《普通化學(xué)》計(jì)算題中的自然對數(shù)運(yùn)算問題

崔文輝,聶龍英，陳 強(qiáng)

(隴南師范高等?？茖W(xué)校農(nóng)林技術(shù)學(xué)院，甘肅 成縣 742500)

在大學(xué)《普通化學(xué)》課的實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，對于化學(xué)熱力學(xué)、化學(xué)動力學(xué)、水化學(xué)和電化學(xué)等部分的計(jì)算題，按照相關(guān)的化學(xué)理論推演到最后一步，涉及到的相當(dāng)于求ln x的對數(shù)計(jì)算問題，學(xué)生往往因?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)問題而導(dǎo)致計(jì)算“卡殼”，無法得到結(jié)果或計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)。如：熱力學(xué)等溫式等式[1]：

化學(xué)動力學(xué)中的阿累尼烏斯公式：

電化學(xué)中，對于電池反應(yīng):aA(aq)+bB(aq)=gG(aq)+dD(aq)。

的電池電動勢能斯特方程:

對于電極反應(yīng)為a(氧化態(tài)) + ne-=b(還原態(tài))的電極電勢的能斯特方程：

1 中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的對數(shù)概念及計(jì)算類型

經(jīng)仔細(xì)統(tǒng)計(jì)，在現(xiàn)行的高一數(shù)學(xué)教材"對數(shù)函數(shù)"一節(jié)中出現(xiàn)的題型有如下類型：

(1)指數(shù)與對數(shù)互化(26小題)；

(2)用logax、logay、lgx、lgy、lgz等表示下列各式(6小題)；

(3)比較兩個(gè)數(shù)值大小(11小題)；

(4)求函數(shù)定義域(9小題)；

(5)用對數(shù)的換底公式化簡(3小題)；

(6)用對數(shù)的換底公式證明(1小題)；

(7)各種計(jì)算和求x值(46小題)；

(8)畫出對數(shù)函數(shù)的圖象(2小題)。

在這8類37個(gè)對數(shù)問題中，我們得到了這樣的信息：

(1)大多數(shù)計(jì)算題無需查表和使用計(jì)算器，只利用對數(shù)性質(zhì)進(jìn)行技巧性計(jì)算，即可得到特殊的結(jié)果；

(2)沒有查反對數(shù)表的題；

(3)沒有求自然對數(shù)和其反函數(shù)的值的示例題；

(4)沒有自然對數(shù)和常用對數(shù)互化的示例題；

(6)關(guān)于自然對數(shù)及其反函數(shù)的計(jì)算的問題只有1個(gè)，卻是以習(xí)題形式呈現(xiàn)的。

2 自然對數(shù)與其反函數(shù)指數(shù)函數(shù)(ex)的計(jì)算

正如物質(zhì)的量及其單位-摩爾，本身是一個(gè)物理量，似乎應(yīng)在物理學(xué)中專門講授，但由于其在化學(xué)中應(yīng)用的更多，所以，這部分知識被安排在中學(xué)化學(xué)教材中介紹的道理一樣，既然《普通化學(xué)》、《無機(jī)化學(xué)》、《物理化學(xué)》等教材中也都有關(guān)于自然對數(shù)與其反對數(shù)-指數(shù)函數(shù)(ex)的計(jì)算問題，而且在早期出版的一些《物理化學(xué)》教材的后面附有對數(shù)表和逆對數(shù)表[3],就是為方便計(jì)算設(shè)計(jì)的。鑒于學(xué)生的中學(xué)對數(shù)基礎(chǔ)知識技能中缺少對自然對數(shù)的運(yùn)用，我們應(yīng)在《普通化學(xué)》等相關(guān)課程上拓展學(xué)生的對數(shù)知識，尤其是對學(xué)生使用《對數(shù)表》和科學(xué)計(jì)算器計(jì)算有關(guān)自然對數(shù)和反函數(shù)的求值計(jì)算能力進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練。

2.1 查數(shù)學(xué)用表

在《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》中[4],有《常用對數(shù)表》、《反對數(shù)表》、《指數(shù)函數(shù)ex表》和《指數(shù)函數(shù)e-x表》等，就是沒有《自然對數(shù)表》，自然對數(shù)的求值必須借助對數(shù)的換底公式將其轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)后再求值，即：lnx=2.303lgx。

推導(dǎo)過程如下：

lnx=logex，用換底公式，得：

例1：對于列計(jì)算式[1]64，查表求ln219=？

解：利用關(guān)系式lnx=2.303lgx，轉(zhuǎn)化成求常用對數(shù)值：ln219=2.303lg219。由于常用對數(shù)表只能查真數(shù)在1～9.99范圍的值，超越這個(gè)范圍的其他數(shù)字要用科學(xué)計(jì)數(shù)法處理，219=2.19×102，查表得，lg2.19=0.3404，ln219=2.303lg219=2.303×lg(2.19×102)=2.303×(lg2.19+2)=2.303×(0.340+2)=2.303×2.340=5.389。

所以，學(xué)生只要學(xué)會查《常用對數(shù)表》即可計(jì)算自然對數(shù)lnx的值。

例2：有關(guān)阿侖尼烏斯公式求反應(yīng)速率的計(jì)算題[1]73

此題相當(dāng)于已知：lnx=1.051,查表求x=? 解： lnx=1.051，則x=e1.051≈e1.1=3.004。

指數(shù)函數(shù)ex實(shí)際上是自然對數(shù)lnx的反函數(shù)，中學(xué)數(shù)學(xué)用表中有《指數(shù)函數(shù)ex表》，表中x的取值范圍分別在0.001～10.9之間,此題可直接在指數(shù)函數(shù)ex表中查e1.1的值[4]，得x=3.004，計(jì)算結(jié)果兩者非常接近。

例3：超出《指數(shù)函數(shù)ex表》范圍的計(jì)算題型[1]77

此題相當(dāng)于已知：lnx=43.57,查表求x=?

解：lnx=43.57,x=e43.57=e43×e0.57=(e4.3)10×e0.57=(73.70)10×1.7683=4.7279×1018×1.7683=8.3605×1018。

對于超出《指數(shù)函數(shù)ex表》中x的取值范圍(0.001～10.9)的數(shù)值,可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行合理變換后再查表求值。

例4：有關(guān)范特霍夫等壓方程式的計(jì)算[1]67

上述計(jì)算結(jié)果相當(dāng)于，已知：lnx=-21.4,查表求X=?

解：lnx=-21.4,x=e-21.4=e-22×e0.6=(e-2.2)10×e0.6=0.110810×1.8221=(2.7887×10-10)×1.8221=5.08×10-10

此題屬于lnx的值是負(fù)值情況下的計(jì)算題型，相當(dāng)于求e-x的值?？刹橹袑W(xué)數(shù)學(xué)用表中的《指數(shù)函數(shù)e-x表》，表中x的取值范圍分別在0.001～9.9之間,對于超出這個(gè)范圍的數(shù)值,也需要變換后再查表求值。

2.2 利用科學(xué)計(jì)算器求lnx、ex、e-x的值

例1求ln219=？

ON/C→ln→2→1→9→=→5.38;

例2：lnx=1.051,求x=?

例3：lnx=43.57,求x=?

例4：lnX=-21.4,求x=?

此題相當(dāng)于求e-x的值。利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，e-x=1/ex,

從查數(shù)學(xué)用表和使用計(jì)算器兩種方法求自然對數(shù)的值過程來看，計(jì)算器功能十分強(qiáng)大，操作簡便結(jié)果準(zhǔn)確，且速度快。

3 小結(jié)

本文討論的是一個(gè)幾乎沒有難度的中學(xué)初等數(shù)學(xué)問題，本應(yīng)不該成為“問題”，但實(shí)際上學(xué)生對這部分知識的應(yīng)用真是普遍存在著既不會查對數(shù)表，也不會使用計(jì)算器的問題。從高中數(shù)學(xué)教材的相關(guān)章節(jié)內(nèi)容的編排可以找到答案，中學(xué)階段沒有介紹自然對數(shù)及其反函數(shù)的運(yùn)算前提下，僅靠中學(xué)這一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識還不足以解決大學(xué)化學(xué)計(jì)算問題。同時(shí)，大學(xué)化學(xué)計(jì)算中涉及到的諸如對數(shù)計(jì)算問題，也不能簡單的省略計(jì)算過程，要專門介紹計(jì)算的方法和技巧，擴(kuò)大其應(yīng)用范圍，為學(xué)生學(xué)習(xí)化學(xué)工程相關(guān)的計(jì)算奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。