數(shù)學(xué)“套路”似海深，你只是沒(méi)找到登陸點(diǎn)

這三道題很有收藏價(jià)值。前兩道題為平時(shí)作業(yè)中的基礎(chǔ)題，但體現(xiàn)了很經(jīng)典的思路。第三道題難度適中，是對(duì)先前思路的延伸拓展。在此分享給大家。

——重慶清華中學(xué)高2016級(jí)學(xué)生 王雅琪

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是高考的熱門考點(diǎn)，更是考查高中學(xué)生空間思維能力的有效工具，解題方法靈活多樣。如果學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中不斷總結(jié)和反思，積累一些解題“套路”，定能在高考場(chǎng)上超常發(fā)揮，達(dá)到“事半功信”的效果。

——重慶市數(shù)學(xué)高級(jí)教師 羅學(xué)平

獨(dú)白：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅是為了在高考時(shí)取得優(yōu)異成績(jī)，更重要的是學(xué)會(huì)將思維打開(kāi)，激發(fā)出自己無(wú)限的智慧潛能。完美解決每一道數(shù)學(xué)題都是對(duì)自己的一種肯定。也正是這些“小成功”給了我不少鼓勵(lì)，讓我在一次次跌倒后又重新站起來(lái)。

愛(ài)好：畫畫、乒乓球

目標(biāo)高校&專業(yè)：

北京大學(xué)/數(shù)學(xué)

每次數(shù)學(xué)試卷一發(fā)下來(lái)，總有同學(xué)在我耳邊抱怨： “我的洪荒之力根本沒(méi)有施展出來(lái)，這個(gè)題型的數(shù)學(xué)題我做過(guò)，我的計(jì)算也沒(méi)有任何問(wèn)題，就是沒(méi)有注意到有個(gè)條件變了，哎呀，真可惜”

每次聽(tīng)到類似的抱怨，我都會(huì)想：這兩道題真的是同一類型嗎？之前所用的方法的立足點(diǎn)是什么？本題滿足這個(gè)條件嗎？

三道題“醍醐灌頂”

這里，我用我自己做過(guò)的三道題來(lái)舉一個(gè)例子（詳見(jiàn)前頁(yè)筆記）

1.在三棱錐P-BC中，PA垂直于平面ABC，AB=AC=PA=2，且在△ABC中，∠BAC=120°，則三棱錐P-ABC外接球的體積為

2.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，SC為球的直徑且SC=4，則此三棱錐的體積為

3.已知邊長(zhǎng)為2

3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為（ ）

A.25π

B.26π

C.27π

D.28π

第一道題相信大家都見(jiàn)到過(guò)套路如下：通過(guò)AB=AC=2，∠BAC=120°，算出BC=2√3，通過(guò)正弦定理，求出△ABC的外接圓半徑2，再用勾股定理求出外接球半徑（R²=r²+d²），剩下的就很簡(jiǎn)單了做完這道題，你會(huì)有一個(gè)粗略的印象：好像在一個(gè)三棱錐里邊，有一條棱垂直于底面，底面三角形又已經(jīng)確定，那么它的外接球的體積就很容易求出了.

第二道題也很簡(jiǎn)單，照搬題一的“套路”，所以第二道題助長(zhǎng)了我的自信，這類題我不畫圖也能做出來(lái)

再看看第三道題.有了第一道題的“經(jīng)驗(yàn)”和“印象”，當(dāng)時(shí)的我自然而然地想到了第一道題的“套路”心想：小樣兒，這還不簡(jiǎn)單如前頁(yè)筆記圖3-2所示，把這個(gè)四面體轉(zhuǎn)一個(gè)面，△AFC已經(jīng)確定，還有那條垂直于它的棱DB，和第一題的圖幾乎一模一樣，這和我當(dāng)初的“總結(jié)”完全相符這道題，用這個(gè)“套路”！圖都不畫了，拿筆就算

如果你也和我一樣用了這個(gè)“套路”，恭喜你，選項(xiàng)里根本沒(méi)有這個(gè)答案.再加之考試時(shí)間很緊，你心里又慌，干脆隨便猜一個(gè)，心想一定是題目有問(wèn)題.

后來(lái)，我將這兩道題一起抄在了自己的錯(cuò)題本上，仔仔細(xì)細(xì)地研究了一番，最終恍然大悟點(diǎn)F根本就不在那個(gè)外接球上，也就是說(shuō)，△AFC的外接圓半徑根本就不是小圓的半徑，糊涂呀！

再回頭想想，如果當(dāng)時(shí)不是因?yàn)樽约鹤鲞^(guò)“類似”的題，大意得連圖都不畫（畫畫圖就會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果點(diǎn)F在外接球上，直線DB又垂直于平面AFC，那么點(diǎn)D和點(diǎn)B去哪里了），這不契合的“套路”也不會(huì)繼續(xù)用下去.

第一道題“套路”的立足點(diǎn)在于確定的這個(gè)三角形的頂點(diǎn)都要在外接球上，題二滿足條件，而題三根本不滿足.所以題一和題二同類，題三與它們都不同.

“套路”拐角，你可別跌了

我告訴大家自己這種愚蠢經(jīng)歷，其實(shí)是想說(shuō)：數(shù)學(xué)“套路”很深，有些題看著不像，其實(shí)只是在“變臉”，本質(zhì)是一樣的：有些題看起來(lái)相似得像雙胞胎，結(jié)果一點(diǎn)“血緣關(guān)系”都沒(méi)有.

這就需要我們將學(xué)過(guò)的每一道經(jīng)典例題反復(fù)琢磨，切不可丟了西瓜撿芝麻.學(xué)習(xí)需要一種“鉆研精神”，與其各種“套路”都會(huì)點(diǎn)兒皮毛，不如玩好一種“套路”，這樣就不會(huì)鬧類似于我鬧過(guò)的這種笑話

如何玩好一種“套路”呢？我的方法是分四步走：

需要有兩道及以上類似思路的題目；

找出其中所有題目的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；

提煉出屬于自己的“套路”；

記住“套路”.

如果你的“套路”不夠全面，貿(mào)然使用“套路”就極有可能出錯(cuò).在寫好你的“套路”之后，不妨交給數(shù)學(xué)老師看看，相信他一定能找出其中有瑕疵的地方

做題的時(shí)候，該畫圖時(shí)一定要畫圖，不是說(shuō)有了“套路”就可以一步登天數(shù)學(xué)題目是變化的，畢竟考試的目的在于查漏補(bǔ)缺，如果總是無(wú)法突破你的“套路”，那就沒(méi)必要考試了，所以有了“套路”也不能大意

打怪在升級(jí)，“套路”在錯(cuò)題

隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，各種圈套互相“勾結(jié)”，做數(shù)學(xué)題就像打“王者榮耀”，你剛消滅一個(gè)敵人，另一個(gè)就從背面來(lái)一個(gè)大招，功虧一簣！那么，怎樣才能將各種“套路”爛熟于心，在考場(chǎng)上一路降妖除魔，取得高分呢？

方法其實(shí)很簡(jiǎn)單，你的錯(cuò)題本就是錦囊妙計(jì).錯(cuò)題本上的題不在多而在精，不在是否會(huì)做而在是否有意義.

就像之前那三道題，我就將它們記在了錯(cuò)題本上的同一個(gè)地方，在記下這些題的時(shí)候，問(wèn)問(wèn)自己：我為什么要記下它？它能帶給我什么？

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)艱苦的過(guò)程隨著我們更深入地了解與學(xué)習(xí)，未知也就越多.如果把你的已知畫在一個(gè)圓里，你知道的越多，它的面積就越大.相隨的，它所接觸“外面”的未知也就越多.遇到挫折時(shí)，承認(rèn)自己的不足，然后盡力學(xué)會(huì)它的“套路”，找到它的立足點(diǎn)下一次，絕不在同一個(gè)“坑”里摔倒.