葉輪機(jī)失諧葉片流固耦合顫振高效分析方法

劉戰(zhàn)合, 全金樓, 楊靜媛, 蘇丹, 張偉偉

在葉輪機(jī)械設(shè)計(jì)研制過程中,葉盤系統(tǒng)通常被設(shè)計(jì)成諧調(diào)的,這樣各葉盤結(jié)構(gòu)扇區(qū)具有完全相同的物理參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù),也就是通常說的圓周循環(huán)對(duì)稱結(jié)構(gòu)。這樣就能通過施加周期性邊界條件將整個(gè)葉排簡(jiǎn)化為單一葉片進(jìn)行計(jì)算和分析。然而在實(shí)際過程中由于加工制造過程中的誤差、實(shí)際工作的磨損等因素的影響,葉盤結(jié)構(gòu)的某些葉片的結(jié)構(gòu)或幾何參數(shù)不可避免的存在偏差。這種現(xiàn)象稱之為葉片的失諧。研究表明失諧可以提高葉片的顫振穩(wěn)定性,但會(huì)提高少數(shù)葉片的響應(yīng)幅值引起葉片的高周期疲勞失效[1-3](high cycle fatigue failure,HCF)。顫振、HCF問題是葉輪機(jī)械在設(shè)計(jì)階段關(guān)注的主要問題之一。如英國的RB211、美國的F100等機(jī)種的發(fā)動(dòng)機(jī)在研制過程中都出現(xiàn)過壓氣機(jī)或者風(fēng)扇葉片的顫振故障,J85-21在制造階段發(fā)生了葉片的高周期疲勞失效,這些都帶來很大的經(jīng)濟(jì)損失。所以對(duì)失諧葉盤系統(tǒng)的氣動(dòng)彈性特性進(jìn)行研究對(duì)葉輪機(jī)械的設(shè)計(jì)有重要意義。

失諧問題的研究開始于20世紀(jì)60年代,最早由Whitehead[4]在1964年提出并引起關(guān)注,他發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)小的頻率失諧后,系統(tǒng)的不穩(wěn)定特征值變少了。當(dāng)時(shí)的許多學(xué)者認(rèn)為葉片的失諧振動(dòng)將會(huì)使葉片振幅成倍增加而給葉輪機(jī)帶來強(qiáng)迫響應(yīng)問題,引起葉片的疲勞而導(dǎo)致葉片結(jié)構(gòu)的損傷和破壞。1969年,Dye and Henry[5]通過集中參數(shù)模型的研究發(fā)現(xiàn),在質(zhì)量或頻率失諧時(shí),少數(shù)葉片上的振動(dòng)幅值和集中應(yīng)力將顯著增加;80年代,陸續(xù)有學(xué)者在研究中發(fā)現(xiàn),失諧能顯著提高顫振邊界。1982年,Kaza and Kielb[6]通過對(duì)rotor 12翼型的研究發(fā)現(xiàn)失諧能夠改善彎扭耦合顫振和非耦合扭轉(zhuǎn)顫振。近年來,國內(nèi)外越來越多的研究學(xué)者從各個(gè)方面開展了失諧葉盤結(jié)構(gòu)振動(dòng)的研究。Pierre發(fā)展了攝動(dòng)方法來研究模態(tài)局部化問題[7-8],發(fā)現(xiàn)失諧可以提高顫振穩(wěn)定性但會(huì)引起模態(tài)局部化現(xiàn)象,并對(duì)引起模態(tài)局部化現(xiàn)象的機(jī)理做了研究;采用減縮的有限元模型和實(shí)驗(yàn)方式來研究受迫響應(yīng)[9-10],發(fā)現(xiàn)受迫響應(yīng)會(huì)隨著失諧程度的增加先增大而后減小;對(duì)非線性的失諧葉片振動(dòng)和葉盤失諧識(shí)別也有研究[11-12]。Petrov提出了一種有效的失諧葉盤建模方法[13],通過只求解主自由度來降階的獲得失諧系統(tǒng)的受迫響應(yīng);通過理論和數(shù)值模擬分析了失諧對(duì)受迫響應(yīng)的影響[14-16],并通過優(yōu)化得到想要的失諧方式;使用精確有限元模型研究了摩擦對(duì)失諧葉盤振動(dòng)特性的影響[17]。

一般研究者[18-19]大多是從結(jié)構(gòu)間的耦合出發(fā),通過在頻域內(nèi)求解結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的特征值問題來研究失諧,一般將氣動(dòng)力忽略或當(dāng)成一個(gè)小擾動(dòng);而直接從時(shí)域入手考慮流固耦合作用研究的只見于文獻(xiàn)[20-21]。其在時(shí)域內(nèi)直接求解非定常Euler/N-S方程,從耦合氣動(dòng)力的角度通過分析葉片的動(dòng)力響應(yīng)特性來研究剛度失諧對(duì)顫振穩(wěn)定性的影響,需要的計(jì)算量偏大。本文基于氣動(dòng)力降階模型,耦合結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程,實(shí)現(xiàn)了對(duì)葉片失諧特性的快速耦合研究。

1 計(jì)算方法

1.1 結(jié)構(gòu)模型

應(yīng)用拉格朗日方程,流場(chǎng)中葉排的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

式中,M為葉排質(zhì)量矩陣,G為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣,K為葉排剛度矩陣,F為各個(gè)葉片上受到的模態(tài)氣動(dòng)力所組成的向量,Fi為第i個(gè)葉片所受到的模態(tài)氣動(dòng)力。ξ為結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的廣義位移。

將葉排結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程寫成狀態(tài)空間形式:

(2)

式中

對(duì)于方程(1)的求解可采用2種計(jì)算方法,一種是采用CFD/CSD直接耦合的時(shí)域求解[22],計(jì)算量非常大;另一種是建立起降階的氣動(dòng)力模型,在保證計(jì)算精度的同時(shí)降低計(jì)算量。

1.2 氣動(dòng)力模型

本文所涉及的基本假設(shè)有:動(dòng)態(tài)線性非定常流假設(shè),即假設(shè)對(duì)于同一葉片來說,不同葉片運(yùn)動(dòng)所造成的非定常氣動(dòng)力是可疊加的[23]。同時(shí),假設(shè)某一個(gè)葉片振動(dòng)誘導(dǎo)產(chǎn)生的擾動(dòng)僅能傳播至鄰近少數(shù)的幾個(gè)葉片[24]。因此,我們只需要計(jì)算少數(shù)幾個(gè)葉片通道的非定常流場(chǎng)便可模擬整個(gè)葉柵的非定常氣動(dòng)力模型。在進(jìn)行流場(chǎng)計(jì)算時(shí),計(jì)算域僅為少數(shù)的幾個(gè)葉片通道,且非定常效應(yīng)僅由單個(gè)葉片振動(dòng)引起。

進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)時(shí),采用經(jīng)典系統(tǒng)辨識(shí)方法中的最小二乘估計(jì)方法來建立離散非定常氣動(dòng)力的降階模型并識(shí)別相應(yīng)參數(shù),模型選用ARX模型。

利用參考文獻(xiàn)[25-26]的方法,我們使用多級(jí)信號(hào)作為輸入信號(hào),葉片的氣動(dòng)力作為輸出。假設(shè)計(jì)算域外的葉片上的氣動(dòng)力可以忽略不計(jì),按賦零處理,得到輸出量數(shù)目與葉排數(shù)目一致的單輸入/多輸出離散系統(tǒng)。其描述方程為:

(3)

根據(jù)假設(shè),系統(tǒng)的輸入信號(hào)為某一葉片的模態(tài)位移。設(shè)第i個(gè)葉片的位移為輸入信號(hào),故令模態(tài)位移ξi=u′,則模態(tài)氣動(dòng)力系數(shù)fa=y′。為了便于進(jìn)行氣動(dòng)彈性的穩(wěn)定性分析,將(2)式差分模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型。定義狀態(tài)向量:

ξi(m-1),…,ξi(m-nb+1)]T

則離散空間內(nèi)的氣動(dòng)力狀態(tài)方程和輸出方程可以寫為:

(4)

通過雙線性變換,將上式轉(zhuǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間形式,并略去靜態(tài)氣動(dòng)力得

fa(t)=Caxa(t)+Daξi(t)

(5)

再根據(jù)葉輪機(jī)的輪換對(duì)稱性,假設(shè)葉排的葉片總數(shù)為N,將N個(gè)狀態(tài)空間形式的方程進(jìn)行組合得:

fac(t)=Cacxac(t)+Dacξ(t)

(6)

式中:

組合后得到了葉排多輸入/多輸出連續(xù)系統(tǒng)的氣動(dòng)力狀態(tài)空間方程,但是組合后的狀態(tài)空間矩陣維數(shù)非常大,且矩陣為稀疏矩陣,零元素占絕大部分,為了便于計(jì)算,利用平衡截?cái)喾椒▽?duì)矩陣進(jìn)行降階,最終得到了降階氣動(dòng)力模型。

1.3 氣動(dòng)彈性模型

考慮到氣動(dòng)彈性過程是氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)耦合的一個(gè)不斷反饋的過程,將2個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行反饋的聯(lián)接,得到如下的開環(huán)氣動(dòng)彈性分析模型:

(7)

這樣葉排的顫振穩(wěn)定性分析就轉(zhuǎn)化為了求解狀態(tài)方程中氣動(dòng)彈性矩陣的特征值問題了,矩陣特征值的實(shí)部為葉排系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù),虛部為葉片振動(dòng)頻率。當(dāng)阻尼系數(shù)大于零時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定;反之,系統(tǒng)發(fā)散。這樣我們可以通過狀態(tài)空間內(nèi)特征值的變化來研究剛度失諧對(duì)顫振穩(wěn)定性的影響。

2 算例與分析

計(jì)算算例采用標(biāo)準(zhǔn)葉片顫振模型——STCF4[26],其葉片弦長(zhǎng)為c=0.074 4 m,葉片在葉柵延伸方向間距為D=0.056 5 m,葉片安裝角γ=56.65°, 共有20組葉片。計(jì)算狀態(tài)為552B實(shí)驗(yàn)狀態(tài):入口總壓為1.714×105Pa,出口靜壓為1.013×105Pa,均勻入流角為β1=-45°,入口靜溫T1=288.15 K。計(jì)算中葉片與弦線方向成δ=60.4°夾角的方向做微幅振動(dòng)。結(jié)構(gòu)參數(shù)為:質(zhì)量比為800,固有頻率為936.2 rad/s。

2.1 正確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的ROM方法的正確性,運(yùn)用該方法計(jì)算了在給定初始位移條件下的八葉排通道的自由振動(dòng)響應(yīng)并和參考文獻(xiàn)[22] 采用CFD/CSD直接耦合的求解結(jié)果進(jìn)行了比較。如圖1、圖2所示,圖1為葉排系統(tǒng)為諧調(diào)時(shí)2種方法計(jì)算得到的自由振動(dòng)響應(yīng),圖2為葉排系統(tǒng)按奇數(shù)葉片的振動(dòng)頻率減小3%,偶數(shù)葉片的振動(dòng)頻率增加3%的方式發(fā)生失諧后的自由振動(dòng)響應(yīng)。2種方法的計(jì)算結(jié)果吻合的很好,證明本文提出的ROM方法能夠用于葉排系統(tǒng)的葉片剛度發(fā)生失諧的模擬。

圖1 葉片失諧前的自由響應(yīng)

圖3為參考文獻(xiàn)[22]方法獲得的自由振動(dòng)響應(yīng)曲線的頻譜分析,可以看出此時(shí)八葉排通道系統(tǒng)有2個(gè)不穩(wěn)定頻率。圖4為用本文提出的ROM方法求解出氣動(dòng)彈性方程的特征值,給出的最不穩(wěn)定部分特征值的分布,可以看出八葉排通道系統(tǒng)有兩個(gè)不穩(wěn)定特征值,且其虛部對(duì)應(yīng)的葉片振動(dòng)頻率分別和圖3中的不穩(wěn)定頻率對(duì)應(yīng)。證實(shí)了ROM方法可以通過氣動(dòng)彈性矩陣的特征值分布來分析葉排系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

表1給出了2種方法在主頻為2.53 GHz的八核計(jì)算機(jī)獲得圖1的結(jié)果所用的計(jì)算時(shí)間,對(duì)比可知本文提出的降階方法的計(jì)算效率比參考文獻(xiàn)[22]方法的計(jì)算效率提高了2個(gè)量級(jí)。且對(duì)于顫振穩(wěn)定性分析我們只需求解出氣動(dòng)彈性矩陣的特征值,計(jì)算時(shí)間將會(huì)更少。

2.2 主動(dòng)失諧研究

從圖1、圖2還可以看出,剛度失諧前葉排系統(tǒng)自由響應(yīng)曲線發(fā)散;而剛度失諧后曲線收斂。所以剛度失諧可以改善系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性。為了進(jìn)一步研究剛度失諧對(duì)系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性的影響,且為了和實(shí)際一致我們首先研究了2種典型的主動(dòng)失諧形式對(duì)包含20個(gè)葉片的葉排系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性的影響。如圖5、圖6所示,圖中直線表示諧調(diào)時(shí)葉片的剛度,柱狀圖表示失諧后各個(gè)葉片的剛度。其具有4種失諧葉片,假設(shè)失諧量為

σ=Δω/ωEigen

4種失諧葉片的振動(dòng)圓頻率分別為:

ω1=(1-2σ)*ω0,ω2=(1-σ)*ω0

ω3=(1+σ)*ω0,ω4=(1+2σ)*ω0

2種失諧方式的失諧葉片數(shù)目相同、所有葉片振動(dòng)頻率的均值等于諧調(diào)葉片的振動(dòng)頻率;只是失諧葉片的分布不同,失諧方式1是一個(gè)“五葉片基本扇區(qū)”圓周循環(huán)對(duì)稱結(jié)構(gòu),而失諧方式2是一個(gè)“十葉片基本扇區(qū)”圓周循環(huán)對(duì)稱結(jié)構(gòu);且失諧方式1葉片剛度變化過渡劇烈,而失諧方式2的過渡平滑。

圖5 主動(dòng)失諧方式1的葉片剛度分布

圖6 主動(dòng)失諧方式2的葉片剛度分布

為了分析葉排系統(tǒng)在剛度失諧前后的顫振穩(wěn)定性特性,求解出失諧前后氣動(dòng)彈性矩陣的特征值,并給出了系統(tǒng)的全部特征值和最不穩(wěn)定部分特征值的分布,如圖7所示?？梢钥闯?諧調(diào)時(shí)系統(tǒng)有部分特征值處于右半平面,所以諧調(diào)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。而在2種失諧方式下系統(tǒng)的特征值在剛度發(fā)生失諧后都往左半平面移動(dòng),在一定的失諧量下,最不穩(wěn)定特征值處于臨界位置,此時(shí)系統(tǒng)由不穩(wěn)定變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài);繼續(xù)增大失諧量,特征值完全處于左半平面,此時(shí)系統(tǒng)由臨界穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定。而在由不穩(wěn)定狀態(tài)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài),失諧方式2需要更大的失諧量;在相同的失諧量下,失諧方式1的最不穩(wěn)定特征值比失諧方式2的處于更加偏左的位置。由此說明剛度失諧可以改變系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性,但受到失諧方式和失諧量的影響。

圖7 失諧前后的特征值分布

圖8 失諧前后的位移模態(tài)幅相圖

剛度失諧在增加系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性的同時(shí),也會(huì)帶來模態(tài)局部化現(xiàn)象,如圖8所示。以一節(jié)徑模態(tài)為例,圖8給出了在剛度失諧前后葉排的位移模態(tài)的幅相圖,可以看出協(xié)調(diào)時(shí)系統(tǒng)的位移模態(tài)幅值相同,以等相角差分布;而失諧后系統(tǒng)的位移模態(tài)變大或變小、葉排不再以等相角差形式分布,出現(xiàn)了模態(tài)局部化現(xiàn)象。

葉排結(jié)構(gòu)處于“準(zhǔn)周期對(duì)稱結(jié)構(gòu)”,在每個(gè)基本扇區(qū)之間位移模態(tài)保持均勻分布;但在每個(gè)基本扇區(qū)內(nèi)個(gè)葉片間是失諧的,基本扇區(qū)內(nèi)發(fā)生了模態(tài)局部化現(xiàn)象。相同條件下失諧方式2下的模態(tài)局部化程度更嚴(yán)重,所以 “準(zhǔn)周期對(duì)稱結(jié)構(gòu)”基本扇區(qū)包含葉片數(shù)越多,其模態(tài)局部化程度越嚴(yán)重。

為了更加清楚的說明剛度失諧對(duì)系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性的影響,給出了2種失諧方式下,系統(tǒng)最不穩(wěn)定特征值隨失諧量的變化如圖9所示。

圖9 穩(wěn)定性隨失諧量的變化

且為了說明流固耦合作用對(duì)剛度失諧效應(yīng)的影響,該圖還給出了不同質(zhì)量比下的結(jié)果。可以看出在2種質(zhì)量比下,系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性都隨著失諧量的增加而改變,且因?yàn)槭еC方式1的葉片剛度過渡比失諧方式2劇烈,所以在失諧方式1下隨著失諧量的增加系統(tǒng)將先由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定。對(duì)比不同質(zhì)量比下的曲線可知,在小質(zhì)量比下系統(tǒng)由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定需要更大的失諧量,而質(zhì)量比越小流固耦合作用越強(qiáng),所以流固耦合作用降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性變化對(duì)剛度失諧的敏感性。

2.3 隨機(jī)失諧研究

由于加工誤差和使用中的磨損導(dǎo)致的葉片間失諧一般是隨機(jī)性的,所以文中還研究了在葉片剛度隨機(jī)失諧情況下,系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性和模態(tài)局部化的變化。令葉片的頻率服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0～1%的正態(tài)隨機(jī)分布。圖10給出一典型隨機(jī)分布的葉片剛度的柱狀圖。和主動(dòng)失諧相比,其相當(dāng)于一個(gè)“20葉片基本扇區(qū)”圓周循環(huán)對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

圖10 隨機(jī)失諧方式的葉片剛度分布

因?yàn)槭еC的隨機(jī)性,所以采用基于Monte Carlo模擬的統(tǒng)計(jì)方法來隨機(jī)失諧對(duì)系統(tǒng)性能的影響,取模擬樣本數(shù)為500。圖11給出了不同質(zhì)量比下系統(tǒng)最不穩(wěn)定特征值的均值隨失諧量的變化。

圖11 穩(wěn)定性隨失諧量的變化

可以看出,隨著失諧量的增加,系統(tǒng)的穩(wěn)定性都得到了改善;在大質(zhì)量比下系統(tǒng)在失諧量為5.5%左右時(shí)就達(dá)到了臨界穩(wěn)定,而此時(shí)小質(zhì)量比下系統(tǒng)還是不穩(wěn)定的,所以耦合作用越小,系統(tǒng)穩(wěn)定性變化對(duì)失諧就更敏感。圖中曲線的拐折是由于樣本的隨機(jī)性導(dǎo)致的,也說明了隨機(jī)失諧中穩(wěn)定性的變化同樣受到失諧方式的影響。

圖12 葉排位移模態(tài)幅相圖

圖12給出了葉片剛度隨機(jī)失諧時(shí)葉排的位移模幅相圖?？梢钥闯鲈陔S機(jī)失諧方式下葉排間不在符合等相角差、位移模態(tài)或變大或變小,出現(xiàn)了模態(tài)局部化現(xiàn)象;由于其每個(gè)基本扇區(qū)內(nèi)的葉片數(shù)相對(duì)于主動(dòng)失諧更多,所以其模態(tài)局部化程度更嚴(yán)重。其模態(tài)局部化程度仍然受到失諧方式、失諧量、偶合作用的影響。

3 結(jié) 論

本文基于動(dòng)態(tài)線性流假設(shè)和擾動(dòng)傳播有限性假設(shè),通過降階的氣動(dòng)力模型,發(fā)展了一種研究高效的葉輪機(jī)葉片失諧分析方法,并通過和直接CFD方法的對(duì)比驗(yàn)證了該方法的正確性。運(yùn)用該方法研究了包含20組葉片的葉排系統(tǒng)在主動(dòng)失諧和隨機(jī)失諧前后系統(tǒng)性能的變化,研究結(jié)果表明:

1) 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了主動(dòng)失諧和隨機(jī)失諧都能改善系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性,同時(shí)也會(huì)引起模態(tài)局部化現(xiàn)象。

2) 在失諧葉片數(shù)目相同的情況下,葉片剛度變化過渡越劇烈,系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性對(duì)剛度失諧越敏感;基本扇區(qū)葉片數(shù)越多,其模態(tài)局部化程度越嚴(yán)重。

3) 系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性變化、受到失諧方式、失諧量和流固耦合作用的影響;失諧量越大系統(tǒng)越穩(wěn)定、流固耦合作用越弱系統(tǒng)對(duì)失諧效應(yīng)越敏感。