降低螺旋錐齒輪接觸應(yīng)力及傳遞誤差方法的研究

黃藝?guó)櫍檿愿?，黃文通

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

螺旋錐齒輪具有較大重合度、傳動(dòng)效率高、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于飛機(jī)、機(jī)床等領(lǐng)域[1-3]。在實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用中分析螺旋錐齒輪的嚙合狀態(tài)，計(jì)算其接觸應(yīng)力及其傳遞誤差，一直是螺旋錐齒輪的研究前沿問(wèn)題。Simon[4]研究了安裝誤差和齒形誤差對(duì)螺旋接觸軌跡的影響；汪中厚[5]等人通過(guò)導(dǎo)入假想共軛齒面進(jìn)行了螺旋錐齒輪齒面接觸分析，并通過(guò)有限元分析螺旋錐齒輪的傳動(dòng)誤差；汪中厚等人[6]還采用張量分析的方法，對(duì)螺旋錐齒輪的齒面接觸分析及基于五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的全齒面綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)加工方法進(jìn)行了深入研究；王鵬[7]等人基于嚙合原理分析了國(guó)內(nèi)外螺旋錐齒輪研究進(jìn)展。然而，由于螺旋錐齒輪的幾何特性和嚙合原理導(dǎo)致其嚙合過(guò)程中接觸應(yīng)力及傳遞誤差不易控制。

為了改善螺旋錐齒輪嚙合接觸質(zhì)量，降低嚙合過(guò)程中的接觸應(yīng)力及傳遞誤差，本文以端面滾刀加工螺旋錐齒輪為研究對(duì)象，建立齒面接觸方程，分析加工過(guò)程中降低齒面接觸應(yīng)力及傳遞誤差的方法，為后續(xù)螺旋錐齒輪的研究提供了一定的理論參考。

1 螺旋錐齒輪齒面方程的建立

在該研究過(guò)程中采用假想齒輪的方法來(lái)解釋端面滾刀范成法加工過(guò)程中產(chǎn)生的螺旋錐齒輪及其齒面方程。該假想齒輪是虛擬齒輪，其輪齒是由刀盤切削刃軌跡形成的；螺旋錐齒輪齒面的形成運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)上就是將連續(xù)的刀具切削面方程從刀盤坐標(biāo)系Ke(xe、ye、ze)根據(jù)嚙合原理和齊次坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換到假想平頂齒輪坐標(biāo)系Kc(xc、yc、zc)下，即可得到齒面方程。根據(jù)圖1采用變換可由式(1)表示：

(1)

圖1 螺旋錐齒輪

圖1中，κ為刀具傾角；μ刀具旋轉(zhuǎn)角；ρc為假想齒輪的節(jié)圓半徑；ρt為刀盤半徑；γi為刀盤軸初始角度；ζi為刀具偏移角；hd為刀具距離機(jī)器平面的傾斜距離；e為機(jī)床徑向設(shè)置距離；ω(c)、ω(t)分別為假想齒輪、刀盤的角速度。

為了獲得加工過(guò)程中螺旋錐齒輪齒面方程，假設(shè)螺旋錐齒輪和平頂齒輪共軛嚙合，如圖2所示。圖2為假想平頂齒輪與螺旋錐齒輪的坐標(biāo)系，Kc(xc、yc、zc)表示假想平頂齒輪坐標(biāo)系，K1(x1、y1、z1)、K2(x2、y2、z2)分別表示齒輪1、齒輪2的坐標(biāo)系。圖2中的ω(1)、ω(2)分別為齒輪1、齒輪2的角速度；Φ1、Φ2分別為齒輪1、2嚙合過(guò)程中的轉(zhuǎn)角。齒輪1、齒輪2齒面方程由式(2)—式(3)定義：

(2)

(3)

圖2 坐標(biāo)系

2 最大接觸應(yīng)力及傳遞誤差計(jì)算

2.1 齒面載荷分布分析

在相同載荷條件下，基于螺旋錐齒輪安裝角度位置誤差、輪齒的瞬時(shí)接觸線計(jì)算齒面載荷分布；計(jì)算過(guò)程中將齒面接觸點(diǎn)的復(fù)合位移作為輪齒變形，同時(shí)考慮輪齒間的分離、錯(cuò)位及復(fù)合齒形誤差。因此，瞬時(shí)接觸線應(yīng)滿足式(4)：

(4)

任意接觸點(diǎn)D處輪齒表面法向方向上的復(fù)合位移Δyn可由式(5)表示：

Δyn=w(zD)+s(zD)+en(zD)

(5)

式中：zD為點(diǎn)D沿著接觸線方向的坐標(biāo)；w(zD)為點(diǎn)D處的總變形量；s(zD)為點(diǎn)D出的齒面相對(duì)分離；en(zD)為點(diǎn)D處的復(fù)合誤差，該誤差為大小齒輪的制造裝配誤差總和。

點(diǎn)D處的總變形量定義為：

(6)

式中：Lit為齒輪副it處接觸線的幾何長(zhǎng)度；Kd(zD,zF)為影響系數(shù)，Kd包含大小齒輪輪齒彎曲和剪切變形，大小齒輪彎曲、扭轉(zhuǎn)以及支撐軸變形。Kc(zD)為大小齒輪輪齒接觸間的影響系數(shù)；p(zF)、p(zD)分別為在F、D處的輪齒載荷。

接觸點(diǎn)距大小齒輪軸的距離是時(shí)刻變化的，傳遞力矩可定義為：

(7)

(8)

Δyn(it,iz)=w(it,iz)+s(it,iz)+en(it,iz)

(9)

(10)

總變形量定義為：

w(it,iz)=wt(it,iz)+wc(it,iz)+wgs(it,iz)

(11)

式中：wt(it,iz)為大小齒輪輪齒復(fù)合彎曲和剪切變形；wc(it,iz)為大小齒輪輪齒復(fù)合接觸變形；wgs(it,iz)包括齒輪彎曲、支撐軸變形。

輪齒變形可由式(12)計(jì)算求得：

(12)

(13)

(14)

2.2 有限元提取最大接觸應(yīng)力數(shù)學(xué)模型

根據(jù)參考文獻(xiàn)[8] ，通過(guò)式(15)來(lái)確定輪齒it上iz小段的法向最大接觸應(yīng)力：

(15)

fσr0(hDr,hFr)·fwa0(bDr,hFr)

2.3 有限元提取傳遞誤差數(shù)學(xué)模型

總傳遞誤差包含齒輪副安裝運(yùn)動(dòng)誤差、輪齒誤差變形誤差等。假設(shè)齒輪1為主動(dòng)輪并以恒定角速度運(yùn)轉(zhuǎn)。由于齒輪副的安裝、運(yùn)動(dòng)誤差導(dǎo)致齒輪副間的角速度比不斷變化，且從動(dòng)輪的角位移將偏離理論位置，則從動(dòng)輪角位移可以由式(16)表示：

(16)

式中：Φ1、Φ2分別為齒輪1、2的瞬時(shí)角位置；Φ10、Φ20分別為小齒輪、大齒輪的初始角位置；N1、N2分別為小齒輪、大齒輪的齒數(shù)；ΔΦ2s為由于裝配誤差引起的大齒輪的角位移。

根據(jù)式(4)計(jì)算大小齒輪嚙合過(guò)程中由于柔量變化引起的大齒輪角位移。因此，齒輪總傳遞誤差由式(17)計(jì)算：

(17)

3 有限元分析

3.1 螺旋錐齒輪模型的建立

螺旋錐齒輪參數(shù)較多且建模復(fù)雜，為精確建模，本文通過(guò)CATIA軟件中二次開發(fā)功能模擬螺旋錐齒輪真實(shí)的加工過(guò)程，通過(guò)切割來(lái)獲得1個(gè)齒槽包絡(luò)線模型，從而獲得螺旋錐齒輪的齒廓曲面和齒根曲面。以切割軌跡線的端點(diǎn)為采樣點(diǎn)，用二階連續(xù)的雙三次非均勻有理B樣條(NURBS)擬合獲得光滑的擬合曲線，從而重構(gòu)出曲率均勻變化的齒槽曲面。通過(guò)陣列等操作可構(gòu)建出精確的螺旋錐齒輪幾何模型。

圖3 螺旋錐齒輪有限元裝配模型

3.2 螺旋錐齒輪靜力學(xué)有限元分析

有限元分析前處理設(shè)置關(guān)系將取決分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，螺旋錐齒輪選常用合金鋼材料，彈性模量206 000MPa，泊松比0.3，齒輪接觸選擇有限滑移接觸算法，硬接觸，摩擦系數(shù)值為0.06。端面滾刀加工螺旋錐齒輪完成后，根據(jù)齒輪實(shí)際負(fù)載，分析不同加工參數(shù)對(duì)接觸應(yīng)力及傳遞誤差的影響，以獲得降低齒輪接觸應(yīng)力及傳遞誤差的方法，分析結(jié)果如圖4所示。圖中參數(shù)Kpmax(實(shí)心圓圈表示)、KΔΦ2max(實(shí)心方框表示)分別表示不同加工參數(shù)下加工所得螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力、最大齒輪傳遞誤差與理論共軛嚙合條件下加工螺旋錐齒輪相應(yīng)值之比。

觀察圖4(a)可知，刀具傾角一定時(shí)，隨著刀具旋轉(zhuǎn)角的增加，螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力急劇增加；傳遞誤差緩慢降低最后趨于穩(wěn)定；同時(shí)可以明顯看出，隨著旋轉(zhuǎn)角的減小，錐齒輪最大接觸壓力幾乎不變；傳遞誤差先降低，再增加最后趨于穩(wěn)定。

由圖4(b)可知，保持刀具其他參數(shù)一定，隨著傾斜距離(hd)的增加齒輪最大接觸應(yīng)力緩慢降低、齒輪傳遞誤差先降低后增加；然后隨著傾斜距離的減小齒輪最大接觸壓力幾乎呈直線下降，齒輪傳遞誤差趨勢(shì)表現(xiàn)為直線增加。

圖4(c)表明隨著機(jī)床修正量(Δe)的增加齒輪最大接觸壓力緩慢增加、傳遞誤差則緩慢降低；隨著修正量的降低，齒輪最大接觸壓力急劇下降，隨后趨于平穩(wěn)、齒輪傳遞誤差則表現(xiàn)為急劇增加。

由圖4(d)可知隨著刀頭半徑的增加(Δrt0)齒輪最大接觸應(yīng)力將至最低后緩慢上升、傳遞誤差則呈現(xiàn)出先降低后急劇增加的變化趨勢(shì)。

圖4(e)、圖4(f)分別表示刀盤內(nèi)、外圓弧刀刃半徑(rprof1、rprof2)對(duì)齒輪最大接觸應(yīng)力、傳遞誤差的影響。由圖4(e)、圖4(f)可以發(fā)現(xiàn)刀盤內(nèi)外圓弧半徑對(duì)齒輪最大接觸應(yīng)力、傳遞誤差的變化趨勢(shì)相同：隨著內(nèi)外圓弧半徑的增加，最大齒輪接觸應(yīng)力雖然有些波動(dòng)，但整體表現(xiàn)較為平穩(wěn)；齒輪傳遞誤差則在內(nèi)外圓弧半徑增加最初階段急劇降低，然后變化開始趨于平穩(wěn)。

圖4 不同加工參數(shù)對(duì)接觸應(yīng)力及傳遞誤差的影響

根據(jù)圖4分析，當(dāng)κ=2°，μ=-1°時(shí)，齒輪傳遞誤差、齒面接觸壓力最低。

3.3 螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)有限元分析

動(dòng)態(tài)加載分析采用與靜力學(xué)分析相同的有限元網(wǎng)格模型，但分析類型選擇動(dòng)態(tài)顯式分析算法。根據(jù)靜力學(xué)分析得到的參數(shù)，進(jìn)行縱向分析不同工況下(如表1所示)齒輪最大接觸壓力及傳遞誤差隨齒輪傳動(dòng)比變化的趨勢(shì)，分析結(jié)果如圖5所示。

表1 不同加工工況

圖5 不同工況下分析結(jié)果

圖5為不同加工工況下，最大齒輪接觸壓力、傳遞誤差分析結(jié)果。分析圖5可知加工工況完全相同時(shí)，最大齒輪接觸誤差隨著齒輪傳動(dòng)比的增加而降低；傳遞誤差隨傳動(dòng)比的變化比較復(fù)雜。

分析圖5(a)可知，刀具旋轉(zhuǎn)角、傾角一定時(shí)，改變加工工況均降低了最大齒輪接觸應(yīng)力；其中工況4加工條件下最大齒輪接觸應(yīng)力降低最為明顯，且隨傳動(dòng)比的增加，最大齒輪接觸應(yīng)力呈線性降低的變化趨勢(shì)。

觀察圖5(b)可以發(fā)現(xiàn)，傳動(dòng)比較小時(shí)，改變加工方法有利于降低齒輪傳遞誤差；然而隨著傳動(dòng)比的增加，完全共軛加工條件下齒輪傳遞誤差幾乎沒有變化，工況2、3條件加工下齒輪最大傳遞誤差均呈現(xiàn)先急劇增加后逐漸降低的變化趨勢(shì)，且兩種工況下加工的螺旋錐齒輪傳遞誤差在傳動(dòng)比較大時(shí)均比工況1高。工況4則表現(xiàn)出較好的傳動(dòng)平穩(wěn)性，傳動(dòng)比較小時(shí)明顯低于工況1，隨著傳動(dòng)比的增加該工況下齒輪傳遞誤差緩慢增加最終趨于穩(wěn)定。

根據(jù)以上分析結(jié)果，以工況4為研究對(duì)象，分析不同N1對(duì)最大齒輪接觸壓力、齒輪傳遞誤差的影響，分析結(jié)果分別如圖6、圖7所示。圖7為N1=10時(shí)最大齒輪接觸壓力及齒輪傳遞誤差分析結(jié)果。對(duì)比圖5、圖6工況1可以看出，隨著主動(dòng)輪齒數(shù)的減小最大齒輪接觸壓力變化不明顯；然而傳遞誤差卻較工況1明顯變大。

圖7為N1=16時(shí)分析結(jié)果。對(duì)比圖6、圖7可以發(fā)現(xiàn)，隨著主動(dòng)輪齒數(shù)的增加，最大齒輪接觸壓力急劇降低，對(duì)比傳遞誤差發(fā)現(xiàn)傳遞誤差也得到了很大程度的改善。

圖6 主動(dòng)輪齒數(shù)N1=10分析結(jié)果

圖7 主動(dòng)輪齒數(shù)N1=16分析結(jié)果

3.4 實(shí)際加工驗(yàn)證

通過(guò)對(duì)螺旋錐齒輪副的實(shí)際工況加載，獲得實(shí)際轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩工況變化規(guī)律，反映出大致的螺旋錐齒輪嚙合特性，并利用計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)處理功能，獲得螺旋錐齒輪副傳動(dòng)誤差的變化規(guī)律。另外，再通過(guò)對(duì)滾機(jī)對(duì)齒輪的接觸區(qū)域進(jìn)行著色檢測(cè)，檢查實(shí)際接觸區(qū)域的大小和位置，從而真實(shí)地反映實(shí)際嚙合傳動(dòng)過(guò)程中的接觸性能。

圖8 實(shí)際傳動(dòng)誤差和實(shí)際接觸區(qū)域

如圖8所示，螺旋錐齒輪的傳動(dòng)誤差比較小，波動(dòng)范圍約為0.1rad，接觸區(qū)主要集中在齒寬中間區(qū)域，接觸性能良好，與有限元的分析結(jié)果一致，螺旋錐齒輪副傳動(dòng)平穩(wěn)，說(shuō)明有限元理論分析的可靠性。

4 結(jié)語(yǔ)

1) 通過(guò)引入假想共軛嚙合齒輪，構(gòu)建加工過(guò)程中螺旋錐齒輪齒面方程，然后基于坐標(biāo)變換提出螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力及傳遞誤差的有限元數(shù)學(xué)模型；

2) 刀具傾角為2°、旋轉(zhuǎn)角為-1°時(shí)，齒輪傳遞誤差、齒面接觸壓力最低；內(nèi)圓弧刀刃半徑為580mm的加工方式將大大改善該螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力及傳遞誤差；

3) 主動(dòng)輪齒數(shù)的增加會(huì)很大程度上降低螺旋錐齒輪最大接觸應(yīng)力及傳遞誤差。