用愛因斯坦固體模型理解熵的微觀含義

柳瀟凡

熵在物理學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念。通過對(duì)熵的深入了解，我們對(duì)于熱力學(xué)中物質(zhì)的演化過程將更加清楚。并且隨著科技的進(jìn)步，熵這一原本局限于實(shí)驗(yàn)室的概念，也流傳到了我們的日常生活中，熵這一名詞已經(jīng)進(jìn)入了環(huán)保、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)等諸多行業(yè)。為了更好地了解熵的概念，本文介紹了熵的宏觀定義與微觀定義，然后在愛因斯坦固體模型中具體計(jì)算相關(guān)的熵情況，同時(shí)介紹了熵的微觀與宏觀定義的等價(jià)性。

1 熵的定義

1.1 克勞修斯關(guān)于熵的宏觀定義

若考慮工作物質(zhì)吸收的能量為正，放出能量為負(fù)，則上述式子可改寫為：

由此在工作物質(zhì)經(jīng)歷1次循環(huán)中，比熱容的代數(shù)和為零，也可以證明出：

因此在圖2由A→B→A的過程中，

由此可得：

通過上式即可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其初末態(tài)確定時(shí)比熱容的代數(shù)和唯一確定與過程無關(guān)。這一狀態(tài)函數(shù)被克勞修斯定義為熵，用S表示。

圖1

圖2

1.2 玻爾茲曼關(guān)于熵的微觀定義

20年后，玻爾茲曼從統(tǒng)計(jì)力學(xué)的角度對(duì)熵進(jìn)行了微觀定義，在任意的宏觀狀態(tài)下，熵與該宏觀狀態(tài)下的微觀狀態(tài)數(shù)的自然對(duì)數(shù)成正比。后來普朗克將這個(gè)關(guān)系寫為：

2 愛因斯坦固體模型與相關(guān)熵的定量計(jì)算

由于能夠簡單算出微觀狀態(tài)數(shù)的狀態(tài)模型極少，此處我只分析愛因斯坦提出用于描述簡單晶體熱學(xué)性質(zhì)的固體模型。該模型可等效成1個(gè)由相同的量子諧振子組成的系統(tǒng)，每個(gè)粒子有3個(gè)自由度，每個(gè)自由度上都可以看作是1個(gè)諧振子，這樣每個(gè)粒子就等效于成3個(gè)自由諧振子。而每個(gè)諧振子的能量是量子化的，并且其能量是相對(duì)于基態(tài)能量的某個(gè)能量單位的整數(shù)倍。通過了解愛因斯坦固體的微觀狀態(tài)數(shù)，可以簡單計(jì)算相應(yīng)的熵值。

我們不妨假設(shè)下述的1個(gè)愛因斯坦固體，其振子數(shù)為3，系統(tǒng)總能量U為4，當(dāng)其總能量為4時(shí)，其能量分配方式共有15種，分別為（4,0,0），（3,1,0），（3,0,1），（2,2,0），（2,1,1），（2,0,2），（1,3,0），（1,2,1），（1,1,2），（1,0,3），（0,4,0），（0,3,1），（0,2,2），（0,1,3），（0,0,4）。當(dāng)其總能量為3時(shí)，其能量分配方式共有10種，分別為（3,0,0），（2,1,0），（2,0,1），（1,2,0），（1,1,1），（1,0,2），（0,3,0），（0,2,1），（0,1,2），（0,0,3）。當(dāng)其總能量為2時(shí)，其能量分配共有6種，分別為（2,0,0），（1,1,0），（1,0,1），（0,2,0），（0,1,1），（0,0,2）。當(dāng)其總能量為1時(shí)，其能量分配共有3種，分別為（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1）。當(dāng)其總能量為0時(shí)，其能量分配有1種，為（0,0,0）。

觀察上述數(shù)據(jù)，不難得出規(guī)律N個(gè)諧振子的愛因斯坦固體，在總能量為U的情況下，其微觀狀態(tài)數(shù)為：

我們可以換個(gè)角度看待該式，將量子化的1份能量看作1個(gè)小球，并使用1條豎線來分隔2個(gè)諧振子，則問題轉(zhuǎn)化為在小球間插入2塊隔板，使小球分為3份。

通過以上我知道了一個(gè)孤立的愛因斯坦固體的微觀狀態(tài)數(shù)，為了更加透徹地理解相互作用系統(tǒng)的熵值變化，再來看2個(gè)愛因斯坦固體的情況，設(shè)有A、B的2個(gè)愛因斯坦固體，初始能量為U1、U2，含有N1、N2個(gè)振子，則系統(tǒng)總能量為U= U1+ U2,而U在能量交換過程中不變。又因?yàn)椋珹、B的2個(gè)固體之間只存在比較弱的相互作用，所以可以將它們看成相對(duì)獨(dú)立的2個(gè)固體，故?，F(xiàn)假設(shè)在2個(gè)愛因斯坦固體組成的系統(tǒng)中，N1=N2=3，U=U1+U2=9，則可得到表1的數(shù)據(jù)。

表1

圖3

而當(dāng)N1=N2=100，U=U1+U2=120時(shí)，又有圖4。

圖4

3 關(guān)于熵的2種描述的一致性

S與S1、S2的關(guān)系如圖5所示（其中橫坐標(biāo)代表U1）。

圖5

由圖像可知，當(dāng)S1曲線與S2曲線斜率的絕對(duì)值相同時(shí)，S曲線取到峰值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多，處于最可能的宏觀狀態(tài)，且基本不再有能量流動(dòng)。

此時(shí)滿足函數(shù)關(guān)系

又∵ U=U1+U2

又∵U為常數(shù)

由此我們也可以看出熵的宏觀與微觀定義的一致性。根據(jù)熱力學(xué)第一定律,而此處體積不變，可將做功部分看作為零，故，根據(jù)克勞修斯的熵的定義，，而根據(jù)玻爾茲曼的定義，上式仍成立，這極好的驗(yàn)證了熵的宏觀、微觀定義的一致性。

4 結(jié)語

雖然19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的熱力學(xué)第一定律作為物理科學(xué)的重大發(fā)現(xiàn)之一，并備受推崇，但是對(duì)于熱力學(xué)第二定律，人們的重視程度卻一直不夠。然而，在20世紀(jì)，熵理論的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了經(jīng)典熱力學(xué)的范疇。它不僅在非生物界，而且在生物界以及經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等學(xué)科的研究和應(yīng)用中都顯現(xiàn)出廣闊的發(fā)展前景,因此,進(jìn)一步對(duì)熵的研究很有必要。從克勞修斯的宏觀定義中，我了解到熵作為自發(fā)過程進(jìn)行方向的標(biāo)志，在系統(tǒng)自發(fā)演化的過程中，總是滿足熵增原理。在愛因斯坦固體中，可以清楚地看到系統(tǒng)的熵與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)有著密切的聯(lián)系，孤立的與外界沒有相互作用的系統(tǒng)，總是從微觀狀態(tài)數(shù)少的熵較小的狀態(tài)變化到微觀狀態(tài)數(shù)大的熵較大的狀態(tài)，而不會(huì)從熵大的狀態(tài)向熵小的狀態(tài)去變化發(fā)展。