考慮局部非線性結(jié)構(gòu)振動的模型預(yù)測控制

李 飛， 張 盛， 彭海軍， 陳飆松

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系，大連116024）

1 引 言

近年來，隨著結(jié)構(gòu)減震技術(shù)的發(fā)展，在建筑結(jié)構(gòu)中經(jīng)常會預(yù)設(shè)若干的非線性構(gòu)件或非線性阻尼器等耗能裝置，以便提高結(jié)構(gòu)的抗震能力。這類耗能單元的引入可能對整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)產(chǎn)生非線性力學(xué)效應(yīng)，使得在設(shè)計(jì)計(jì)算和執(zhí)行控制時，將面臨大量的迭代求解，特別是對于大規(guī)模結(jié)構(gòu)，該過程將十分耗時且難以收斂。因此，針對這類局部非線性結(jié)構(gòu)振動控制問題，發(fā)展行之有效的非線性結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析方法和控制策略十分必要。目前，針對結(jié)構(gòu)的非線性控制問題，已有的非線性控制算法主要包括多項(xiàng)式控制［1］、脈沖控制［2］、非線性最優(yōu)控制［3］、加速度控制［4］、動態(tài)線性化方法［5］、滑動模態(tài)控制［6］、模型預(yù)測控制［7］、模糊控制［8］以及魯棒控制［9］等。本文采用模型預(yù)測控制方法開展了局部非線性結(jié)構(gòu)振動控制的相關(guān)研究。

模型預(yù)測控制 MPC（Model Predictive Control）是基于預(yù)測模型的一種現(xiàn)代先進(jìn)控制技術(shù)。該技術(shù)吸取了最優(yōu)控制思想，在每一個采樣時刻，以當(dāng)前狀態(tài)作為預(yù)測過程的初始狀態(tài)，通過在線求解一個有限時域的開環(huán)最優(yōu)控制問題，得到該時刻的最優(yōu)控制力序列，并將該序列中第一個控制力施加于被控系統(tǒng)。進(jìn)而隨采樣時間步進(jìn)，完成整個控制過程。事實(shí)上，自從Richalet等［10］首先發(fā)表了關(guān)于該算法的產(chǎn)生背景及應(yīng)用效果以來，MPC已經(jīng)應(yīng)用于各個工程領(lǐng)域，如土木工程［11］、機(jī)械工程［12］和航空航天工程［13］等。然而，以上工程應(yīng)用大多屬于線性系統(tǒng)，在處理非線性系統(tǒng)時，MPC仍存在較大待改進(jìn)的空間。如模型預(yù)測控制的在線預(yù)測計(jì)算時間應(yīng)小于控制采樣周期［14］，但對于具有局部非線性復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動控制問題，由于其動力學(xué)微分方程的非線性而需要大量的迭代求解，特別是面對大規(guī)模結(jié)構(gòu)，當(dāng)外激勵的采樣時間較小時，預(yù)測時間將很難滿足要求。

因此，為設(shè)計(jì)行之有效的控制器，本文首先推導(dǎo)了局部非線性結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時域顯式遞推表達(dá)式。然后，利用該表達(dá)式建立了局部非線性結(jié)構(gòu)振動預(yù)測模型，并采用模型線性化方法對非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行處理，提出考慮局部非線性結(jié)構(gòu)振動的模型預(yù)測控制算法。另外，在獲取各仿真時刻的預(yù)測初始狀態(tài)時，為避免直接對非線性方程的所有維度完全迭代求解，給出了考慮局部非線性結(jié)構(gòu)動力學(xué)的時域顯式降維迭代方法［15］，以縮小迭代規(guī)模，提高在線的非線性動力學(xué)求解效率，完成整個控制過程。最后，分別以局部非線性彈簧振子動力系統(tǒng)和含粘滯阻尼器的毗鄰框架結(jié)構(gòu)振動控制系統(tǒng)為例，驗(yàn)證了所提算法計(jì)算準(zhǔn)確且控制效果較好。

2 局部非線性結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時域顯式遞推表達(dá)式

考慮n個自由度的局部非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，在外部激勵和主動控制力作用下，其動力學(xué)微分方程為

式中 M∈Rn×n，C∈Rn×n和K∈Rn×n依次為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x∈Rn×1，x·∈Rn×1和x¨∈Rn×1依次為結(jié)構(gòu)運(yùn)動的位移向量、速度向量和加速度向量；xεx和x·εx·分別為與非線性相關(guān)的局部位移和速度；fε（xε，x·ε）∈Rq×1為q維的局部非線性外力向量；p∈Rr×1為r維的外激勵向量；u∈Rm×1為m 維的作動器控制力向量；Lε∈Rn×q，L1∈Rn×r和L2∈Rn×m為相應(yīng)作用載荷的定位矩陣。

將式（1）的非線性項(xiàng)移至等式右端，可得擬線性微分方程（2），

式中

采用Newmark－β法對式（2）進(jìn)行數(shù)值離散。假設(shè)在ti（i＝1，2，…，nt－1，nt；nt為數(shù)值仿真步數(shù)）時刻的速度和位移［16］為

式中 Δt為積分步長；γ和β為Newmark－β的算法參數(shù) （γ≥0．5，β≥0．25（0．5＋γ）2），可根據(jù)積分精度和穩(wěn)定性要求確定，本文取γ＝0．5，β＝0．25。

系統(tǒng)在ti和ti－1時刻的動力學(xué)平衡方程依次為

由式（6）得

式中

式中 積分參數(shù)aj（j＝0，1，2，3，4，5）依次為

由方程（7）可得

將式（11）代入式（9），則由式（8）整理可得

聯(lián)立式（4，5）可得

將式（11）代入式（14）整理得

式中 H21＝a3（H11－I）＋a5M－1K

式中I為n×n維單位矩陣。引入狀態(tài)向量v＝［xT，x·T］T，則由式（12，15）可得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的時域遞推表達(dá)式為

式中

式（17）即為考慮局部非線性結(jié)構(gòu)振動時域顯式遞推表達(dá)式。

3 局部非線性結(jié)構(gòu)振動的模型預(yù)測控制

首先，根據(jù)模型預(yù)測控制理論［14］，在控制器設(shè)計(jì)時，忽略動力學(xué)方程（1）的外激勵L1p作用。假設(shè)預(yù)測的時間為T，預(yù)測的步長為δt，預(yù)測的時間步數(shù)為Nt＝T／δt，則可將式（1）寫為

然后，類比于第2節(jié)局部非線性結(jié)構(gòu)振動時域顯式遞推表達(dá)式（17）的推導(dǎo)，可得方程（19）在各時刻動力響應(yīng)的遞推表達(dá)式為

式中

重復(fù)迭代式（20）可得所有預(yù)測時刻的動力響應(yīng)為

式中 各系數(shù)矩陣依次為

由于在實(shí)際工程中，只能獲取有限的狀態(tài)測量反饋信息，因此本文假設(shè)控制器設(shè)計(jì)的輸出方程為

式中 系數(shù)矩陣Ψ和W只與線性結(jié)構(gòu)參數(shù)和定位矩陣有關(guān)，且僅需計(jì)算前兩列，后續(xù)各列由第二列賦值與組裝即可獲得。另外，在式（25）中（1≤s≤Nt）為預(yù)測的各時刻結(jié)構(gòu)局部非線性等效外力，相比于各預(yù)測時刻的初始狀態(tài)v0和控制力U，其對輸出狀態(tài)向量Y的影響相對較弱，不妨借鑒模型線性化思想對非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行處理，假設(shè)＝＝…＝，從而Y為變量U的函數(shù)。

取性能指標(biāo)為

為使得性能指標(biāo)J取極小，則

將式（25）代入式（26），由式（28）可得控制力U 為

取U的初始時刻控制力u0做為當(dāng)前時刻的最優(yōu)控制力，進(jìn)而通過求解局部非線性動力學(xué)方程（1），便可求得當(dāng)前時刻的受控動力響應(yīng)。如此隨時間步進(jìn)，不斷滾動計(jì)算，即可完成該局部非線性結(jié)構(gòu)振動控制問題的數(shù)值仿真。

綜上所述，表1給出了本文考慮局部非線性結(jié)構(gòu)振動模型預(yù)測控制的算法流程。

需要指出的是，各時間步所預(yù)測的最優(yōu)控制力U中（即式（29）），包含預(yù)測初始狀態(tài)量v0，在獲取v0時，為避免直接對非線性動力學(xué)方程所有維度完全迭代求解。

4 局部非線性結(jié)構(gòu)動力學(xué)的時域顯式降維迭代

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)v0等于0向量時，由式（17）可建立各時刻結(jié)構(gòu)響應(yīng)顯式表達(dá)式為

式中 系 數(shù) 矩 陣 Ai，0，Ai，1，…，Ai，i和 Bi，0，Bi，1，…，Bi，i僅與線性結(jié)構(gòu)參數(shù)和定位矩陣有關(guān)，分別反映了各時刻外激勵和控制力對當(dāng)前時刻結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響。各時刻的系數(shù)矩陣Ai，k和Bi，k列入表2和表3。

表1 局部非線性結(jié)構(gòu)振動模型預(yù)測控制算法流程Tab．1 Implementation of the MPC method for the local nonlinear structural vibration

表2 各時刻的系數(shù)矩陣ATab．2 Coefficient matrices Afor each time instant

表3 各時刻的系數(shù)矩陣BTab．3 Coefficient matrices Bfor each time instant

由表2和表3可知，只需要分別計(jì)算系數(shù)矩陣A和B的前兩列，而后續(xù)的各列由第二列賦值組裝即可。從而，系數(shù)矩陣的所有元素并不需要全部存儲，僅需要保存相應(yīng)的前兩列即可，很大程度上降低了本算法的內(nèi)存需求。

5 數(shù)值算例驗(yàn)證與討論

通過兩個數(shù)值算例，來驗(yàn)證和討論所提考慮局部非線性結(jié)構(gòu)振動的模型預(yù)測控制算法的正確性和有效性。需要說明的是，本文所有算例仿真均在個人計(jì)算機(jī)（主要參數(shù)為Intel（R）core（TM）i7－4800MQ （2．70GHz）processor and 8GB RAM，running on Windows7 64bit）的 MatlabR2014a環(huán)境下執(zhí)行。

5．1 局部非線性彈簧振子動力系統(tǒng)

如圖1所示，質(zhì)量m1＝m2＝m3＝250kg，線性彈簧剛度k1＝k2＝k3＝1000（N／m），質(zhì)量塊m1與m2之間安置了非線性彈簧ks，恢復(fù)力Fs＝2×104（Δx）3，Δx為彈簧ks兩端點(diǎn)相對位移。假設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼為瑞利阻尼（參數(shù)ξ＝0．02，ζ＝0．03），分別采用ANSYS和時域顯式降維迭代方法對其在簡諧支承位移（加速度x¨g（t）＝0．5sin（2πt）（m·s－2））作用下進(jìn)行無控振動響應(yīng)時程分析。

仿真結(jié)果對比如圖2所示。其中，圖2（a）為3號質(zhì)量塊的位移時程曲線，圖2（b）為局部非線性彈簧ks的恢復(fù)力時程曲線。可以看出，ANSYS時程分析與時域顯式降維迭代法的求解結(jié)果幾乎一致，說明本文采用的考慮局部非線性動力學(xué)時程分析方法正確。

5．2 含粘滯阻尼器的毗鄰框架結(jié)構(gòu)振動控制系統(tǒng)

圖1 局部非線性彈簧振子系統(tǒng)Fig．1 Local nonlinear mass－spring system

如圖3所示，考慮某局部安置了粘滯阻尼器的毗鄰框架建筑結(jié)構(gòu)，作動器安裝在各樓層右端點(diǎn)（圓點(diǎn)），觀測點(diǎn)為各樓層的左端點(diǎn)（方點(diǎn)），并假定在部分樓層局部裝有粘滯阻尼器。采用有限元方法建立模型，梁、柱以及毗鄰建筑的連接均使用平面梁單元，結(jié)構(gòu)總自由度為360，并假定結(jié)構(gòu)的阻尼為瑞利阻尼。模型的材料與幾何參數(shù)列入表4，而粘滯阻尼器的非線性阻尼力模型［15］為

圖2 動力學(xué)時程分析的結(jié)果對比Fig．2 Comparison of the results for the dynamic analysis

圖3 局部安置粘滯阻尼器的毗鄰框架結(jié)構(gòu)Fig．3 Adjacent frame structure with viscous dampers installed locally

表4 模型的幾何與材料參數(shù)Tab．4 Geometry and material parameters

p陣；取預(yù)測步長和采樣步長一樣，同為0．02s，預(yù)測時間為1s，仿真總時間為15s?；诒疚乃峋植糠蔷€性結(jié)構(gòu)振動模型預(yù)測控制算法，討論結(jié)構(gòu)在EI Centro地震激勵作用下其水平方向上的振動控制。

如圖4所示，考察在有控情況下，粘滯阻尼器帶來的局部非線性對控制結(jié)果的影響。其中，圖4（a）為毗鄰框架結(jié)構(gòu)最高層位移時程曲線，圖4（b）為對應(yīng)最高層處作動器輸入的控制力時程曲線。

從圖4（a）可以看出，在無控時，由于粘滯阻尼器的作用，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)已有所降低。絕對位移峰值由0．4212m降低為0．2648m，降低了37．13%。在有控時，若控制設(shè)計(jì)時不考慮局部非線性因素，絕對位移峰值為0．0467m；若控制設(shè)計(jì)時考慮局部非線性因素，則絕對位移峰值為0．0358m，降低了23．34%。從圖4（b）可以看出，有控時需要提供的控制力大部分時刻與無控時一致，僅在局部時刻略微增大，這說明在設(shè)計(jì)控制器時，考慮結(jié)構(gòu)局部非線性因素，可取得更令人滿意的控制效果。

圖4 局部非線性因素對結(jié)構(gòu)振動控制的影響Fig．4 Impact of the local nonlinear factors on the results for structural vibration control

綜上所述，考慮局部非線性結(jié)構(gòu)振動模型預(yù)測控制算法正確且有效，很好地抑制了這類局部非線性結(jié)構(gòu)在地震等作用下的振動響應(yīng)。

6 結(jié) 論

本文提出考慮局部非線性結(jié)構(gòu)振動的模型預(yù)測控制算法，為求解大型復(fù)雜局部非線性結(jié)構(gòu)振動控制問題提供了一種有效的主動控制策略。首先，通過Newmark－β法，推導(dǎo)了局部非線性結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的時域顯式遞推表達(dá)式；然后，在該表達(dá)式的基礎(chǔ)上，基于模型預(yù)測控制理論，建立局部非線性結(jié)構(gòu)振動的預(yù)測模型，并借鑒模型線性化思想對非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行處理，提出了考慮局部非線性結(jié)構(gòu)振動的模型預(yù)測控制算法；最后，利用局部非線性結(jié)構(gòu)動力學(xué)時域顯式表達(dá)式優(yōu)勢，給出了非線性動力方程的時域顯式降維迭代策略，以此提高了算法的在線計(jì)算效率，從而完成整個控制過程。數(shù)值算例表明，所提算法求解正確，且在設(shè)計(jì)控制器時，考慮粘滯阻尼器等類似的結(jié)構(gòu)局部非線性因素，能更加高效地抑制結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。