育部，安徽合肥230088）

高等數(shù)學(xué)微分學(xué)中的一個重要部分就是定積分的概念和計算，教學(xué)的重點就是熟練地掌握定積分的計算，它也是教學(xué)中的一個難點。在學(xué)習(xí)定積分的計算中，最重要的是掌握它的運算方法與應(yīng)用技巧。定積分計算中常用的計算方法有基本性質(zhì)、基本公式、換元積分法和分部積分法，簡單的還有定積分的幾何意義、利用函數(shù)的奇偶性和查積分表等[1-2]。但有些定積分的計算需要一些特殊的方法與技巧，這樣可以大大減少計算時間，提高運算效率。本文從另外9個方面對定積分的計算方法與應(yīng)用技巧進(jìn)行了補(bǔ)充和探討，并結(jié)合相應(yīng)的例題給出每種方法的解題思路，以更好地掌握和應(yīng)用這些方法，從而達(dá)到費力小、收效大的學(xué)習(xí)效果。

1 利用方程式計算積分

在計算過程中，有時需要通過換元積分和分部積分等列成一個方程或方程組進(jìn)行求解定積分。

2 利用消項法計算積分

對于某些不易計算的定積分，在通過一系列變形之后，積分的某些部分相互抵消從而得到它們的值。對于定積分，一種計算方法一般情況下只能嘗試著去使用。

3 利用反函數(shù)法計算積分

定理1[3]若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且是嚴(yán)格單調(diào)的，其反函數(shù)是，則

定理2[3]設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可積，若f（x）在[a，b]上存在反函數(shù)，函數(shù)g（x）在閉區(qū)間[a，b]上可積且存在原函數(shù)]上可積，則

解 令f（x）=ln x，則f（1）=0，f（e）=1，其反函數(shù)為。

再令 g（x）=x8，它的一個原函數(shù)為，則，根據(jù)定理 2 知

4 利用二重積分計算積分

對于二重積分的概念，需要進(jìn)行逆向思維，對于某些定積分，可以先轉(zhuǎn)化成二重積分，然后再進(jìn)行運算。

5 利用定積分的有關(guān)公式簡化計算積分

在一些特殊情況下，運用一些特殊的公式和技巧可以使定積分的計算大大簡化，并且可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)他們進(jìn)行積極思考，例如[4-6]：

（1）若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則：

6 利用變量代換計算積分

對于一些定積分，其被積函數(shù)的原函數(shù)是非初等函數(shù)，所以用牛頓萊布尼茨公式不能直接計算，但可通過變量代換來求值計算積分值[7]。變量代換在定積分的計算中很常見，有根式代換、倒數(shù)代換等，技巧性比較強(qiáng)，解無定法。

7 利用導(dǎo)數(shù)計算積分

8 利用遞推公式計算積分

利用遞推公式計算定積分，此種方法比較常用，在許多課本中都有所介紹。特別地，當(dāng)被積表達(dá)式中包含自然數(shù)時，這種方法更加有效。

9 利用含參變量的積分計算積分

在定積分的計算過程中，偶爾可以將參變量引入到被積函數(shù)中，再根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)來計算定積分。用此種方法計算時，涉及到的理論知識比較多，比如一致收斂性等內(nèi)容，技巧性也比較大，使用時要注意條件。

如何學(xué)好定積分及其計算方法，這是初學(xué)者對于積分學(xué)內(nèi)容首先要面對的問題。本文詳細(xì)介紹了高等數(shù)學(xué)中求解定積分的一些常用方法及解題技巧，正確使用這些方法可以使定積分的計算更加簡單、容易。