基于Copul a的投資組合風(fēng)險(xiǎn)分析

胡青

（北京工商大學(xué)理學(xué)院，北京100048）

1 引言

Copula函數(shù)作為一種新的度量多變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)的工具已受到眾多學(xué)者的關(guān)注，并在金融領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。自Embrechts等首次將Copula函數(shù)引用到風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域以來(lái)，國(guó)內(nèi)外已有大量的文獻(xiàn)對(duì)Copula在金融中的應(yīng)用做了廣泛的研究。例如，吳振翔等運(yùn)用Archimedean Copula對(duì)基于VaR的外匯投資組合構(gòu)建問(wèn)題進(jìn)行了深入研究；Goorbergh等利用Copula函數(shù)的參數(shù)與秩相關(guān)系數(shù)Kendall之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立了Copula-GARCH模型，研究了雙標(biāo)的最優(yōu)認(rèn)購(gòu)期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題[1]。論文運(yùn)用Copula函數(shù)建立了投資組合之間的聯(lián)合分布，并得到了在一定概率下的收益率。

在得到投資組合的聯(lián)合分布之后，如何量化地描述投資組合的風(fēng)險(xiǎn)也是學(xué)術(shù)界較為關(guān)注的問(wèn)題。在實(shí)際中人們往往更為關(guān)注大的損失，也就是尾部風(fēng)險(xiǎn)，而VaR就是描述尾部風(fēng)險(xiǎn)的一種很好的方法，目前金融機(jī)構(gòu)都在使用VaR方法管理投資組合的風(fēng)險(xiǎn)[2][3]。

2 Copula理論

假設(shè) Y=（Y1，…，Yn），聯(lián)合分布函數(shù) FY，其邊際分布函數(shù)分別為：均服從[0,1]上的均勻分布，則的聯(lián)合分布就稱(chēng)為Copula。

在Copula中最主要的是橢圓Copula和Archimedean Copula，其中橢圓 Copula包括正態(tài) Copula和 t Copula,Archimedean Copula 包 括 Frank Copula、Clayton Copula 和Gumbel Copula[4]。

2.1 正態(tài)Copula函數(shù)

正態(tài)Copula函數(shù)由多元正態(tài)分布函數(shù)得出，即CG=（u1，…，un）=?（?-1（u1），…，?-1（un））。其中?為n元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的聯(lián)合分布函數(shù)；?-1為單一變量的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

二元正態(tài)copula函數(shù)的表達(dá)式為：

二元 Gumbel copula 的表達(dá)式為：

其中R12為兩隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)。

2.2 t copula函數(shù)

tcopula函數(shù)是多元t分布的聯(lián)合分布函數(shù)，t分布函數(shù)是由卡方分布和多元正態(tài)分布（卡方分布和多元正態(tài)分布相互獨(dú)立）構(gòu)造得到，tcopula函數(shù)的形式如下：

二元t copula的表達(dá)式為：

2.3 二元Frank copula函數(shù)

二元Frank copula的表達(dá)式為：CF（u1，u2，α）=exp[-{（-其中 α∈[1，∞）。

2.4 二元Clayton copula函數(shù)

二元Clayton copula函數(shù)是阿基米德copula函數(shù)中較為常用的一種，其表達(dá)式為：其中θ∈（0，∞）。

2.5 Gumbel copula函數(shù)

3 VaR理論

我們選用VaR指標(biāo)來(lái)度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)[5]。以L表示金融資產(chǎn)的損失函數(shù)，對(duì)于一個(gè)給定的α∈（0，1），置信水平α下的 VaR 定義[6]為：VaR（α）=inf{x：P（L≤x）≤α}

4 實(shí)證分析

本文從銳思研究數(shù)據(jù)庫(kù)選取了九只股票，分別為萬(wàn)科A（000002）、招商地產(chǎn)（000024）、國(guó)農(nóng)科技（000004）、華錦股份（000059）、平安銀行（000001）、世紀(jì)星源（000005）、深圳華強(qiáng)（000062）、農(nóng)產(chǎn)品（000061）、中金嶺南（000060），得到了這九支股票在2001年1月1日到2016年6月1日的日收益率數(shù)據(jù)，旨在通過(guò)對(duì)股票日收益率的研究得出投資組合的相關(guān)性對(duì)投資組合損失的影響。因此，首先利用RStudio軟件得出這九支股票日收益率（單位：%）的相關(guān)系數(shù)矩陣如下（表1）。

由于收益率數(shù)據(jù)本身差距較小，于是我們選取差別較為明顯的兩組進(jìn)行研究，從上表中可以看出000002和000024的相關(guān)系數(shù)為0.315,000004和000059的相關(guān)系數(shù)為0.007，因此，我們選擇這兩個(gè)投資組合進(jìn)行研究。下面我們稱(chēng)前者為組合A，后者為組合B。

表1 九支股票的相關(guān)系數(shù)矩陣表

圖1 四組日收益率數(shù)據(jù)的正態(tài)QQ圖

圖2 四支股票收益率核密度估計(jì)圖

圖3 四支股票日收益率t分布的QQ圖

首先，我們要看一下四只股票日收益率的邊際分布，我們可以通過(guò)正態(tài)QQ圖的情況來(lái)檢驗(yàn)四組數(shù)據(jù)的厚薄尾情況，然后根據(jù)用數(shù)據(jù)估計(jì)的密度曲線的情況來(lái)確定其分布情況（圖1，圖2，圖3）。

通過(guò)正態(tài)QQ圖，我們可以看到每一支股票的日收益率都是尖峰后尾性的分布，然后通過(guò)估計(jì)的密度函數(shù)圖，我們可以認(rèn)為四支股票的收益率數(shù)據(jù)均為尖峰后尾的分布，于是我們考慮t分布，運(yùn)用t-QQ圖可以看出t分布比正態(tài)分布更合適。于是我們運(yùn)用t分布來(lái)擬合這四組數(shù)據(jù)，并估計(jì)出了t分布的參數(shù)分別為 000002：（-1.187435e-05 2.425709e-02 3.683019）；000024：（0.002104043 0.043948802 2.465538460）；000004： （0.0009561316 0.0280088659 4.8036371012）；000059：（-0.0004539416 0.0279536113 5.0903586721）。

投資組合可視為兩個(gè)隨機(jī)變量相加，要看隨機(jī)變量的損失情況，首先要得到兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，現(xiàn)在，我們雖得到了其邊緣分布，但兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)還依賴(lài)其相依結(jié)構(gòu)。下面我們將選用不同的Copula函數(shù)，包括二維t Copula，正態(tài)Copula和阿基米德Copula，對(duì)兩個(gè)邊緣分布進(jìn)行連接，并用AIC準(zhǔn)則選取最好的Copula，得到最優(yōu)的聯(lián)合分布。下面是我們用軟件擬合的組合A和組合B的聯(lián)合分布的參數(shù)：

表2 四個(gè)Copula函數(shù)的參數(shù)表

下面我們將根據(jù)公式

計(jì)算兩個(gè)投資組合不同Copula的AIC，從而選擇具有最小的AIC值的Copula作為投資組合的聯(lián)合分布函數(shù)[7]。其中，k為參數(shù)的個(gè)數(shù)，L為極大似然函數(shù)值。根據(jù)R軟件得到的AIC的值為：

表3 四個(gè)Copula的AIC值

根據(jù)計(jì)算得到AIC值及AIC值越小越好的原則，組合A選擇t Copula,而組合B選擇frank Copula。利用軟件得到：在5%的置信度下，組合A的VaR為-1.72%，即收益率為-1.72%；組合B的VaR為-1.67%，即組合B的收益率為-1.67%，也就是說(shuō)，在相同的置信度下，組合A會(huì)損失1.72%，組合B會(huì)損失1.67%。

本文結(jié)論表明，在選擇投資組合時(shí)，應(yīng)該選擇相關(guān)系數(shù)較小的。