基于一維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法研究與分析

福建船政交通職業(yè)學(xué)院 朱 婧

隨著計(jì)算機(jī)信息網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和圖形圖像處理技術(shù)的高速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和圖形圖像技術(shù)的高度集合，已經(jīng)成為互聯(lián)網(wǎng)傳播中不可或缺的手段之一，也正是它們的不斷發(fā)展使得人們之間的通信愈來(lái)愈便捷。而隨之而來(lái)的弊端也日益突出，圖像信息合成、圖像信息篡改等情況也頻頻發(fā)生，如何在當(dāng)今信息技術(shù)高速發(fā)展的社會(huì)，能讓網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和圖形圖像技術(shù)更好的具有保密性、安全性，這個(gè)問(wèn)題就成為近些年來(lái)信息安全技術(shù)領(lǐng)域里的熱點(diǎn)。本文就是基于一維混沌理論對(duì)圖形圖像進(jìn)行加密技術(shù)的研究與分析，具有一定的研究意義。

引言：混沌理論是非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中一種很特別的方式，在自然界和社會(huì)科學(xué)界的各個(gè)領(lǐng)域中都似乎可以看見(jiàn)它的身影。它對(duì)一些初始值、密鑰大小和隨機(jī)的偏好卻有著很強(qiáng)的敏感性，所以這些參數(shù)的變化也就會(huì)對(duì)圖形圖像的加密、解密產(chǎn)生不同的變化。現(xiàn)在的多媒體圖形圖像越來(lái)越多樣化，不再像傳統(tǒng)的圖形圖像一樣單調(diào)規(guī)則化，它開(kāi)始變得多元化，信息存儲(chǔ)量大，安全性變高，這些傳統(tǒng)的加密方式都無(wú)法滿(mǎn)足它的需求。因此，在這樣的環(huán)境下，混沌算法開(kāi)始推廣于多媒體信息的加密和解密過(guò)程中，它的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)符合現(xiàn)代多媒體圖形圖像的發(fā)展趨勢(shì)，它在多媒體信息隱藏的實(shí)例也引起了很多研究者的關(guān)注，使用它對(duì)多媒體加密技術(shù)也得到了迅速的發(fā)展。

目前主流的混沌系統(tǒng)主要分兩類(lèi)：一種是低維混沌系統(tǒng)，另一種是高維混沌系統(tǒng)。低維混沌系統(tǒng)如一維混沌系統(tǒng)，它則是通過(guò)一個(gè)初值變量值和混沌參數(shù)進(jìn)行加密解密，它的算法例如有Logistic、Sine、Tent映射等，這種的算法結(jié)構(gòu)和混沌軌跡相對(duì)簡(jiǎn)單。本文也是通過(guò)對(duì)一維混沌系統(tǒng)中的Logistic算法理論為依據(jù)，對(duì)一張1024*760圖片為例進(jìn)行研究，分析它通過(guò)初始值和參數(shù)如何對(duì)圖像進(jìn)行加密解密的，分析它對(duì)于一些參數(shù)的變化又會(huì)產(chǎn)生出怎樣的敏感變化。

1 一維混沌算法理論

在古代，無(wú)論是在中國(guó)還是西方,混沌都表示宇宙形成之前的元?dú)?無(wú)序狀態(tài))。如三國(guó)時(shí)期曹植的《七啟》中有“夫太極之初，混沌未分”。古希臘和巴比倫對(duì)混沌一詞也有類(lèi)似的意義，例如將混沌描述為“在秩序的宇宙之前就已存在的無(wú)秩序、無(wú)定形的物質(zhì)”。以后，混沌就表示完全無(wú)序或徹底混亂的意思（劉秉正,彭建華.非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2005）。

研究對(duì)多媒體圖形圖像的加密解密技術(shù)，是目前現(xiàn)代計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)安全技術(shù)的一部分?；煦缂夹g(shù)是物理動(dòng)學(xué)中一種非線(xiàn)性的運(yùn)動(dòng)形式，在自然界、社會(huì)科學(xué)界甚至是生物學(xué)界都能看見(jiàn)它的影子。這是因?yàn)樗倪\(yùn)動(dòng)軌跡是一種表面上無(wú)特點(diǎn)的，實(shí)則有很多的有規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。所以根據(jù)混沌的特點(diǎn)，人們目前在圖形圖像中最常都會(huì)引入混沌理論，它也是擴(kuò)散加密思想的一個(gè)分支。科學(xué)家們希望通過(guò)結(jié)合它的一些特性，對(duì)圖形圖像起到一個(gè)很好的保護(hù)作用?；煦缋碚摬粌H可以將加密對(duì)象映射成為非線(xiàn)性，也會(huì)對(duì)密鑰的變化敏感，產(chǎn)生不同的結(jié)果。其中Logistic、Sine、Tent等算法就是一維混沌算法的典型代表。本文則以一維混沌理論中的Logistic算法為代表，通過(guò)一張1024*760通過(guò)對(duì)其初始值、參數(shù)等進(jìn)行變化來(lái)分析這種算法在加密和解密圖片時(shí)它的變化，來(lái)了解一維混沌理論在多媒體圖片信息安全方面的深層研究。

1.1 Logistic算法

一維混沌理論中的Logistic算法可以說(shuō)是在混沌理論中一個(gè)從數(shù)學(xué)角度上來(lái)說(shuō)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單的算法。很多年前就有不少的科學(xué)家研究過(guò)它和應(yīng)用它。事實(shí)證明，這種算法雖然結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，但是絲毫不影響它在信息安全中的作用。所以，這些年Logistic算法還是在不少的領(lǐng)域都得到了應(yīng)用。一維混沌Logistic算法具有混沌參數(shù)u和xn取值區(qū)間，并且這三種映射的混沌參數(shù)u和xn取值區(qū)間相同。而其他的一維混沌系統(tǒng)盡管混沌參數(shù)u和xn取值不相同，但是都可以通過(guò)變換公式，使其相同（王光義,袁方.級(jí)聯(lián)混沌及其動(dòng)力學(xué)特性研究[J].物理學(xué)報(bào),2013,62(2):020506-10）。

Logistic、Sine、Tent系統(tǒng)表達(dá)式如下：

其中本文所選取的一維Logistic算法的是公式（1）。在這個(gè)公式里，u作為這個(gè)公式中的一個(gè)參數(shù)，這個(gè)參數(shù)影響了Logistic算法的混沌狀態(tài)，而x也是有取值范圍的，而如果超出這個(gè)范圍，最后的值將越來(lái)越趨于一個(gè)值。所以，從這個(gè)公式中，我們不難看出Logistic算法具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）初始值敏感性。xn在（1）公式中的作用是舉足輕重的。它的變化會(huì)導(dǎo)致整個(gè)公式的結(jié)果發(fā)生重大的變化。對(duì)初始值的敏感就是混沌理論的顯著特征之一。只要初始值發(fā)生微小的變化，都會(huì)影響整個(gè)混沌的運(yùn)動(dòng)軌跡。

（2）隨機(jī)性。而xn是隨機(jī)的，只要在混沌區(qū)間內(nèi)，它都可以取值。混沌系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)表面上看表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性，是一種不受控制的運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)上混沌軌跡是由確定公式?jīng)Q定的，產(chǎn)生的混沌序列是一種偽隨機(jī)的（王鳳英.基于混沌理論的圖像加密技術(shù)研究[M].TN393.08,U.D.C.64孫燮華.圖像加密算法與實(shí)踐——基于C#語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)[M].北京:科學(xué)出版社,2013）。

（3）確定性。u和初xn決定了xn+1，也就是混沌狀態(tài)。

所以，由此我們不難看出混沌算法的隨機(jī)性、確定性和初始值的敏感性，都使得混沌理論在多媒體圖形圖像加密方面的應(yīng)用中隱藏著巨大的發(fā)展方向，這也應(yīng)該是我們?nèi)蘸竺艽a研究的方向。

1.2 Logistic算法的參數(shù)分析

一維Logistic算法是一維離散混沌系統(tǒng)，具有運(yùn)算速度快的特點(diǎn)，通過(guò)方程反復(fù)迭代可以產(chǎn)生較好的混沌序列。而初始值x0和混沌系統(tǒng)參數(shù)u對(duì)這個(gè)公式影響很大，也就是說(shuō)產(chǎn)生的混沌序列值對(duì)初始狀態(tài)和混沌系統(tǒng)參數(shù)極其敏感。其中參數(shù)u介于(0,4]，xn介于(0,1)。

對(duì)一維Logistic映射進(jìn)行公式變換，可以變形得到：

當(dāng)u =3時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)，將要出現(xiàn)2周期態(tài)；

當(dāng)u =3.4494897 時(shí)，2周期態(tài)失穩(wěn)，將要出現(xiàn)4周期態(tài)；

當(dāng)u =3.544090 時(shí)，4周期態(tài)失穩(wěn)，將要出現(xiàn)8周期態(tài)；

當(dāng)u =3.5699456 時(shí)，8周期態(tài)失穩(wěn)，將要出現(xiàn)16周期態(tài)；

這種當(dāng)控制參數(shù)變化到接近某個(gè)臨界值而使系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)發(fā)生性質(zhì)變化的現(xiàn)象稱(chēng)為分岔，一維Logistic映射如上述這種依次出現(xiàn)周期加倍的現(xiàn)象就是倍周期分岔。我們可以借助分岔圖：以自變量x0為縱坐標(biāo)，以混沌系統(tǒng)參數(shù)u為橫坐標(biāo)，來(lái)研究系統(tǒng)的狀態(tài)演化規(guī)律。一維Logistic映射的分岔圖如圖1-1所示。

圖1-1 Logistic分岔圖

當(dāng)參數(shù)u達(dá)到極限值，即u =3.5699456 時(shí)，混沌系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解周期為∞。也就意味著當(dāng)u ∈(3.5699456,4)時(shí)，Logistic映射進(jìn)入一種隨機(jī)分布的狀態(tài)，即進(jìn)入混沌狀態(tài)。當(dāng)參數(shù)u不斷增加值，系統(tǒng)也會(huì)不斷的呈周期性分岔進(jìn)入混沌；而當(dāng)u = 4時(shí)，成為滿(mǎn)混沌狀態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)為了更好的體現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，u的取值范圍一般會(huì)從(3.5699456,4)取值。

2 Logistic算法在加密圖像中的應(yīng)用

數(shù)字圖像是目前最流行的多媒體形式之一，在政治、經(jīng)濟(jì)、國(guó)防、教育等方面均有廣泛應(yīng)用。對(duì)于某些特殊領(lǐng)域，如軍事、商業(yè)和醫(yī)療，數(shù)字圖像還有較高的保密要求。圖像加密的思想就是通過(guò)一組可逆的數(shù)學(xué)變換把圖像偽裝成偽隨機(jī)性的亂碼，使未授權(quán)者不能理解它的真實(shí)意義，以實(shí)現(xiàn)圖像保護(hù)的目的（Guo Jiansheng,Zhang Cong-e,Jin Chenhui.Attack with Know Image to a Symmetric Image Encryption Scheme.Systems Engineering and Electronics,2007,29(3):341-345）?；诨煦缦到y(tǒng)的圖像加密技術(shù)是最近這些年才發(fā)展起來(lái)的，但是混沌在圖像加密中所表現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)勢(shì)使混沌圖像加密算法迅速發(fā)展?；煦鐖D像加密技術(shù)就是把原始圖像作為明文對(duì)它進(jìn)行加密，先將圖像按照某種編碼方式轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)據(jù)流，再對(duì)圖像數(shù)據(jù)流利用由混沌系統(tǒng)生成的混沌序列進(jìn)行加密。國(guó)內(nèi)外學(xué)者結(jié)合已有的其它保密技術(shù)已經(jīng)提出了許多基于混沌系統(tǒng)的圖像加密算法（Tiegang Gao, Zengqiang Chen.A new image encryption algorithm based onhyper-chaos.Physics Letters A,2008,372(4):394-400;Shubo Liu,Jing Sun,Zhengquan Xu.An Improved Image Encryption Algorithm based on Chaotic System.JOURNAL OF COMPUTERS,2009,4(11):1091-1099;K W Wong,B S H Kwok,W S Law.A fast image encryption scheme based on chatic standard map.Phys.Lett.A,2008,372:2645-2652;Tiegang Gao,Zengqiang Chen.Image encryption based on a new total shuf fl ing algorithm.Chaos,Solitions & Fractals.2008,38(1):213-220）。為了展示研究分析，我們?cè)O(shè)計(jì)選取以L(fǎng)ogistic算法為例，介紹混沌算法在引進(jìn)圖形圖像中是如何完成加密和解密的，在這個(gè)過(guò)程中又有哪些特點(diǎn)。

2.1 一維Logistic混沌圖像加密算法

自混沌算法應(yīng)用到多媒體加密技術(shù)中來(lái)之后，很多的混沌算法得到了人們的關(guān)注，這些混沌算法眾多，可以按照各種方式對(duì)其進(jìn)行劃分，例如加密圖像的類(lèi)型、加密方法的維數(shù)等。而本文所闡述的一維Logistic算法就是混沌映射算法中的一種。

為研究分析一維Logistic映射偽隨機(jī)序列的加密特性，我們采用對(duì)像素點(diǎn)值進(jìn)行加密的思路，先生成一維Logistic映射序列，取整，在對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行異或即可，這種算法簡(jiǎn)單，加解密速度更快。

上式R即為最終加密完的序列，最終在把R序列轉(zhuǎn)換為二維圖形矩陣，輸出完整的加密圖像。由于只做了異或，因此解密時(shí)，在此生成同樣的序列，再次異或，即可得到解密圖像。

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)在我們就以一張1024×760大小的灰度圖像為例，取密鑰為代入上式，獲得混沌序列，對(duì)圖像進(jìn)行加密處理。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2-1、圖2-2所示。

從圖2-2加密后原圖的圖片來(lái)看，密文圖像完全變?yōu)榱司鶆蚍植嫉碾s點(diǎn)圖，無(wú)法看出與原圖的相關(guān)性。從直方圖進(jìn)行分析，圖2-3原圖的直方圖左側(cè)沒(méi)有高度，代表照片幾乎沒(méi)有陰影，中間調(diào)也沒(méi)有，而最右側(cè)的則達(dá)到了最高處，說(shuō)明原圖含有大量的高光，是高調(diào)圖片或過(guò)曝圖片，特征值顯著，易于分析。而圖2-4加密后圖的直方圖，分布均勻，陰影高光中調(diào)近乎保持水平，僅兩側(cè)出現(xiàn)細(xì)微的極端值。特征值不明顯。由此可以看出加密后的圖像像素值分布均勻，明文的特征值被打破磨平，我們不難看出，使用一維Logistic混沌圖像加密算法加密后，圖片的密文和明文之間的相關(guān)性大大降低。

圖2-1 原圖

圖2-2 加密后原圖

明文與密文的直方圖分布如圖2-3、圖2-4所示：

圖2-3 原圖的直方圖

圖2-4 加密后圖的直方圖

3 一維Logistic混沌圖像加密算法分析

一個(gè)好的加密算法應(yīng)該具備防范攻擊的能力，在本小章節(jié)中，我會(huì)從不同的角度分析上述的算法對(duì)圖像的加密能解決哪些安全性的問(wèn)題。

3.1 密鑰空間分析

密鑰空間大小對(duì)加密算法是很重要的一個(gè)指標(biāo)，它直接決定了該算法對(duì)于抗窮舉類(lèi)型攻擊的能力。對(duì)于本文上述所提出的圖像加密算法，它的密鑰空間分析可以有這樣的結(jié)論，密鑰是Logistic映射的初值，u是Logistic映射參數(shù)，是初次自迭代次數(shù)，均采用double類(lèi)型，精確到小數(shù)點(diǎn)后15位，采用int類(lèi)型，取正整數(shù)，最大值2147483647。則密鑰空間為從這點(diǎn)中我們不難可以看出來(lái)，這個(gè)算法的密鑰空間足夠大，具有一定的抗窮舉攻擊，可以保證部分安全性。

3.2 相關(guān)性分析

一張圖片的像素點(diǎn)與它臨近像素點(diǎn)是有很高的相關(guān)性，其表現(xiàn)也就是數(shù)據(jù)冗余特性，而本文所使用的算法就是為了破壞該圖片中相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性，從而達(dá)到密文無(wú)法識(shí)別該圖片的目的。在上述的例子就分別從原圖和加密后的圖像中，抽取垂直、水平、對(duì)角線(xiàn)上隨機(jī)抽取1000個(gè)像素點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)性測(cè)試，測(cè)試公式如下：

對(duì)公式進(jìn)行變換，得到如下公式：

在上述公式中，x和y分別代表的是加密圖片中兩個(gè)相鄰像素的灰度值，而rxy為相鄰像素的相關(guān)系數(shù)。對(duì)加密后的圖像進(jìn)行分析計(jì)算，結(jié)果如表1所示。

表1 加密前后圖片的相關(guān)分析表

從表1中可以看出，該圖片的加密圖在各個(gè)方向的相鄰像素間的相關(guān)性系數(shù)都比選取的0.01系數(shù)小，為了更好的看出相關(guān)性分布，我們可以從下面的圖3-1所繪制的相關(guān)性圖進(jìn)行對(duì)比。我們不難看出原始圖像素之間的相關(guān)性還是很高的，而加密后圖像像素點(diǎn)分布擴(kuò)散，其相關(guān)性也得到了很好的降低，達(dá)到了我們加密原圖的目的。

圖3-1 加密前、后圖片相關(guān)性分析圖

3.3 信息熵分析

圖片的熵值能反映出灰度圖像中灰度值的分布情況。熵值越大，說(shuō)明圖片中灰度值分布越相同。而信息熵它也可以是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，隨機(jī)變量的不確定性。信息熵的通用公式如下：

參數(shù)說(shuō)明：F：灰度值；P(L=l)：像素值為l的百分比；IFE：信息熵。IFE的值越大，就表示該圖像的隨機(jī)性越高，越混。對(duì)于一般的灰度圖像而言，灰度圖的灰度值是介于0～256之間，那么對(duì)應(yīng)的IFE理論最大值為8。信息熵計(jì)算如表3-1所示：

表3-1 圖片加密前后熵值變化表

由表3-1可以看出，盡管本文設(shè)計(jì)的加密算法，僅僅只利用一維Logistic序列進(jìn)行異或處理，產(chǎn)生的加密圖LFE值就已經(jīng)很趨近與8了。由此可以得出結(jié)論，在本文中設(shè)計(jì)的基于一維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，可以獲得很好的加密效果。

3.4 密鑰敏感性分析

混沌算法是對(duì)初始值高度敏感的，初始值發(fā)生微小的變化，經(jīng)過(guò)算法所產(chǎn)生的混沌序列也將差距甚大。一維Logistic映射算法亦不例外。根據(jù)本文的算法，選取初始值為0.01，分別對(duì)初值進(jìn)行微小的調(diào)整，看迭代500次后的結(jié)果差距，如表3-2所示。

表3-2 初始值變化表

圖3-1 使用正確相同的初值解密

圖3-2 使用僅相差0.000000001的初值解密

從表3-2中我們不難看出來(lái)，即使初始值我們?nèi)〉脑傧嘟?，所產(chǎn)生的混沌序列也差距是否巨大，為了更方便直觀的展示，對(duì)圖像進(jìn)行加密解密測(cè)試，初值使用0.01進(jìn)行加密解密，在用0.010000001對(duì)加密圖像進(jìn)行解密，最終測(cè)試結(jié)果如圖3-1和圖3-2所示。

4 總結(jié)

在本文中我們?cè)敿?xì)舉例說(shuō)明了基于Logistic映射算法對(duì)1024*760大小的灰度圖像如何進(jìn)行加密和解密的。我們可以看到，通過(guò)這種算法我們可以先生成一個(gè)混沌序列對(duì)圖片像素的位置進(jìn)行置亂，同時(shí)也是利用這種算法再生成另一個(gè)混沌序列，然后將生成出來(lái)的兩種序列運(yùn)算和擴(kuò)散，來(lái)過(guò)到有效加密的目的。通過(guò)上文的實(shí)例，我們可以看出，通過(guò)Logistic算法加密和解密的圖片是有較好的效果的。但是，我們也看出，這里面仍然還存在著一些弊端。Logistic算法因?yàn)槭菍儆谝痪S也就是低維數(shù)的混沌算法，所以它在加密、解密圖片方面，雖然密鑰管理方便，加解密速度快，但還是相對(duì)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單，在圖片的安全問(wèn)題上還是存在一些不足的。還有，這種算法由于它的維度局限了它的密鑰空間，對(duì)大的窮舉類(lèi)的攻擊，防御上可能也會(huì)有所欠缺。因此，我們?cè)趯?duì)灰度圖片進(jìn)行加解密時(shí)，應(yīng)該首先分析各種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)于一些安全級(jí)別要求高的圖片，可以采用一些高維數(shù)混沌系統(tǒng)和對(duì)圖像像素的置亂算法，來(lái)達(dá)到對(duì)圖像更為有效的加解密，提高圖片的安全性。