基于永磁同步直線電機(jī)的新型滑?？刂撇呗匝芯?/h1>

2018-11-16 01:25:16

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關(guān)鍵詞：低通濾波器滑模永磁

北京信息科技大學(xué)，北京100192

一、引言

在高精度快速進(jìn)給的數(shù)控機(jī)床中，傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機(jī)加滾珠絲杠已難以滿足大推力、快速進(jìn)給的性能要求，永磁同步直線電機(jī)（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）相對(duì)于傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機(jī)加滾珠絲杠的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有輸出力矩大、響應(yīng)速度快、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，已在數(shù)控機(jī)床主軸的直線進(jìn)給驅(qū)動(dòng)中取得了非常廣泛的應(yīng)用。

直線同步電動(dòng)機(jī)是由相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī)演化而成，永磁直線同步電機(jī)與永磁旋轉(zhuǎn)同步電機(jī)類似，在動(dòng)子通入三相電流后，在氣隙中產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)，只是這個(gè)磁場(chǎng)是沿直線平移而不是圓形旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，稱為行波磁場(chǎng)。行波磁場(chǎng)和定子永磁體相互作用產(chǎn)生電磁推力。由于磁極磁場(chǎng)由永磁體提供，磁極動(dòng)子無(wú)需外加電源勵(lì)磁，使電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)得到簡(jiǎn)化，電機(jī)的整體效率提高，但磁極磁場(chǎng)不可調(diào)。

但是由于直線電機(jī)本身結(jié)構(gòu)的原因，其兩端磁路斷開(kāi)并產(chǎn)生較大畸變，加之機(jī)械安裝、制造精度、定子下線等問(wèn)題，使得動(dòng)子和定子之間的間隙不均，使得永磁同步直線電機(jī)產(chǎn)生較大的波動(dòng)力，造成直線進(jìn)給速度的波動(dòng)，嚴(yán)重影響加工精度。

文獻(xiàn)[1]分析了直線電機(jī)參數(shù)的非線性引起的波動(dòng)力，并用自適應(yīng)內(nèi)?？刂茖?duì)其進(jìn)行補(bǔ)償提高了控制精度，文獻(xiàn)[2,3,8,9]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、推力觀測(cè)器等控制方法和滑?？刂葡嘟Y(jié)合，明顯削弱了抖振問(wèn)題。文獻(xiàn)[10-13]對(duì)辨識(shí)補(bǔ)償波動(dòng)力進(jìn)行了大量研究，取得了明顯的成果，但是所有研究都是基于波動(dòng)力表現(xiàn)出來(lái)之后進(jìn)行的補(bǔ)償。

由于滑?？刂撇恍枰刂茖?duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，且具有快速響應(yīng)和較強(qiáng)的魯棒性，所以本文在分析波動(dòng)力產(chǎn)生的數(shù)學(xué)機(jī)理的基礎(chǔ)上，用新型的電流滑模控制器抑制PMLSM非線性電參數(shù)引起的波動(dòng)力的影響，仿真結(jié)果表明了該方法的優(yōu)越性和有效性。

二、永磁直線同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

三相永磁同步直線電機(jī)的數(shù)學(xué)模型首先經(jīng)過(guò)Clark變換和Park變換得到d-q坐標(biāo)系（如圖1）下的PMSLM的數(shù)學(xué)模型，以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩電流和永磁體磁鏈的解耦，其變換矩陣為[5]：

式中，θe—電角度。

d-q坐標(biāo)系下的PMLSM的數(shù)學(xué)模型[1]為：

式中，ud、uq—d-q軸定子電壓分量；

id、iq—d-q軸定子電流分量；

R—定子電阻；

Ld、Lq—d-q軸定子電感；

τ—定子極距；

ψf—永磁體磁鏈；

ωr—電角速度；

ξd、ξq—d-q軸電機(jī)參數(shù)非線性對(duì)應(yīng)的電壓分量。

由于PMLSM參數(shù)本身的非線性以及受系統(tǒng)工況等未知的影響因素，造成對(duì)d-q軸電壓擾動(dòng)分量ξd、ξq，其可以表示為：

式中，ΔR、ΔLd、ΔLq、Δψf—分別為電機(jī)參數(shù)的非線性的變化量。

正是由于電機(jī)這些參數(shù)的非線性變量，導(dǎo)致當(dāng)電機(jī)的輸入電壓一定的情況下，會(huì)出現(xiàn)電流的波動(dòng)，進(jìn)而產(chǎn)生力的波動(dòng)。由于PMLSM這些電參數(shù)的非線性不宜測(cè)得，所以視這些參數(shù)的非線性為未知擾動(dòng)，根據(jù)文獻(xiàn)[4,6]可知，PMLSM力的周期性波動(dòng)，同時(shí)電機(jī)電參數(shù)的非線性也是位置的周期性函數(shù)，其干擾主要作用在伺服系統(tǒng)中的電流環(huán)中，所以PMLSM的伺服系統(tǒng)中的電流環(huán)控制要有很強(qiáng)的抗擾性、魯棒性、快速響應(yīng)的能力。

三、電流環(huán)滑?？刂破?/h2>

1、狀態(tài)空間方程

在電流環(huán)控制系統(tǒng)中，定義d-q軸的電壓ud、uq為控制輸入，定子電流id、iq的誤差為狀態(tài)變量，表示為 ：

由式（2）、式（3）可得電流環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

其中，視E1、E2為外部擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)的總擾動(dòng)，所以這就要求電流環(huán)控制器要有較強(qiáng)的抗擾性、魯棒性和快速響應(yīng)的能力。

2、滑模面設(shè)計(jì)

如果設(shè)計(jì)成普通的滑模面，在跟蹤指定信號(hào)時(shí)，控制系統(tǒng)遇到外部擾動(dòng)時(shí)，可能會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生靜差，致使系統(tǒng)無(wú)法達(dá)到較高性能指標(biāo)的要求。所以選擇積分滑模面，既可以使?fàn)顟B(tài)變量不會(huì)出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)，提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)還能減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提升控制精度。但是當(dāng)系統(tǒng)突加給定或突然加大外部擾動(dòng)時(shí)，致使出現(xiàn)積分飽和的現(xiàn)象，使系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)、振蕩，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以本文使用積分分離的積分滑模面，即當(dāng)系偏差大于給定閥值時(shí)，消除積分的作用，以避免積分環(huán)節(jié)出現(xiàn)飽和效應(yīng)，其積分滑模面可表示為：

式中，ed(max)、eq(max)—分別代表d軸、q軸電流積分分離滑模面的閥值；

a1、a2—待定正參數(shù)。

3、趨近律設(shè)計(jì)

在20世紀(jì)90年代高為炳院士提出趨近律的概念，其典型的趨近律由等速趨近律、變速趨近律、指數(shù)趨近律、一般趨近律等。

其中指數(shù)趨近律可表示為：

式中，η—指數(shù)趨近律系數(shù)；

ε—等速趨近律系數(shù)。

單獨(dú)的指數(shù)趨近律會(huì)使滑模帶成為帶狀，最后不能趨近零點(diǎn)，使系統(tǒng)在趨近原點(diǎn)附近產(chǎn)生抖振，激發(fā)高頻未建模特性。雖然引入了等速趨近律，但是過(guò)大的ε會(huì)增加趨近運(yùn)動(dòng)過(guò)程的抖振，此方法滑模面上的運(yùn)動(dòng)存在速度和抖振的矛盾。所以本文采用一種時(shí)變切換增益系數(shù)的新型指數(shù)趨近律，其可以表示為：

式中，σ是一個(gè)較小的正數(shù)。

所以可以保證時(shí)變切換增益系數(shù)ε′永遠(yuǎn)小于原切換系數(shù)ε，從而可以使系統(tǒng)在滑模面運(yùn)動(dòng)時(shí)有效的削減抖振現(xiàn)象；與此同時(shí)ρ(x)還會(huì)隨著狀態(tài)變量x的減小而趨近于0，這樣就可以保證系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)最終可以收斂于原點(diǎn)。

4、優(yōu)化切換函數(shù)

正是由于存在切換函數(shù)sgn(s)才是控制系統(tǒng)有較強(qiáng)的抗擾性，但是由于其切換特性造成高頻抖振。為了防止其高頻抖振，在控制器中采用平滑函數(shù)con(s)代替式（14）中的符號(hào)函數(shù)，con(s)可表示為：

式中，Δ是一個(gè)較小的正數(shù)。

采用平滑函數(shù)con(s)的本質(zhì)是：當(dāng)s較大時(shí)，其滑模控制近似切換控制，加快趨近運(yùn)動(dòng)的速度；當(dāng)s較小時(shí)，采用連續(xù)的反饋控制，以此來(lái)降低控制系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)的時(shí)候快速切換產(chǎn)生的抖振。但是當(dāng)Δ太小的話，其效果不好，當(dāng)Δ太大的話，又會(huì)影響趨近運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，所以使用平滑函數(shù)的時(shí)候需要權(quán)衡利弊選取Δ的值。

5、求取控制律

結(jié)合式（11）、式（12）、式（14）、式（16），將E1、E2視為擾動(dòng)，可以求得新型指數(shù)趨近律的電流環(huán)的滑模控制律：

6、魯棒性分析

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)，滑動(dòng)模態(tài)和趨近模態(tài)的存在性與可達(dá)性判據(jù)為：

其中，—d軸電流環(huán)控制器中指數(shù)趨近律函數(shù)中的等速趨近律系數(shù)；

η1—指數(shù)趨近律系數(shù)。

由式（20）可知，只要滿足ε′1-E1≥0，就可以滿足系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)和趨近模態(tài)的可達(dá)性與存在性條件。同理亦可驗(yàn)證q軸的穩(wěn)定性。

7、低通濾波器

雖然通過(guò)使用平滑的切換函數(shù)代替了符號(hào)函數(shù)，但是電流環(huán)滑?？刂破鞯妮敵鲆廊粫?huì)存在較大的噪聲，為了減小滑?？刂戚敵鲈肼暤母蓴_，通常情況下會(huì)在控制器的輸出連接一個(gè)低通濾波器，對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行濾波：

式中，τ—濾波器時(shí)間常數(shù)。

濾波器時(shí)間常數(shù)的值越大，其輸出波動(dòng)越小，但是會(huì)增加系統(tǒng)的延遲時(shí)間，反之如果濾波時(shí)間常數(shù)越小，其濾波效果不好，所以在設(shè)計(jì)低通濾波器時(shí)間常數(shù)的時(shí)候要權(quán)衡以上兩點(diǎn)。

四、仿真與結(jié)果分析

在Simulink環(huán)境下搭建伺服系統(tǒng)的仿真模型。PMLSM的參數(shù)如下：定子相電阻R=0.7Ω，直軸電感Ld=0.013H，交軸電感Lq=Ld，永磁體磁鏈ψf=0.046Wb，極對(duì)數(shù)Pn=10，動(dòng)子長(zhǎng)度L=0.2m，動(dòng)子質(zhì)量m=0.01kg，其速度環(huán)全部采用PI控制，本文針對(duì)不同方法的電流環(huán)控制器的抗擾性、魯棒性進(jìn)行討論。

圖2是考慮PMSLM電參數(shù)非線性因素帶來(lái)的電壓擾動(dòng)的情況下電流環(huán)傳統(tǒng)PI控制、傳統(tǒng)滑模控制、新型滑模控制的速度響應(yīng)，可見(jiàn)傳統(tǒng)的滑?？刂葡啾萈I控制對(duì)電機(jī)參數(shù)的非線性的不良影響，有較好的抑制效果，但是依然存在小幅的高頻抖振，采用新型的滑模控制明顯消弱了速度的高頻抖振。

圖3是電流環(huán)PI控制、新型滑模控制PMLSM的三相電流響應(yīng)曲線，可以看出新型的電流環(huán)滑?？刂戚^PI控制的三相電流平穩(wěn)度非常好，因此也降低了電機(jī)能量的損耗。

圖4是電流環(huán)滑?？刂平?jīng)低通濾波器前后的輸出，可見(jiàn)其經(jīng)過(guò)低通濾波器之后，明顯消弱了電流環(huán)輸出的抖振，因此也減弱了驅(qū)動(dòng)器計(jì)算和開(kāi)關(guān)管的負(fù)擔(dān)。

圖5表示當(dāng)PMSLM加載時(shí)的速度響應(yīng)曲線，可見(jiàn)電流環(huán)采用新型的滑?？刂坪蚉I控制，伺服系統(tǒng)依然擁有較好的抗擾性，響應(yīng)速度。

五、結(jié)語(yǔ)

為了解決數(shù)控機(jī)床主軸進(jìn)給驅(qū)動(dòng)中隱極PMLSM電參數(shù)的非線性引起的波動(dòng)力不良影響，本文提出了新型滑?？刂破骷拥屯V波器的電流環(huán)控制器。本文的滑?？刂破鞯幕Ｃ娌捎梅e分分離的滑模面消除傳統(tǒng)滑模面的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)還消弱了積分帶來(lái)的超調(diào)的問(wèn)題；采用時(shí)變?cè)鲆嫦禂?shù)的指數(shù)趨近律和平滑切換函數(shù)解決了趨進(jìn)速度和滑動(dòng)模態(tài)抖振之間的矛盾；采用低通濾波器減弱了電流環(huán)滑?？刂戚敵龅亩墩穹?。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，證明了新型的電流環(huán)滑模控制的優(yōu)越性和有效性。

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