輪式滑移轉(zhuǎn)向機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析及軌跡跟蹤控制

李?lèi)?ài)娣，李春書(shū)，王 一，閆 堯

1 引言

輪式滑移轉(zhuǎn)向機(jī)器人不需要專(zhuān)門(mén)的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)靈活，在戶(hù)外環(huán)境的工作和科學(xué)探索中得到廣泛地應(yīng)用?；妻D(zhuǎn)向機(jī)器人在轉(zhuǎn)向時(shí)是通過(guò)車(chē)輪的滑動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，但由于車(chē)輪的滑動(dòng)，使其不滿(mǎn)足非完整約束條件，其運(yùn)動(dòng)比有轉(zhuǎn)向輪的機(jī)器人有更多的不確定性[1-2]，因此，滑移轉(zhuǎn)向機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制較困難。近年來(lái)，一些研究者采用自適應(yīng)控制和滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行軌跡跟蹤研究[3-6]，取得了一定的成效。滑移轉(zhuǎn)向是一個(gè)復(fù)雜的現(xiàn)象，它涉及到機(jī)器人本體、車(chē)輪的動(dòng)力學(xué)以及行駛路面附著狀態(tài)等因素的影響。建立了四輪滑移轉(zhuǎn)向機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，對(duì)機(jī)器人穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向過(guò)程進(jìn)行力學(xué)分析，并采用滑?？刂品椒▽?duì)機(jī)器人進(jìn)行軌跡跟蹤控制，設(shè)計(jì)具有漸近穩(wěn)定的滑?？刂坡桑ㄟ^(guò)仿真證明所提方法的有效性。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 The Structure of the Robot

四輪滑移轉(zhuǎn)向機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖1所示。機(jī)器人的軸距和輪距分別用L和B表示，機(jī)器人的質(zhì)心為OG，其與幾何中心重合，車(chē)體相對(duì)質(zhì)心對(duì)稱(chēng)分布。定義機(jī)器人全局地面笛卡兒坐標(biāo)系為O（X，Y，Z），其Z軸方向豎直向上；在機(jī)器人的質(zhì)心OG處建立車(chē)體動(dòng)坐標(biāo)系OG（x，y，z），x軸沿著車(chē)體的縱向中心線(xiàn)，且其正向與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向一致，z軸垂直向上。機(jī)器人的位姿由其質(zhì)心OG在全局地面坐標(biāo)系中O（X，Y，Z）的位置及其航向角θ（機(jī)器人前進(jìn)方向與X軸正向的夾角）表示。為了便于對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)性能分析，假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人為剛體，忽略輪胎變形，車(chē)輪的有效半徑為r，且限定機(jī)器人在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)四輪滑移轉(zhuǎn)向機(jī)器人以某瞬心點(diǎn)C做平穩(wěn)轉(zhuǎn)向時(shí)，如圖2所示。其左側(cè)車(chē)輪和右側(cè)車(chē)輪的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心分別為CL、CR，則機(jī)器人的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心C與CL、CR共線(xiàn)[3]。機(jī)器人作轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常會(huì)有滑動(dòng)現(xiàn)象的產(chǎn)生，使得機(jī)器人的質(zhì)心OG與瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心C之間在機(jī)器人前進(jìn)方向上產(chǎn)生一個(gè)縱向距離e。令ωi、vi（i=1、2、3、4）分別表示車(chē)輪i轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和實(shí)際線(xiàn)速度，輪式滑移轉(zhuǎn)向機(jī)器人在轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于車(chē)輪間速度的耦合，車(chē)輪在路面上的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)邊滾邊滑的過(guò)程，這一過(guò)程通常用車(chē)輪的滑

圖2 機(jī)器人轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)分析圖Fig.2 Robot Steering Motion Analysis

當(dāng)λ＞0，車(chē)輪受到驅(qū)動(dòng)力，此時(shí)的滑動(dòng)率稱(chēng)為滑轉(zhuǎn)率；當(dāng)λ＜0，車(chē)輪受到制動(dòng)力，此時(shí)的滑動(dòng)率稱(chēng)為滑移率。一般來(lái)說(shuō)，機(jī)器人滑移轉(zhuǎn)向時(shí)，內(nèi)側(cè)兩個(gè)車(chē)輪產(chǎn)生縱向滑移，外側(cè)兩個(gè)車(chē)輪產(chǎn)生縱向滑轉(zhuǎn)。機(jī)器人轉(zhuǎn)彎半徑不同，其滑移率也不同。

在全局坐標(biāo)系中，驅(qū)動(dòng)輪不打滑時(shí)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為：

式中：vGx—機(jī)器人的縱向速度；ω—機(jī)器人本體繞其幾何中心的角速度。

假設(shè)機(jī)器人每側(cè)兩個(gè)車(chē)輪的角速度相等，有ω1＝ω2＝ωL，ω3＝ω4＝ωR，則 λ1＝λ2＝λL，λ3＝λ4＝λR。考慮機(jī)器人轉(zhuǎn)向時(shí)的滑移，在機(jī)器人車(chē)體動(dòng)坐標(biāo)系中，機(jī)器人完整的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[7]為：

式中：vGx、vGy—機(jī)器人的縱向速度和橫向速度。

3 平穩(wěn)轉(zhuǎn)向過(guò)程的力學(xué)分析

機(jī)器人滑移轉(zhuǎn)向時(shí)其輪胎邊滾邊滑，受力狀況比較復(fù)雜。為分析問(wèn)題方便，假設(shè)其四個(gè)車(chē)輪和地面接觸點(diǎn)的重力分布是均勻的，車(chē)輪與地面接觸無(wú)沉陷且在運(yùn)動(dòng)中車(chē)輪與地面始終保持接觸，若機(jī)器人的質(zhì)量為m，則四個(gè)車(chē)輪所承受的垂直載荷可表示為FN1=FN2=FN3=FN4=mg/4，g為重力加速度。

機(jī)器人繞某瞬心點(diǎn)C做平穩(wěn)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力分析圖，如圖3所示。根據(jù)地面力學(xué)理論，車(chē)輪i（i=1，2，3，4）受到縱向驅(qū)動(dòng)力Fix、縱向阻力Fir和側(cè)向力Fiy的作用。其中，縱向阻力包括來(lái)自地面的滾動(dòng)阻力和來(lái)自空氣的空氣阻力。由于空氣阻力較小忽略不計(jì)。滾動(dòng)阻力可表示為Fir=fr·FNi，其中fr為滾動(dòng)摩擦系數(shù)。

當(dāng)車(chē)輪與地面沒(méi)有滑移，即車(chē)輪做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，車(chē)輪i所受到的縱向驅(qū)動(dòng)力可表示為Fixτ=τi/r，其中τi為作用在車(chē)輪i的驅(qū)動(dòng)力矩；當(dāng)車(chē)輪被迫產(chǎn)生滑移時(shí)，車(chē)輪的驅(qū)動(dòng)力需要克服車(chē)輪與地面之間的摩擦阻力才能使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，地面所承受的最大不打滑附著力可表示為，其中μi為行駛地面的附著系數(shù)。因此，車(chē)輪i實(shí)際所受到的縱向驅(qū)動(dòng)力為Fix=min（Fixτ，F(xiàn)ixs）。

機(jī)器人在滑移轉(zhuǎn)向過(guò)程中，輪胎在縱向滑轉(zhuǎn)的同時(shí)，其側(cè)向產(chǎn)生劇烈變形甚至滑動(dòng)，側(cè)向阻力大大增加。車(chē)輪所受的側(cè)向力與滑移位移、滑移剪切力等參數(shù)有關(guān)，通?？珊?jiǎn)化表示為FNi，其中φi為側(cè)向阻力系數(shù)。

圖3 機(jī)器人平穩(wěn)轉(zhuǎn)向受力分析Fig.3 Force Analysis of the Robot for Steady Steering

機(jī)器人處于穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)器人的切向速度為一常量，其切向加速度略去不計(jì)。由上述機(jī)器人穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力分析，如圖3所示。建立機(jī)器人在車(chē)體動(dòng)坐標(biāo)系下xy平面的力平衡方程，∑Fx=0、∑Fy=0、∑Fz=0，得：

式中：Fc—作用在機(jī)器人質(zhì)心OG處的離心力，F(xiàn)c=mv2/R；R—瞬時(shí)轉(zhuǎn)彎半徑。

式（3）中機(jī)器人轉(zhuǎn)向時(shí)各車(chē)輪與地面接觸點(diǎn)的縱向作用力對(duì)質(zhì)心點(diǎn)的力矩形成了轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)力矩各車(chē)輪受到的滾動(dòng)阻力與側(cè)向力對(duì)質(zhì)心點(diǎn)形成轉(zhuǎn)向阻力矩Mf，Mf=

機(jī)器人轉(zhuǎn)向時(shí)車(chē)輪與地面接觸點(diǎn)的側(cè)向力Fiy對(duì)質(zhì)心點(diǎn)的力矩始終表現(xiàn)為阻力矩，轉(zhuǎn)向半徑越小，機(jī)器人的滑轉(zhuǎn)、滑移現(xiàn)象越嚴(yán)重，其所受到的轉(zhuǎn)向阻力也越大。當(dāng)移動(dòng)機(jī)器人行駛于硬路面時(shí)，通常認(rèn)為附著系數(shù)μi與滑移率λ有關(guān)[8]，地面附著系數(shù)越小，機(jī)器人所受到的轉(zhuǎn)向阻力就越小；地面附著系數(shù)越大，機(jī)器人轉(zhuǎn)向消耗的功率就越多。但地面的附著系數(shù)較小時(shí)，車(chē)輪易打滑和失穩(wěn)。

4 軌跡跟蹤控制

機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)中由于車(chē)輪與地面之間相互作用的時(shí)變性，其滑動(dòng)率和地面附著系數(shù)等參數(shù)很難實(shí)時(shí)直接檢測(cè)獲得?；？刂剖且环N不需要獲得被控對(duì)象精確數(shù)學(xué)模型的非線(xiàn)性控制方法，只需要知道模型中參數(shù)的變化范圍，其對(duì)于受不確定動(dòng)態(tài)影響的非線(xiàn)性系統(tǒng)具有較強(qiáng)的控制性能，使系統(tǒng)按照設(shè)計(jì)好的滑動(dòng)模態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)[9]。采用滑模變結(jié)構(gòu)控制的方法，對(duì)機(jī)器人實(shí)現(xiàn)具有位姿pr=［Xr，Yr，θr］T和速度［vr，ωr］T的參考軌跡跟蹤。

4.1 軌跡跟蹤位姿誤差模型

定義機(jī)器人參考的位姿為 pr=［Xr，Yr，θr］T，式中：vr—機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的參考速度；ωr—機(jī)器人本體繞其幾何中心的參考角速度，其滿(mǎn)足式（1）的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。如圖1所示，機(jī)器人的實(shí)際位姿由其質(zhì)心OG在坐標(biāo)系O（X，Y，Z）的位置及航向角θ表示，即p=［X，Y，θ］T，若不考慮車(chē)輪與地面的滑移，在全局坐標(biāo)系下，機(jī)器人的軌跡跟蹤誤差方程為：

式中：ex、ey、eθ—機(jī)器人的縱向誤差、側(cè)向誤差和方向誤差。

令機(jī)器人跟蹤誤差向量為 e=［ex，ey，eθ］T，則其位姿誤差微分方程為[6]：

4.2 滑模跟蹤控制

為了提高趨近階段的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，有效減弱滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象，并且使機(jī)器人從任意初始位置快速平滑的趨近滑模面，選取指數(shù)趨近律以及冪次趨近律的組合作為趨近函數(shù)：

式中：ε＞0，k1＞0，k2＞0，0＜a＜1。

使 s1→0，s2→0，就能實(shí)現(xiàn) ex收斂到零，且 eθ收斂到-arctan（vrey），從而實(shí)現(xiàn) ey→0，eθ→0。

令 α=arctan（vrey），由式（5）、式（7）和式（8）得：

經(jīng)整理，得到控制律為：

因此，可以看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

5 仿真分析

為驗(yàn)證所提出的滑?？刂品椒ǖ挠行?，選擇直線(xiàn)與圓形兩種參考軌跡路徑進(jìn)行跟蹤控制。仿真時(shí)控制器中的參數(shù)如下：k11=0.5，k12=1.4，k21=0.5，k22=1.4，ε1=0.03，ε2=0.03，a1=0.4，a2=0.5，δ=0。

圖4 直線(xiàn)軌跡仿真結(jié)果Fig.4 The Simulation Result of Straight Line Trajectory

圖5 圓形軌跡仿真結(jié)果Fig.5 The Simulation Result of Circular Trajectory

6 結(jié)論

（1）機(jī)器人在滑移轉(zhuǎn)向過(guò)程中，輪胎在縱向滑轉(zhuǎn)的同時(shí)，會(huì)伴有側(cè)向的變形和滑動(dòng)。轉(zhuǎn)向半徑越小，機(jī)器人車(chē)輪的滑轉(zhuǎn)、滑移現(xiàn)象越嚴(yán)重，機(jī)器人受到的轉(zhuǎn)向阻力也越大。（2）采用滑模變結(jié)構(gòu)的控制方法對(duì)滑移轉(zhuǎn)向機(jī)器人進(jìn)行軌跡跟蹤，設(shè)計(jì)了一種將指數(shù)趨近律和冪次趨近律相結(jié)合的趨近律函數(shù)，并利用Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)直線(xiàn)和圓形兩種參考軌跡進(jìn)行跟蹤控制仿真，結(jié)果表明機(jī)器人能平穩(wěn)、快速地跟蹤期望軌跡，驗(yàn)證了該滑?？刂品椒ǖ挠行院涂尚行?。