含有L1數(shù)據(jù)保真項(xiàng)的非凸優(yōu)化脈沖噪聲去除模型①

陳靜思,李 春

1(云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 云南省經(jīng)濟(jì)社會(huì)大數(shù)據(jù)研究院,昆明 650221)

2(中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

3(中國(guó)科學(xué)院 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心,北京 100190)

在計(jì)算機(jī)視覺(jué)與圖像處理工作中,圖像恢復(fù)是該領(lǐng)域的一個(gè)重要問(wèn)題之一,在過(guò)去的幾十年里,該問(wèn)題得到了廣泛的研究[1–7].在現(xiàn)實(shí)生活中,由于數(shù)字圖像含有豐富的科學(xué)信息,所以圖像處理已經(jīng)被應(yīng)用到人類生活的方方面面.例如: 在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域,通過(guò)圖像處理技術(shù),研究人員可以通過(guò)圖像去燥算法把一幅受噪聲污染或者信息缺失的圖像從中恢復(fù)出來(lái),從而提供清晰的圖像幫助醫(yī)生做出準(zhǔn)確地醫(yī)學(xué)診斷,從而實(shí)現(xiàn)實(shí)際意義的“精準(zhǔn)醫(yī)療”.在自然保護(hù)區(qū)領(lǐng)域,研究學(xué)者可以通過(guò)對(duì)相關(guān)保護(hù)區(qū)域遙感圖像的分析,進(jìn)行瀕危物種的保護(hù),從而幫助自然保護(hù)工作者做出精準(zhǔn)決策.在氣象農(nóng)業(yè)領(lǐng)域,通過(guò)對(duì)遙感圖像進(jìn)行去燥處理,從而可以對(duì)其進(jìn)行圖像分析,可以對(duì)土地覆蓋分類、植被分布、病蟲(chóng)害防治等做出輔助決策.在現(xiàn)實(shí)生活的圖像處理技術(shù)中,圖像的質(zhì)量是任何研究的重點(diǎn),圖像去燥就是提高圖像質(zhì)量的重要環(huán)節(jié).

1 圖像恢復(fù)概述

著名的正則方法是變分正則[8],其中凸變分正則要求該模型算法解存在并且唯一.在最近幾年中,人們?yōu)榱说玫交謴?fù)后的圖像能保持更多的圖像細(xì)節(jié)信息,從而相關(guān)學(xué)者嘗試應(yīng)用非凸非光滑優(yōu)化正則方法,來(lái)保持圖像的細(xì)節(jié)信息.例如: 在變分框架和統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)框架中,相關(guān)學(xué)者引入了非凸非光滑優(yōu)化[9,10],如文獻(xiàn)[11,12]對(duì)該現(xiàn)象給出了數(shù)值例子,文獻(xiàn)[13]對(duì)該現(xiàn)象給出了理論解釋.

在過(guò)去的幾十年中,相關(guān)學(xué)者對(duì)非凸非光滑優(yōu)化正則方法,提出了許多數(shù)值解法,如最小二次方重權(quán)迭代法[11],半二次算法[14]等.在本文中,我們利用非凸非光滑優(yōu)化來(lái)對(duì)脈沖噪聲進(jìn)行去除處理.為了處理非凸非光滑性,本文采用了多階凸松弛方法對(duì)模型進(jìn)行求解[15],從其數(shù)值例子可以看出,其近似解比標(biāo)準(zhǔn)的L1凸或者L1凸松弛方法的逼近解好了許多,雖然該方法僅導(dǎo)致原始非凸問(wèn)題的局部最優(yōu)解,但該局部解是對(duì)初始凸松弛的全局解的改進(jìn).此外,因?yàn)槊總€(gè)階段都是凸優(yōu)化問(wèn)題,所以該方法在計(jì)算上是高效的.

2 相關(guān)工作

利用貝葉斯法則,可以得到如下表達(dá)式:

由于L1-范數(shù)能很好的擬合脈沖信號(hào),所以為了有效的去除脈沖信號(hào),L1數(shù)據(jù)保真項(xiàng)在如下的文章中被廣泛使用[19–21],例如: 基于 TVL1模型,相關(guān)學(xué)者提出了如下的脈沖信號(hào)去除模型STVL1 (Squares TVL1):

為了去除混合噪聲,Shi[7]聯(lián)合了式(8)、(9)提出了如下的去燥模型:

但是,這些模型雖然能去除脈沖噪聲,但是還有很大的提升空間,所以我們基于以上的幾個(gè)模型,提出了如下的脈沖噪聲去除模型:

其中,

3 模型求解

我們利用變量分離技術(shù)和ADMM方法[10,22]對(duì)模型進(jìn)行求解,同時(shí)為了處理非凸非光滑正則項(xiàng),我們應(yīng)用了多階凸松弛方法對(duì)模型進(jìn)行求解,雖然該方法僅導(dǎo)致原始非凸問(wèn)題的局部最優(yōu)解,但該局部解是對(duì)初始凸松弛的全局解的改進(jìn).此外,因?yàn)槊總€(gè)階段都是凸優(yōu)化問(wèn)題,所以該方法在計(jì)算上是高效的.

求解(14)等價(jià)于求解如下的無(wú)約束問(wèn)題:

3.1 u-子問(wèn)題

可以利用高斯賽德?tīng)柕蛘逨FT對(duì)上式進(jìn)行求解.這里選擇FFT對(duì)上式進(jìn)行求解,求解結(jié)果如下:

3.2 h-子問(wèn)題

3.3 d-子問(wèn)題

其中,

為了檢驗(yàn)對(duì)脈沖噪聲的去噪效果,設(shè)計(jì)了如下算法1.

算法1.脈沖噪聲去除算法1) 初始化: 設(shè) k=0,選擇,;While “not converged” do 2) 計(jì)算: 用(20)FFT或者Gauss-Seidel計(jì)算;3) 計(jì)算: 用(21)計(jì)算;4) 計(jì)算: 用(24)計(jì)算;5) 間乘子更新:(),End while

4 實(shí)驗(yàn)分析

本節(jié)中,我們對(duì)該模型有效性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn).首先我們使用遺傳算法選擇模型的最優(yōu)參數(shù),然后我們?cè)诙鄠€(gè)不同噪聲圖像上與其他模型的去噪聲效果進(jìn)行比較.但是遺傳算法可能陷入局部極值,所以我們對(duì)本文防止遺傳算法陷入局部極值做了如下的處理.因?yàn)?產(chǎn)生局部收斂的原因之一是群體中多樣性過(guò)早的減少,使得遺傳算法的搜索空間大大減少,雖然到現(xiàn)在為止遺傳算法對(duì)參數(shù)選擇的控制還沒(méi)有理論指導(dǎo),但是我們可以用以下方法加以改進(jìn),在計(jì)算多樣度時(shí),保證群體中所有個(gè)體在某一基因位取相等值的個(gè)數(shù)不小于一定閾值,才允許多樣度的計(jì)算有貢獻(xiàn).

本次實(shí)驗(yàn)中我們與TVL1,ROF以及論文SHI中的方法進(jìn)行了比較,使用的圖片有Lina,Cameraman,parrots,parrots.本次實(shí)驗(yàn)主要比較了圖像去燥之后的ISNR,PSNR值如下:

4.1 參數(shù)選擇

該部分,我們主要討論如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行選擇,在我們提出的模型算法中,共有5個(gè)參數(shù)需要進(jìn)行選擇.通常參數(shù)選擇的方法有兩種: 第一種是通過(guò)實(shí)驗(yàn)人員的經(jīng)驗(yàn)來(lái)設(shè)置[19–21]; 第二種方法是固定幾個(gè)參數(shù)的值,修改其他參數(shù)的值來(lái)獲得最優(yōu)參數(shù)[7].

本次實(shí)驗(yàn)中,我們使用了遺傳算法來(lái)尋找最優(yōu)的參數(shù).在我們的模型中,需要選擇的參數(shù)是(a,b,c,d,…),其中(a>0,b<0,d>0).我們的目標(biāo)是在參數(shù)空間中選擇一個(gè)最優(yōu)點(diǎn).為此,我們假設(shè)最優(yōu)點(diǎn)為使得在訓(xùn)練集P上的平均ISNR值最大的參數(shù),遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)為:

其中,pi為訓(xùn)練集中的圖片,a,b,c,d為需要選擇的模型參數(shù),M代表提出模型,O為遺傳算法的目標(biāo)函數(shù).

在遺傳算法中,我們?cè)O(shè)置染色體個(gè)數(shù)為20條,遺傳率為85%,繁殖代數(shù)為400.根據(jù)運(yùn)行結(jié)果,我們選擇的最優(yōu)參數(shù)為:

本文中,我們對(duì)不同模型在純脈沖噪聲圖像上的的去燥效果效果進(jìn)行比較.其中脈沖噪聲主要考慮了椒鹽噪聲,噪聲level分別為0.01,0.1,0.4,其中4種模型對(duì)不同級(jí)的椒鹽噪聲圖像去燥的ISNR、PSNR結(jié)果如表1所示,去燥后的圖片如圖1所示.

表1 本模型與其他經(jīng)典模型對(duì)脈沖噪聲去燥效果指標(biāo)對(duì)照

圖1 模型對(duì)脈沖噪聲去燥效果圖

5 總結(jié)與展望

本文綜合TVL1、ROF、模型STVL1(Squares TVL1)、Shi-模型,提出了非凸非光滑關(guān)于脈沖噪聲去除模型,并使用變量分離技術(shù)的ADMM算法對(duì)模型進(jìn)行求解,為了處理模型的非凸非光滑項(xiàng),本文應(yīng)用了多階凸松弛方法對(duì)子問(wèn)題進(jìn)行了求解,利用遺傳算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行選擇,通過(guò)在不同圖片及不同噪聲上的大量實(shí)驗(yàn)表明,該模型的魯棒性、運(yùn)行時(shí)間和ISNR、PSNR都優(yōu)于其他三種模型.并且該模型能夠保持圖像的局部信息具有更好的可視化質(zhì)量.