數(shù)學(xué)排隊論模型在兒科門診中的應(yīng)用

孫玲玲

（貴州醫(yī)科大學(xué)生物與工程學(xué)院，貴陽550001）

1 引言

隨著二孩政策的實行，兒科門診量不斷攀升，公立兒童醫(yī)院人滿為患，這對醫(yī)患雙方都不利，因此門診排隊問題受到越來越多國內(nèi)外學(xué)者的重視[1]。1952年，Lindley就使用排隊模型討論了門診患者的等待時間問題[2]；Peng Y等采用開放式預(yù)約調(diào)度方法對門診排隊進行研究[3]；侯玉梅等，曹萍萍等[4-5]針對醫(yī)院門診預(yù)約容量安排問題進行深入研究，給出了一種門診最優(yōu)預(yù)約容量分配方法。

綜上所述，國內(nèi)外學(xué)者對于門診排隊、容量問題開展了廣泛的研究，然而針對我國患者眾多的兒科門診，預(yù)約排隊問題仍需進一步研究。本文主要應(yīng)用排隊論模型對兒科門診排隊現(xiàn)象的各項指標進行量化分析，通過算例分析，得出預(yù)約排隊能最大限度地節(jié)省排隊時間，而對現(xiàn)場掛號排隊，需相應(yīng)地增加門診數(shù)量以減少排隊時間。

2 兒科門診就醫(yī)行為分析

兒科門診排隊現(xiàn)象分為兩種，一種是網(wǎng)上預(yù)約排隊，另一種是現(xiàn)場掛號排隊?；诰W(wǎng)上預(yù)約，患者可根據(jù)自己的預(yù)約時間到候診室等待就診，因為患者已經(jīng)預(yù)約好就診醫(yī)生，且每天預(yù)約患者的數(shù)量有限，故該排隊模型是單服務(wù)臺混合制排隊模型，即,當系統(tǒng)叫號時，若患者已經(jīng)到達門診，則是先預(yù)約先服務(wù)；若系統(tǒng)叫號時，患者未到達門診，則是先到先服務(wù)；基于現(xiàn)場掛號排隊，由于兒科門診有多個診室，即多個服務(wù)臺的情形，患者可自行掛號，當某位醫(yī)生號滿時，患者通常會選擇另外的醫(yī)生掛號就診，直到醫(yī)生號滿為止。此時的排隊模型屬于多服務(wù)臺混合制排隊模型，即當系統(tǒng)到達平穩(wěn)狀態(tài)時，假設(shè)患者到達門診的時間服從參數(shù)為的泊松分布，患者接受就醫(yī)服務(wù)時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，但兩種情形下不同。網(wǎng)上預(yù)約排隊的患者會根據(jù)自己的預(yù)約時間分別到達門診，而現(xiàn)場預(yù)約的患者會盡可能早地到達現(xiàn)場進行掛號，因此前者的到達率要小于后者。

3 兒科門診醫(yī)生配置的排隊模型建立

3.1 排隊論的基本原理

排隊論是通過對服務(wù)對象到達時間和服務(wù)時間的統(tǒng)計分析，得出等待時間、排隊長度、服務(wù)強度等統(tǒng)計指標。據(jù)此改進服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，使得服務(wù)系統(tǒng)既可以滿足服務(wù)對象的需求，又能使服務(wù)系統(tǒng)的配置最優(yōu)。

3.2 兒科就醫(yī)服務(wù)系統(tǒng)指標的量化及求解

基于M/M/1/k混合制排隊模型，由兒科就醫(yī)行為的分析結(jié)果，可得就醫(yī)服務(wù)系統(tǒng)的平衡方程為：

μn=μ，n=1，2，3，…，K

由文獻[6]中(10.5)式，(10.6)和(10.7)式有

故患者損失率 pn=ρnp0n=1，2，3，…，K

由單服務(wù)臺混合制排隊系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)下隊長的分布可知，當ρ≠1時，平均隊長為

由于排隊系統(tǒng)的容量有限，只有K-1個排隊位置，因此，當系統(tǒng)空間被占滿時，再來的顧客將不能進入系統(tǒng)排隊，已知患者的到達率為λ，則當系統(tǒng)處于狀態(tài)K時，患者不能進入系統(tǒng)，故顧客可進入系統(tǒng)的實際概率是1-pK，所以單位時間內(nèi)實際可進入系統(tǒng)的顧客平均數(shù)即有效到達率為：λe=λ（1-pK）=μ（1-p0），其中pK稱為顧客損失率，即來到門診的所有顧客數(shù)中不能進入系統(tǒng)的顧客的比例。由Little公式有平均逗留時間

若患者直接到門診掛號就診，此時假設(shè)門診坐診醫(yī)生有s人，當某一位醫(yī)生號滿時，患者會通常會選擇另外的醫(yī)生掛號就診，直到醫(yī)生號滿為止。此時的排隊模型屬于多服務(wù)臺混合制排隊模型，即M/M/s/K，即顧客的相繼到達時間服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，服務(wù)臺個數(shù)為s，每個服務(wù)臺服務(wù)時間相互獨立，且服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，系統(tǒng)空間為K。此時有

由文獻[6]中(10.44)式，(10.45)及(10.46)式可求得多服務(wù)臺混合制排隊模型下的平均隊長，平均排隊長及平均等待時間及平均逗留時間。

4 算例分析

假設(shè)患者在網(wǎng)上預(yù)約就診后，通常按照預(yù)約時間到達門診，假設(shè)某天某位醫(yī)生的門診預(yù)約量是30人，設(shè)患者按poission流到達門診，平均每6min有一個患者到達，就醫(yī)時間服從負指數(shù)分布，平均每min服務(wù)一個患者，則該系統(tǒng)的有關(guān)指標如下。

這是 一個M/M/1/K排隊模型，其中K=30，λ=1/6，μ=1/6，ρ=λ/μ=1，

患者損失率為p30=ρ30p0=p0=1

有效到達率 λe=λ（1-p30）=0.97

若患者直接到門診掛號就診，此時假設(shè)門診坐診醫(yī)生有3人，每位醫(yī)生每天限掛號30人，當某一位醫(yī)生號滿時，患者通常會選擇其他的醫(yī)生掛號就診，直到醫(yī)生號滿為止。此時的排隊模型屬于多服務(wù)臺混合制排隊模型，即M/M/s/K，其中s=2，K=30，設(shè)每分鐘有2位患者到達門診，每位醫(yī)生的平均服務(wù)時間為 6min，即此時系統(tǒng)的各項指標如下，

由于顧客每分鐘的到達率大于醫(yī)生的服務(wù)率，即服務(wù)系統(tǒng)沒有空閑時間，一直處于工作狀態(tài)。顧客損失率p30=

兒科門診內(nèi)等待的平均人數(shù)即平均排隊長

平均隊長 L=Lq+ρ（1-p30）=23.75

綜上是在普通情況下，兒科門診出現(xiàn)的排隊現(xiàn)象，如果遇上流感高發(fā)區(qū)，患者數(shù)目劇增，此時需相應(yīng)地增加門診數(shù)量，解決廣大老百姓的看病難問題。

5 結(jié)語

比較以上兩種排隊現(xiàn)象的結(jié)果，網(wǎng)上預(yù)約排隊大大地節(jié)省了兒科門診患者的排隊時間，而現(xiàn)場排隊若要達到相同的效果，需要相應(yīng)地增加門診數(shù)量以減少患者的排隊時間，但這樣醫(yī)院勢必會增加投資并且有時還會造成設(shè)施空閑的浪費。因此顧客排隊時間的長短與服務(wù)設(shè)施規(guī)模的大小就構(gòu)成了隨機服務(wù)系統(tǒng)所需要解決的問題，所以，在信息化時代的今天，打破傳統(tǒng)的現(xiàn)場掛號方式，大力提倡網(wǎng)上預(yù)約排隊比較理想。