數(shù)學(xué)建模在常微分方程中的應(yīng)用

趙俊萍 時(shí)文平

【摘要】常微分方程為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基本學(xué)科，也是數(shù)學(xué)與我們現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中的實(shí)際問題緊密相連的重要性橋梁，本文主要探討常微分方程在數(shù)學(xué)建模當(dāng)中的基本應(yīng)用問題以及在數(shù)學(xué)建模當(dāng)中滲透常微分方程的重要性。

【關(guān)鍵詞】常微分方程 數(shù)學(xué)模型 應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G642；O141.4-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）38-0138-01

1.引言

常微分方程十七世紀(jì)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要分支，也是應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科，但是，在常微分方程課程的基本教學(xué)當(dāng)中過分的強(qiáng)調(diào)其理論的嚴(yán)重性，忽略了其課程的綜合實(shí)踐問題，缺少培養(yǎng)同學(xué)們的親自動(dòng)手能力以及應(yīng)用技能方面的能力，然而數(shù)學(xué)建模為一種解決具體問題的模型，它也是實(shí)際現(xiàn)象與數(shù)學(xué)理論的匯合，其內(nèi)在是一項(xiàng)用來鍛煉同學(xué)們思考和應(yīng)用研究技能的方法。所以，我們可以把數(shù)學(xué)建模和常微分方程運(yùn)用在一起，將數(shù)學(xué)建模思想滲入到常微分方程的教學(xué)過程中，使學(xué)生了解問題的基本運(yùn)用方法，來進(jìn)一步提升解決實(shí)際問題的能力，這樣也可以帶動(dòng)學(xué)生對(duì)常微分學(xué)習(xí)的樂趣，提高同學(xué)們將常微分應(yīng)用到實(shí)際問題的能力，同時(shí)也提升數(shù)學(xué)建模的分析能力。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)下，數(shù)學(xué)建模的首要任務(wù)是應(yīng)該成為教學(xué)的重要目標(biāo)之一，還可以鍛煉同學(xué)們的論文寫作創(chuàng)造能力。

2.數(shù)學(xué)建模與常微分方程的結(jié)合

在常微分方程的學(xué)習(xí)當(dāng)中，每個(gè)理論之后都會(huì)有許多具體例子，可以把一部分容易的問題應(yīng)用到里面，對(duì)怎么運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)描述具體問題，并且將其進(jìn)行合理的分析，運(yùn)用哪種理論知識(shí)和哪種常微分方程，以及把學(xué)習(xí)過的方程可以應(yīng)用到的實(shí)際問題進(jìn)行著重教學(xué)，將所學(xué)的教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模方法結(jié)合起來。

3.通過運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決常微分方程知識(shí)

其實(shí)，在學(xué)習(xí)常微分方程中，我們首要關(guān)注的是解題方法，可是當(dāng)我們在解其解時(shí)，常微分方程的圖像是怎樣通過時(shí)間的變化而產(chǎn)生改變的，這需要引入常微分方程模型的方式來對(duì)其進(jìn)一步探究，但是該模型的形成過程一般是較復(fù)雜的，我們通過筆算是難以將其解算出來的，因而，這時(shí)候我們就必須運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件將其數(shù)值解答出來，而且我們還可以運(yùn)用該軟件進(jìn)行數(shù)值的模擬，這不僅能提升同學(xué)們對(duì)常微分方程的學(xué)習(xí)興趣，也可以提高同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想解決常微分方程實(shí)際問題的能力。

4.數(shù)學(xué)建模在常微分方程中的應(yīng)用

我們在學(xué)習(xí)當(dāng)中能夠有針對(duì)的對(duì)學(xué)術(shù)性論文進(jìn)行分析與研究，可以通過當(dāng)前數(shù)學(xué)建模的探究情形，把一些帶有研究性質(zhì)的實(shí)際問題運(yùn)用到里面，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模著重解決一些實(shí)際問題的方法，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)科研能力，例如，在充分了解學(xué)習(xí)了常微分方程穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性理論之后，能夠?qū)σ韵挛墨I(xiàn)[1]進(jìn)行較為嚴(yán)密講解。在該文獻(xiàn)[2]中分析與探究了CTL反應(yīng)動(dòng)力學(xué)性態(tài)，通常為了方便研究，我們能夠?qū)⑵溥M(jìn)行下列假設(shè)：（1）雙線性感染率表示為自由病毒粒子與易感細(xì)胞的概率；（2）狀態(tài)變量A（t）、B（t）、D（t）、Q（t）是連續(xù)的，當(dāng)中，B（t）代表當(dāng)t時(shí)刻時(shí)，自由病毒微粒的濃度；A（t）代表在某一個(gè)時(shí)刻，CTL細(xì)胞的濃度；Q（t）代表在t時(shí)刻時(shí)，易感細(xì)胞的濃度；D（t）代表在t時(shí)刻時(shí)，已經(jīng)感染病毒細(xì)胞的濃度；（3）全部的感染細(xì)胞在逐漸死亡過程當(dāng)中都會(huì)有1個(gè)病毒顆粒的產(chǎn)生；（4）CTL細(xì)胞的增長一般都是會(huì)對(duì)激發(fā)染毒細(xì)胞很依賴，若它們兩個(gè)相互接觸，則會(huì)以hl的速度急劇提升；（5）一般情況下Logistic都具有繁殖增長得到健康T細(xì)胞的能力；（6）若細(xì)胞已經(jīng)被感染，那么CTL免疫反應(yīng)在把該細(xì)胞清理之后，通常是不可能釋放病毒顆粒的，假設(shè)被清理速率是ER。通過上面的假設(shè)可以得出有關(guān)于狀態(tài)變量A（t）、B（t）、D（t）、Q（t）的一個(gè)流程圖。其中， β代表易感細(xì)胞與病毒微粒的接觸概率；K代表易感細(xì)胞的環(huán)境容納量，dv、dc、dT、dt所代表的分別為病毒微粒、CTL細(xì)胞死亡概率、易感染細(xì)胞與已經(jīng)感染病毒的細(xì)胞；r代表的是易感染細(xì)胞的增長概率；λ代表的是在單位時(shí)間內(nèi)通過分泌胸腺得到的易感染細(xì)胞的數(shù)量，因此我們可以得出病毒反應(yīng)動(dòng)力學(xué)的模型，如下：

dQdt=λ-dQQ+rQ（1-kQ）-βQB

dDdt=βQB-diD-PDC

5.結(jié)語

常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的學(xué)科，在很大程度上也給同學(xué)們建立起一架從理論知識(shí)通往實(shí)際問題的橋梁。在本文通過對(duì)常微分理論的研究，使我們深刻理解了常微分理論的含義，掌握了它的運(yùn)算形式，提高了學(xué)生們的做題技能。本文所講述的只是常微分方程其中的一部分，其它方面仍有待于我們做進(jìn)一步的深層次研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬知恩，周義倉，李承治.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2015.6.

[2]姜啟源，謝金星.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2004：128-174.

[3]葛琦，侯成敏.基于數(shù)學(xué)建模的常微分方程創(chuàng)新教學(xué)模式探析[J].高教研究與實(shí)踐，2015.