基于Kriging近似模型的GCHE曲軸穩(wěn)健性設(shè)計(jì)

付磊，張洪信，趙清海，徐東，王東

(青島大學(xué) a. 機(jī)電工程學(xué)院; b. 動力集成及儲能系統(tǒng)工程技術(shù)中心，山東 青島 266071)

0 引言

缸間齒輪聯(lián)動液壓發(fā)動機(jī)(gear-linked cylinders hydraulic engine，GCHE)是一種將燃料燃燒熱能轉(zhuǎn)化為流體壓力能的新型動力裝置，結(jié)構(gòu)原理如圖1所示。缸間通過齒輪齒條機(jī)構(gòu)完成動力傳輸；曲軸飛輪組位于機(jī)體一側(cè)，只有一個(gè)曲拐，該單側(cè)曲柄連桿機(jī)構(gòu)將柱塞往復(fù)運(yùn)動轉(zhuǎn)化成旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，并控制活塞行程、驅(qū)動附屬系統(tǒng)。曲軸和機(jī)體結(jié)構(gòu)相對傳統(tǒng)發(fā)動機(jī)大為簡化。GCHE曲軸工況及受力與傳統(tǒng)發(fā)動機(jī)明顯不同，需要對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化，以適應(yīng)最佳工作狀態(tài)。文獻(xiàn)[1]對曲軸采用確定性方法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，但計(jì)算量較大；文獻(xiàn)[2] 對曲軸采用響應(yīng)面近似模型不僅完成了對曲軸優(yōu)化的目的，而且大大提高了計(jì)算效率，但未考慮穩(wěn)健性提高約束的可靠度。本文將基于Kriging近似模型與最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，創(chuàng)建面向6σ穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)的曲軸結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化模型，來完成曲軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

1—缸套；2—活塞；3—活塞銷；4—連桿；5—曲軸；6—滑動軸承；7—啟動齒圈；8—飛輪；9—密封圈；10—驅(qū)動帶輪；11—正時(shí)主動齒輪；12—入口單向閥；13—出口單向閥；14—泵腔；15—柱塞；16—支撐；17—缸間齒輪；18—動力腔圖1 兩缸GCHE結(jié)構(gòu)原理示意圖

1 GCHE曲軸參數(shù)優(yōu)化模型

將曲軸的主要的結(jié)構(gòu)尺寸作為設(shè)計(jì)變量，將應(yīng)力和變形作為優(yōu)化的約束條件，目標(biāo)函數(shù)為體積最小。對曲軸強(qiáng)度影響不大的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化后的參數(shù)化模型如圖2所示，圖中變量為設(shè)計(jì)變量。

圖2 曲軸參數(shù)化模型

1.1 設(shè)計(jì)變量

作為曲軸設(shè)計(jì)變量的選擇需要滿足以下的要求：對曲軸變形、質(zhì)量、應(yīng)力等具有較大的影響；能反映出曲軸結(jié)構(gòu)外形的尺寸；曲軸工作時(shí)承受的應(yīng)力比較復(fù)雜，根據(jù)傳統(tǒng)發(fā)動機(jī)曲軸疲勞斷裂失效經(jīng)驗(yàn)，連桿軸頸與主軸頸過渡圓角半徑應(yīng)作為設(shè)計(jì)變量；尺寸之間相互獨(dú)立，互不影響；對發(fā)動機(jī)整體的參數(shù)以及其他零件的主要尺寸沒有影響；加工工藝性好，容易實(shí)現(xiàn)。綜上所述，選定5個(gè)尺寸作為輸入變量，其原始值及波動范圍如表1所示。

表1 曲軸初始設(shè)計(jì)變量及取值范圍 mm

1.2 約束函數(shù)

為了防止由于交變載荷作用而使曲軸斷裂失效的情況發(fā)生，設(shè)計(jì)曲軸應(yīng)該保證其疲勞強(qiáng)度可以滿足工作條件；為了盡可能減少主軸頸變形，保證相關(guān)的配合間隙，曲軸需要足夠的剛度；此外還需要滿足設(shè)計(jì)變量的上下限要求。

1) 疲勞應(yīng)力約束

(1)

式中，Sσ為疲勞安全系數(shù)；σ-1為材料的疲勞應(yīng)力極限；εσ為曲軸的結(jié)構(gòu)尺寸影響系數(shù)；Kσ為彎曲在圓角處的應(yīng)力集中的系數(shù)；β為強(qiáng)化系數(shù)；σm為平均應(yīng)力；σα為應(yīng)力幅；ψσ是應(yīng)力循環(huán)不對稱敏感系數(shù)。

ψσ=(2σ-1-σ0)/σ0

(2)

式中，σ0為脈動循環(huán)時(shí)材料的彎曲疲勞極限。

2) 變形約束

Δrmax

(3)

式中，Δrmax為連桿軸頸的最大變形量，T1是分析計(jì)算中的變動量。

1.3 優(yōu)化模型

(4)

式中，目標(biāo)函數(shù)V(Xc)為曲軸體積，設(shè)計(jì)變量Xc=[x1,x2,x3,x4,x5] 。約束條件包括疲勞強(qiáng)度σmax(Xc)，其最大值為5 000MPa；連桿軸頸剛度變形Δrmax(Xc)最大值為0.6mm。

2 6σ穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

穩(wěn)健性是通過尋找目標(biāo)函數(shù)變化中波動小的區(qū)域，避免由于變量的不確定性而產(chǎn)生響應(yīng)的不穩(wěn)定變化，而且還可以提高約束條件的可靠度。其優(yōu)化原理見圖3。從圖中可知確定性最優(yōu)結(jié)果在±Δx變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)范圍Δy1波動較大，而穩(wěn)健性的最優(yōu)結(jié)果在±Δx變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)波動Δy2較小。

圖3 確定性與穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果對比圖

確定性與穩(wěn)健性的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型公式分別如式(5)和式(6)所示。

(5)

(6)

式中，X隨機(jī)設(shè)計(jì)變量集；F與H分別為目標(biāo)函數(shù)和約束條件；±ΔX表示隨機(jī)變量X的變化范圍；XL和XU分別為設(shè)計(jì)變量X的上下限。

6σ穩(wěn)健性優(yōu)化是一種可以同時(shí)完成穩(wěn)健性要求和可靠度要求的設(shè)計(jì)方法，其數(shù)學(xué)模型可表示為：

(7)

式中n表示σ水平。

根據(jù)穩(wěn)定性優(yōu)化的原理，將實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、近似模型與6σ穩(wěn)健優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，具體流程如圖4所示。

圖4 優(yōu)化流程圖

3 基于近似模型的確定性優(yōu)化

3.1 近似模型的構(gòu)建

常用的近似模型:響應(yīng)面方法、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Kriging模型等[3]。本文所采用的Kriging模型在研究高度非線性的對象時(shí)，相比其他的方法的預(yù)測效果相對較好。Kriging模型是由相關(guān)模型與回歸模型兩部分構(gòu)成，因此具有較高的精度?；貧w模型包含了零階、一階與二階多項(xiàng)式擬合。相關(guān)模型包括指數(shù)、線性、高斯等函數(shù)。

假設(shè)n維的設(shè)計(jì)變量S=(s1s2…sn)T，響應(yīng)值為Y=(y1y2…yn)T，基于近似模型的響應(yīng)值可表示為：

Y=βF(s)+z(s)

(8)

式中，F(xiàn)(s)為全局回歸模型，β為回歸系數(shù)，z(s)為相關(guān)函數(shù)，服從是在回歸模型的基礎(chǔ)上創(chuàng)建的均值為零，但方差不為零的局部偏差。

對于任意兩個(gè)z(si)和z(sj)之間的協(xié)方差為:

Cov[z(si),z(sj)]=σ2r(si,sj)

(9)

為了提高近似模型的模擬精度，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)采用最優(yōu)拉丁超方的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)(optimal latin hypercube design, Opt LHD)。在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，選取kriging模型作為優(yōu)化模型，其中，擬合曲線的均方根值R2越接近于1，則近似模型越接近于真實(shí)模型，由結(jié)果分析計(jì)算可得，體積均方根值為0.948 22，其擬合效果如圖5所示。

圖5 曲軸體積擬合效果圖

3.2 確定性優(yōu)化

在近似模型的基礎(chǔ)上，采用直接搜索算法(direct search)中的下山單純形法(downhill simplex，DS)算法，進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

優(yōu)化過程經(jīng)過66次迭代，最終求得在約束條件下最小的體積為1.51×10-3(m3)，與初始體積1.56×10-3(m3)相比減少3.8%，其體積變化如圖6所示。

圖6 確定性優(yōu)化曲軸體積變化

4 基于6σ的穩(wěn)健性優(yōu)化

4.1 可靠性分析

采用可靠性評價(jià)(reliability analysis)來考察基于近似模型的確定性優(yōu)化方案的質(zhì)量水平。經(jīng)過質(zhì)量分析可知曲軸連桿軸徑變形量與曲軸疲勞應(yīng)力的可靠度分別為87.96%和95.89%，不滿足可靠度>99.999%(即不滿足4.5σ質(zhì)量水平) ，因此確定性方案的可靠度較低，方案具有一定的局限性，需要進(jìn)行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4.2 6σ穩(wěn)健性優(yōu)化

根據(jù)穩(wěn)健性數(shù)學(xué)模型公式(7)，構(gòu)建曲軸的穩(wěn)健性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

(10)

式中,n代表σ質(zhì)量水平；VOL代表曲軸的總體積；G、F分別代表連桿軸徑變形量與曲軸疲勞應(yīng)力；GL、FL為G、F的設(shè)計(jì)上限(常數(shù))。

通過6σ穩(wěn)健性優(yōu)化，設(shè)定曲軸約束達(dá)到4.5σ質(zhì)量水平，即結(jié)果不滿足設(shè)計(jì)的概率應(yīng)低于0.001%。穩(wěn)健性優(yōu)化采用Kriging近似模型與下山單純形法(downhill simplex，DS)算法。

通過穩(wěn)健性優(yōu)化，曲軸體積優(yōu)化結(jié)果為1.536×10-3(m3)，比確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)增加0.026 m3，但比初始體積減少1.61%，達(dá)到輕量化效果，其體積變化如圖7所示。

圖7 穩(wěn)健性優(yōu)化曲軸體積變化

相比確定性優(yōu)化，穩(wěn)健性優(yōu)化后約束條件質(zhì)量水平均高于4.5σ。穩(wěn)健性優(yōu)化之前曲軸連桿軸徑變形量的質(zhì)量水平為1.55σ，經(jīng)過優(yōu)化后，其質(zhì)量水平提高到4.56σ，如圖8所示。同樣曲軸疲勞應(yīng)力質(zhì)量水平由2.04σ提高到4.64σ，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案具有穩(wěn)健性，如圖9所示。

圖8 穩(wěn)健優(yōu)化前后曲軸連桿軸徑變形量σ質(zhì)量水平對比

圖9 穩(wěn)健優(yōu)化前后曲軸疲勞應(yīng)力σ質(zhì)量水平對比

由計(jì)算結(jié)果可知，穩(wěn)健設(shè)計(jì)在滿足約束條件的前提下，雖然體積較確定性優(yōu)化有所增加，但各個(gè)約束條件的可靠度明顯提高，在滿足輕量化的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性，確定性優(yōu)化與穩(wěn)健性設(shè)計(jì)對比如圖10所示。

圖10 各種方案優(yōu)化結(jié)果對比圖

5 結(jié)語

以GCHE曲軸為研究對象，結(jié)合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、kriging近似模型技術(shù)與6σ穩(wěn)健性優(yōu)化，開展曲軸結(jié)構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計(jì)，在保證滿足約束的條件下，既使體積減少了1.61%，并且通過穩(wěn)健性優(yōu)化提高了約束的可靠度。結(jié)果表明，通過近似模型可在保證計(jì)算精度的前提下，有效地減少計(jì)算工作量。并且穩(wěn)健設(shè)計(jì)能有效的降低產(chǎn)品的失效概率，提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性，具有一定的工程實(shí)用性和價(jià)值。