高維度氣動優(yōu)化問題的可視化方法

盧吉承, 宋文濱,*, 鄭彭軍

(1. 上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院, 上海 200240; 2. 寧波大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院, 浙江 寧波 315211)

0 引 言

高可信度的數(shù)值分析工具在飛機(jī)設(shè)計中的應(yīng)用越來越普遍，基于包括計算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics，CFD)和有限元模型(Finite Element Methods，F(xiàn)EM)等方法的高維度優(yōu)化問題是工程應(yīng)用中普遍存在的優(yōu)化問題。高維數(shù)優(yōu)化問題的可視化，屬于數(shù)據(jù)可視化領(lǐng)域中的一種，其難點(diǎn)在于如何使用合理而有效的方法，通過低維度空間來可視化高維度的數(shù)據(jù)，揭示高維度數(shù)據(jù)中的信息。對于特殊的情況，需要研究者改進(jìn)或發(fā)展專用的顯示工具，這是一項(xiàng)不小的挑戰(zhàn)。用戶可以通過可視化工具，方便準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)高維度數(shù)據(jù)中的參數(shù)相互關(guān)系，便于設(shè)計師調(diào)整參數(shù)范圍，從而幫助用戶做出有效的決策。針對高維數(shù)氣動優(yōu)化問題，在有限的數(shù)值計算的約束條件下，找到復(fù)雜參數(shù)關(guān)系之間的最優(yōu)組合。因此，將氣動優(yōu)化問題和高維度可視化方法有機(jī)結(jié)合，具有非常重要的應(yīng)用價值。

傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計流程中，仿真分析模塊就像是一個“黑匣子”，設(shè)計者輸入?yún)?shù)，通過不同的優(yōu)化算法組合，得到優(yōu)化結(jié)果，并進(jìn)行后處理分析。但是，對于優(yōu)化流程中，參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，參數(shù)與響應(yīng)值之間的關(guān)系，設(shè)計者都難以得到實(shí)時和全面的信息。所以，本文根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，對設(shè)計參數(shù)之間以及其和響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行分析，揭示參數(shù)設(shè)計空間以及響應(yīng)面的分布情況，更好地控制參數(shù)范圍，有效減少耗時的CAE(Computer-Aided Engineering)分析計算次數(shù)，提高優(yōu)化效率。

在20世紀(jì)70年代，一些歐美學(xué)者首先提出了可視化技術(shù)。Chernoff 在1973年提出了臉部圖的可視化理論方法[1]。臉譜圖是以人臉的特征(比如眼睛、眉毛、鼻子等)分別映射數(shù)據(jù)項(xiàng)的每一個屬性。臉譜圖可以直觀地從大量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)異點(diǎn)，且可以根據(jù)表情來對數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類。但是，該可視化方法僅適用于維數(shù)不多的數(shù)據(jù)集。到了20世紀(jì)八九十年代，出現(xiàn)了多種可視化技術(shù)，比如，1983年Littlefield[2]提出了符號圖的概念，1984年Cleveland和McGill[3]提出了散點(diǎn)圖矩陣的方法，1985年Inselberg[4]提出了平行坐標(biāo)系的可視化方法，1996年Keim[5]提出了像素圖的概念。隨著可視化技術(shù)的不斷發(fā)展，可視化領(lǐng)域逐漸衍生出許多新的可視化研究方向，包括數(shù)據(jù)可視化[6-7]，科學(xué)計算可視化[8-9]、信息可視化[10]、知識可視化[11]等，本文的研究問題屬于科學(xué)計算可視化領(lǐng)域。

在優(yōu)化問題中的可視化一般都是基于二維或三維的常規(guī)技術(shù)來實(shí)現(xiàn)，主要包括數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)顯示兩個部分。數(shù)據(jù)分析是對數(shù)據(jù)中的某些特征進(jìn)行挖掘和分析，找出數(shù)據(jù)集中的信息和特征，為數(shù)據(jù)顯示做好準(zhǔn)備。數(shù)據(jù)顯示是指基于數(shù)據(jù)分析后的結(jié)果，通過合理的顯示工具，將數(shù)據(jù)中的信息展現(xiàn)給用戶。目前，大部分的可視化研究集中在如何根據(jù)特定的問題，選擇合適的數(shù)據(jù)分析方法和顯示工具。Richardson等[12]利用二維CSOM(Contextual Self-Organizing Maps)方法來顯示高維數(shù)的設(shè)計空間。Duque[13]等針對大量CFD計算，采用SPOD(Snapshot Proper Orthogonal Decomposition)方法來縮減數(shù)據(jù)維數(shù)，并利用FieldView軟件來可視化數(shù)據(jù)。雷琴琴[14]則提出了一種改進(jìn)后的基于像素的可視化技術(shù)。

此外，還有一些可視化軟件和設(shè)備也隨著可視化理論的發(fā)展而相繼出現(xiàn)。比如，美國佐治亞理工大學(xué)研發(fā)的CoVE(Collaborative Visualization Environment)[15]，CoVE是一種先進(jìn)的可視化環(huán)境，提高了飛機(jī)設(shè)計流程的速度、可信度以及透明度。另外，還有一些實(shí)用的可視化軟件，如OpenDX，AVS，NAG Explorer，Khoros以及虛擬現(xiàn)實(shí)3D技術(shù)[16]。隨著可視化理論的迅速發(fā)展，可視化的種類也越來越多，可視化軟件也逐漸豐富，應(yīng)用領(lǐng)域也越來越廣泛。

在現(xiàn)有的典型商業(yè)優(yōu)化軟件(比如iSight[17]，ModelCenter[18]，Optimus[19])中，也已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了比較豐富的可視化功能。這些商業(yè)軟件的共同特點(diǎn)是可以通過一種搭積木的方式快速集成各種仿真軟件，將所有設(shè)計流程組織到一個統(tǒng)一、有機(jī)和邏輯的框架中，自動運(yùn)行仿真軟件，并能夠?qū)崿F(xiàn)自動重啟設(shè)計流程。但對于可視化方法，三種軟件有著不同的實(shí)現(xiàn)方式。提供的可視化方法一般可以包括二維或三維數(shù)據(jù)的圖形顯示，以及優(yōu)化過程的監(jiān)控。例如iSight在用戶界面上通過圖形或表格的形式實(shí)時監(jiān)控設(shè)計過程，用戶可以隨時修改設(shè)計定義，改進(jìn)設(shè)計計劃，除此之外，還提供量綱分析，達(dá)到減少參數(shù)的數(shù)目的目的。ModelCenter通過地毯圖觀察設(shè)計空間內(nèi)的約束之間的關(guān)系，并且能夠通過色譜反映數(shù)據(jù)優(yōu)劣，同時實(shí)現(xiàn)多維數(shù)據(jù)可視化(如平行坐標(biāo)、柱狀圖等)。Optimus具備分析輸入與輸出參數(shù)之間的敏感度關(guān)系的功能，同時還能夠以二維、三維和等高圖分析響應(yīng)面。商業(yè)軟件之外，研究人員也研究了可視化方法和優(yōu)化問題相結(jié)合的處理方法，包括利用高性能計算工具(High Performance Computing, HPC)和替代模型方法提供可視化所需的大量數(shù)據(jù)[20]，這些方法或者借助上述提到的商業(yè)軟件來實(shí)現(xiàn)，或者開發(fā)了專用的工具。但是這些軟件中的可視化方法沒有超越二維的數(shù)據(jù)顯示，也缺乏用戶實(shí)現(xiàn)定制可視化功能的靈活度。

本文提出一種基于MATLAB的、開放的、模塊化的復(fù)合可視化架構(gòu)，以及具有一定一般性的數(shù)據(jù)可視化流程，可以靈活地實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析、優(yōu)化流程、代理模型，以及多種可視化方法的靈活組合。同時，首次提出了立方可視化方法(Cubic Contour Plot)，發(fā)展了復(fù)合、動態(tài)HAT(Hierarchical Axis Technique)方法，給設(shè)計者提供多種選項(xiàng)，用以分析高維度的數(shù)據(jù)，及時改變優(yōu)化決策，提高優(yōu)化效率。

1 常用可視化方法

隨著當(dāng)今高性能計算能力的提升，以及大數(shù)據(jù)、云計算等領(lǐng)域的全面發(fā)展，科學(xué)工程等領(lǐng)域所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)越來越多，而且這些數(shù)據(jù)基本都是多維度甚至是達(dá)到上千變量的高維度、非結(jié)構(gòu)化問題。需要利用有效的可視化技術(shù)來協(xié)助分析這些數(shù)據(jù)的內(nèi)部關(guān)聯(lián)關(guān)系及隱含的信息。

可視化技術(shù)是利用計算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成圖像顯示在屏幕上，并進(jìn)行交互處理的理論、方法和技術(shù)，其中包括數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)顯示兩個主要方面。

關(guān)于可視化顯示方式，按照原理的不同，主要可分為：基于幾何的技術(shù)、面向像素的技術(shù)、基于圖標(biāo)的技術(shù)、基于層次的技術(shù)以及基于圖形的技術(shù)等?？茖W(xué)與工程問題中采用的幾種常用可視化方法包括平行坐標(biāo)法、散點(diǎn)圖矩陣、熱圖、等高線圖等等。

平行坐標(biāo)法是通過多條平行且距離相等的垂直坐標(biāo)軸，對應(yīng)高維數(shù)據(jù)的每一個屬性。其優(yōu)點(diǎn)在于，對低維度的數(shù)據(jù)，使用平行坐標(biāo)能夠清晰地反映每個數(shù)據(jù)的屬性，便于用戶觀察和理解；其缺點(diǎn)在于，對數(shù)據(jù)維度不是太高時，會造成大量折線交叉，圖像模糊難以觀察。另外，當(dāng)數(shù)據(jù)間關(guān)系復(fù)雜時，整個平行坐標(biāo)會變得雜亂不堪，不能夠明顯反映數(shù)據(jù)間的關(guān)系。

散點(diǎn)圖矩陣是基于散點(diǎn)圖的思想，在飛行器設(shè)計、汽車設(shè)計等實(shí)際工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，但是其缺點(diǎn)在于，散點(diǎn)圖只能分析兩個維度之間的關(guān)系，不能同時反映多個維度之間的關(guān)系。另外，當(dāng)維數(shù)較大時，矩陣顯示的范圍會顯示區(qū)域大小的限制。

熱圖是一種面向像素的可視化技術(shù)。熱圖能夠顯示大量的數(shù)據(jù)，而且同時不損失相關(guān)信息。因此，熱圖在科學(xué)研究和處理實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，比如分析隨機(jī)數(shù)據(jù)、運(yùn)動員體測數(shù)據(jù)等[21]。

在飛機(jī)設(shè)計領(lǐng)域，通過散點(diǎn)圖矩陣、平行坐標(biāo)等可視化方法，設(shè)計者可以得知設(shè)計空間中，參數(shù)與參數(shù)、參數(shù)與目標(biāo)值之間的關(guān)系。另外，還可以看出部分不合格的CFD模擬數(shù)據(jù)，從而方便設(shè)計者將其從原數(shù)據(jù)集中去除。除了傳統(tǒng)的散點(diǎn)圖、平行坐標(biāo)法之外，自適應(yīng)映射圖(Self-Organizing Map， SOM)、分級坐標(biāo)軸技術(shù)(Hierarchical Axis Technique， HAT)以及衍生拓?fù)鋱D(Generative Topographic Mapping， GTM)等可視化方法也有具有應(yīng)用價值[22]。

可視化方法的共同特點(diǎn)在于能夠?qū)⒃瓉韽?fù)雜的多維設(shè)計空間降低為二維圖來進(jìn)行展示，并且可以用來展示優(yōu)化收斂軌跡[22]。此外，柱狀圖、盒圖等可視化方法也有機(jī)翼設(shè)計方面的應(yīng)用[23]。對于實(shí)際的飛機(jī)設(shè)計問題，設(shè)計者可以通過各種可視化方法的組合來全方位地顯示設(shè)計空間，從而有助于用戶了解參數(shù)關(guān)系和變化趨勢，提高設(shè)計過程的效率。

2 氣動優(yōu)化問題的可視化需求

對于優(yōu)化問題，其特點(diǎn)在于多參數(shù)、多目標(biāo)、多約束。典型的基于優(yōu)化的設(shè)計流程主要包括三個部分：問題定義、采用分析模型計算、運(yùn)行優(yōu)化算法尋優(yōu)。但是，由于在設(shè)計初始，設(shè)計目標(biāo)和約束的定義可能存在問題，導(dǎo)致最終優(yōu)化的結(jié)果并不滿足實(shí)際需求，所以，人們需要可視化工具對整個設(shè)計空間進(jìn)行探索，對優(yōu)化進(jìn)度進(jìn)行實(shí)時的評估，而不是僅僅依靠傳統(tǒng)的優(yōu)化方法[24]。

目前的優(yōu)化問題的另一個特征在于大計算量，特別是高性能計算的飛速發(fā)展，使得設(shè)計者能夠運(yùn)行更高精度、更大規(guī)模的計算，從而獲得海量的數(shù)據(jù)。對于飛機(jī)氣動設(shè)計者來說，如果能夠在運(yùn)行大量的CFD計算之前，通過系統(tǒng)的、有限的樣本數(shù)據(jù)的處理，以及可視化技術(shù)初步了解整個設(shè)計空間的基本特征，比如參數(shù)與參數(shù)、參數(shù)與目標(biāo)值的相互變化趨勢，那么就能夠節(jié)省計算資源，進(jìn)而大幅度地提升整個設(shè)計流程的效率。Stump等[25]利用可視化工具ATSV(Applied Research Laboratory’s Trade Space Visualizer)，人為地在受關(guān)注區(qū)域加入樣本點(diǎn)，減小克里金模型響應(yīng)面和真實(shí)值得誤差，這樣既可適當(dāng)避免大量無效的計算，同時又方便用戶了解設(shè)計空間的變化特性，獲得更精準(zhǔn)的響應(yīng)面模型。Ghosh等[26]利用可視化方法來分析飛機(jī)概念設(shè)計階段的諸多技術(shù)不確定性因素，通過靈敏度矩陣和關(guān)聯(lián)度矩陣的可視化方法，設(shè)計者可以清晰地得知飛機(jī)設(shè)計參數(shù)間的相互關(guān)系，做出相應(yīng)的決策。

所以，針對氣動優(yōu)化問題的特點(diǎn)：多參數(shù)、多目標(biāo)、多約束、大計算量，作者認(rèn)為有必要發(fā)展一種基于現(xiàn)有工具的、復(fù)合的可視化方法，設(shè)計者不但可以使用現(xiàn)有的可視化方法，還可以不斷發(fā)展新的方法，從而能夠有助于設(shè)計者分析高維氣動數(shù)據(jù)(樣本點(diǎn)分布情況、參數(shù)之間的相關(guān)性、響應(yīng)面分布情況等)，提升優(yōu)化流程的效率。

3 面向優(yōu)化問題的可視化方法及工具實(shí)現(xiàn)

傳統(tǒng)的優(yōu)化流程如圖1所示，針對特定的優(yōu)化問題定義，首先利用試驗(yàn)設(shè)計(Design of Experiment， DoE)方法(比如拉丁超立方法、全因子法、隨機(jī)均布法等)，在設(shè)計參數(shù)空間內(nèi)進(jìn)行取樣，獲得初始樣本點(diǎn)；其次，利用數(shù)值計算程序或者商業(yè)模擬軟件，計算得到相應(yīng)的目標(biāo)值，并在此基礎(chǔ)上，建立響應(yīng)面；然后，采用優(yōu)化算法對響應(yīng)面進(jìn)行尋優(yōu)，找到響應(yīng)面上的最優(yōu)點(diǎn)，并依據(jù)一定策略(比如按最大/最小距離法加入新樣本點(diǎn)、加入最優(yōu)點(diǎn)等)，向原樣本集內(nèi)增加樣本點(diǎn)；隨后重復(fù)以上步驟，直到優(yōu)化結(jié)果收斂，獲得最優(yōu)的參數(shù)組合。

因此，針對該典型優(yōu)化流程，本文提出了一種具有一定一般性的可視化流程(如圖1所示)，通過不同的可視化方法組合，幫助用戶分析高維數(shù)據(jù)，從而改善用戶的優(yōu)化決策，比如擴(kuò)大/縮小參數(shù)空間、局部加點(diǎn)、偏移參數(shù)范圍等。

在優(yōu)化過程中，在參數(shù)空間不變的前提下，為避免產(chǎn)生過多的冗余信息，并不需要將每一次優(yōu)化迭代后得到的參數(shù)空間或響應(yīng)函數(shù)展現(xiàn)出來。作者認(rèn)為，對于優(yōu)化問題，應(yīng)該在一定的迭代次數(shù)后，即達(dá)到一定的收斂效果后，此時通過可視化方法，展示參數(shù)空間，給用戶提供調(diào)整參數(shù)范圍的依據(jù)，以便獲得更好的優(yōu)化結(jié)果。

如圖2所示，選取最近兩次的優(yōu)化結(jié)果，如果兩者之間的比值在0.9與1之間，則認(rèn)為該優(yōu)化已產(chǎn)生收斂效果，此時將當(dāng)前的樣本數(shù)據(jù)提取出來進(jìn)行分析。當(dāng)維度是三維或小于三維，可以使用少量的可視化圖，就能夠展示參數(shù)空間，比如運(yùn)用樣本散點(diǎn)圖矩陣展示各樣本點(diǎn)的分布情況，判斷是否需要在局部空間加點(diǎn)；運(yùn)用平行坐標(biāo)圖，顯示整體樣本點(diǎn)的分布情況，并顯示最大與最小目標(biāo)值所對應(yīng)的參數(shù)組合，判斷是否需要針對參數(shù)空間進(jìn)行縮放以及偏移等操作，并在調(diào)整后的新參數(shù)空間內(nèi)補(bǔ)充取樣；另外，通過二維響應(yīng)面以及約束邊界，也可以找到滿足優(yōu)化約束條件的區(qū)域，從而修改原參數(shù)范圍。

圖2 可視化流程Fig.2 Flow chart of visualization

當(dāng)數(shù)據(jù)維度超過三維，特別是高維度的數(shù)據(jù)，倘若需要展示參數(shù)空間的全貌，則需要產(chǎn)生過多的圖表，這樣反而會對用戶帶來干擾，所以，需要首先對參數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，并按照相關(guān)系數(shù)的大小，對參數(shù)進(jìn)行排序分組，為用戶提供可視分析的依據(jù)。對于相關(guān)性小的參數(shù)，可以選擇對其做單變量靈敏度分析，通過直觀的條形誤差圖，可以看出單個參數(shù)變化對目標(biāo)值的影響，為用戶調(diào)整該參數(shù)的變化范圍提供輔助信息。對于相關(guān)性大的參數(shù)，除了之前運(yùn)用樣本散點(diǎn)圖和平行坐標(biāo)圖，本文提出可動態(tài)調(diào)整的復(fù)合可視化方法，包括三參數(shù)立方響應(yīng)面與動態(tài)分級坐標(biāo)技術(shù)(HAT)[27]，這也是與現(xiàn)有其他商業(yè)優(yōu)化軟件所不同的地方。三參數(shù)立方響應(yīng)面，是對響應(yīng)函數(shù)空間進(jìn)行切割，并利用三個切割平面表示通過最優(yōu)設(shè)計點(diǎn)的三個參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系；分級坐標(biāo)軸技術(shù)[27]，是一種多維可視化技術(shù)，該方法將坐標(biāo)軸進(jìn)行分級，并將相應(yīng)的參數(shù)維度表示在上面。通常來說，分級坐標(biāo)軸技術(shù)可以用于表示四維的數(shù)據(jù)，內(nèi)坐標(biāo)軸與外坐標(biāo)軸的橫縱坐標(biāo)分別表示所選擇的四個參數(shù)，最后，通過多種可視化方法的搭配，用戶調(diào)整原參數(shù)范圍，繼續(xù)優(yōu)化迭代，觀察是否能夠得到更好的優(yōu)化結(jié)果。

本文發(fā)展的可視化工具有三個模塊組成：數(shù)據(jù)存儲、數(shù)據(jù)分析和響應(yīng)面方法以及可視化方法(如圖3所示)。數(shù)據(jù)存儲格式為ASCII格式或XML格式，數(shù)據(jù)分析方法采用MATLAB分析函數(shù)corrcoef函數(shù)，分別得到皮爾森相關(guān)性系數(shù)以及p值(p值用于檢驗(yàn)無相關(guān)性假設(shè))，且p值越小，參數(shù)間的相關(guān)性越大。響應(yīng)面方法，包括克里金法、多項(xiàng)式法以及徑向基函數(shù)法。可視化方法主要有散點(diǎn)圖矩陣、平行坐標(biāo)圖、二維響應(yīng)面圖、四維HAT圖以及條形誤差圖。

該可視化工具的主界面，如圖4所示，主要分為導(dǎo)入數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)分析、樣本點(diǎn)分布圖、平行坐標(biāo)圖、響應(yīng)面圖、HAT圖、單變量分析以及導(dǎo)出數(shù)據(jù)等8個板塊。各模塊的功能如表1所示。

圖3 可視化工具模塊Fig.3 Modules of visualization tool

圖4 可視化工具主界面Fig.4 Main interface of visualization tool

圖5 樣本點(diǎn)分布圖示例Fig.5 Example of sample distribution plot

圖6 平行坐標(biāo)圖示例Fig.6 Example of parallel coordinate plot

圖7 三參數(shù)響應(yīng)面圖示例Fig.7 Example of 3-parameter response surface

圖8 四維HAT圖示例Fig.8 Example of four-dimansional HAT plot

4 可視化工具的應(yīng)用

4.1 測試函數(shù)——Sphere函數(shù)

此處選取二維Sphere函數(shù)，作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，找出目標(biāo)值最小的點(diǎn)。二維Sphere函數(shù)的定義為：

參數(shù)范圍設(shè)為x1∈[-10,-2],x2∈[2,10]，約束條件設(shè)為|x1+x2|≤5。Sphere函數(shù)的真實(shí)模型如圖9(a)所示，其最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)值為f(0,0)=0。

對于該低維優(yōu)化問題，通過常規(guī)的可視化方法，就可以觀察到參數(shù)、響應(yīng)函數(shù)以及約束條件的之間的相互關(guān)系。圖9(b)顯示的是參數(shù)x1與x2的初始響應(yīng)面圖，圖中白色點(diǎn)區(qū)域表示符合約束條件的區(qū)域。根據(jù)圖反映的信息，為了找到最優(yōu)點(diǎn)，需要偏移原參數(shù)范圍：x1∈[-6,2],x2∈[-2,6](參數(shù)空間的偏移原理為：保持原參數(shù)范圍長度不變，沿著目標(biāo)值變化最大梯度方向移動半個參數(shù)空間)，然后在新增加的參數(shù)范圍內(nèi)添加樣本點(diǎn)繼續(xù)優(yōu)化迭代5步。圖9(c)表示的是偏移原參數(shù)范圍后的響應(yīng)面圖，從圖中可以清晰地觀察到該函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)位置可能在(0，0)附近，因此，根據(jù)響應(yīng)量分布范圍和分布特點(diǎn)再次調(diào)整參數(shù)范圍(縮小至x1,x2∈[-1,1])，在調(diào)整后的范圍內(nèi)取樣，繼續(xù)優(yōu)化迭代5步并顯示縮小參數(shù)范圍后，該函數(shù)的響應(yīng)面圖(如圖9(d)所示)。最終找到最優(yōu)點(diǎn)位置和最優(yōu)值：f(0.0027,-0.0052)=3.43×10-5，總的目標(biāo)函數(shù)的計算次數(shù)為2400。

圖9 Sphere函數(shù)Fig.9 Sphere function

4.2 測試函數(shù)——Rastrigin函數(shù)

此處選取100維Rastrigin函數(shù)，作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，找出目標(biāo)值最小的點(diǎn)。100維Rastrigin函數(shù)的定義為：

參數(shù)范圍定為|xi|≤5.12,i=1～100。Rastrigin函數(shù)的真實(shí)模型如圖10所示(此處顯示三維模型)，其最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)值為f(0,0,…,0)=0。

對于該Rastrigin函數(shù)，各參數(shù)是獨(dú)立選取的，所以此處選取其中任意4個參數(shù)，展示其參數(shù)與響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)系(如圖11所示)。從該四維HAT圖中，可以清晰地觀察到參數(shù)與目標(biāo)值之間的變化關(guān)系：參數(shù)在0附近的區(qū)域內(nèi)，函數(shù)目標(biāo)值存在最小值。因此，可以適當(dāng)?shù)乜s小原參數(shù)范圍：|xi|≤2.56,i=1～100(參數(shù)范圍中心保持不變，將原范圍長度縮減一半)，然后在新參數(shù)范圍內(nèi)添加樣本點(diǎn)繼續(xù)優(yōu)化迭代10步。圖12表示的是原參數(shù)范圍縮減后的響應(yīng)面圖，從圖中可以清晰地觀察到當(dāng)參數(shù)在0附近時，該函數(shù)存在最小值，因此，再次調(diào)整參數(shù)范圍(縮小至|xi|≤1,i=1～100)，在調(diào)整后的范圍內(nèi)取樣，繼續(xù)優(yōu)化迭代10步，并顯示再次縮小參數(shù)范圍后，該函數(shù)的響應(yīng)面圖(如圖13所示)。最終找到的最優(yōu)點(diǎn)目標(biāo)值為6.667×10-4，總的目標(biāo)函數(shù)的計算次數(shù)為3200。

圖10 Rastrigin函數(shù)真實(shí)模型Fig.10 Real model of Rastrigin function

圖11 Rastrigin函數(shù)初始響應(yīng)面圖Fig.11 Initial HAT plot of Rastrigin function

圖12 Rastrigin函數(shù)響應(yīng)面圖(迭代10步后)Fig.12 HAT plot of Rastrigin function (after 10 iterations)

圖13 Rastrigin函數(shù)初始響應(yīng)面圖(迭代20步后)Fig.13 HAT plot of Rastrigin function (after 20 iterations)

4.3 翼型氣動優(yōu)化問題

本文采用的翼型氣動優(yōu)化問題是針對典型的運(yùn)輸類飛機(jī)，在確定的升力系數(shù)CL下，優(yōu)化阻力系數(shù)CD，使其達(dá)到最小值，同時滿足俯仰力矩系數(shù)Cm，翼型最大厚度等約束條件。具體優(yōu)化問題定義為：

(1) 設(shè)計升力系數(shù)：CL= 0.74;

(2) 翼型最大厚度：(t/c)max=0.14;

(3) 俯仰力矩系數(shù)：|Cm1/4|≤ 0.162。

飛行條件選?。厚R赫數(shù)為0.7115，飛行高度為36 000 ft，雷諾數(shù)為2.24×107(其中特征長度為4.35 m)。

本文采用的翼型參數(shù)化方法，是通過貝塞爾曲線，分別構(gòu)造翼型的厚度曲線和彎度曲線，再將二者疊加后得到翼型外形[28]。圖14和圖15分別表示厚度與彎度曲線的各控制點(diǎn)位置關(guān)系。

圖14 翼型的厚度曲線Fig.14 Airfoil thickness curve

圖15 翼型的彎度曲線Fig.15 Airfoil camber curve

根據(jù)該翼型參數(shù)化方法的定義，可以將參數(shù)分為兩類：特征參數(shù)和形狀參數(shù)。參數(shù)的具體分類情況如表2所示，其中yB、xB為翼型最大厚度及其位置，yb、xb為翼型最大彎度及其位置，dZTE與ZTE分別表示翼型尾緣處的厚度和彎度，rLE為前緣半徑。形狀參數(shù)用于控制翼型的局部外形，均為無量綱化的參數(shù)，變化范圍為0～1。各控制點(diǎn)的位置定義如表3所示。

利用該翼型參數(shù)化方法，本文分別對8個典型的超臨界翼型進(jìn)行擬合建模： NASA SC(2)-0714, NASA SC(2)-0610, NASA SC(2)-1010, RAE2822, Whitcomb, Boeing Airfoil J, NYU/GRUMMAN K-1 以及 GRUMMAN K-2。這8個翼型的選取原則為厚度曲線前半部分均為上凸曲線，后半部分為先凸后凹曲線，而彎度曲線前半部分均為先凹后凸曲線，后半部分均為下凸曲線。在此基礎(chǔ)上，分析總結(jié)，得到翼型的參數(shù)設(shè)計范圍(如圖16所示)，使得在該參數(shù)范圍內(nèi)生成的翼型具有典型的超臨界翼型的外形特征。

表2 翼型的特征參數(shù)和形狀參數(shù)Table 2 Feature and shape parameters of airfoil

表3 翼型控制點(diǎn)的位置定義Table 3 Airfoil control points definition

根據(jù)翼型的氣動優(yōu)化流程，首先在翼型參數(shù)設(shè)計空間內(nèi)隨機(jī)取樣，得到100個初始樣本點(diǎn)，并將初始樣本集中目標(biāo)值最小的翼型作為參考翼型，然后向樣本空間中增加新樣本點(diǎn)(200個)，計算新樣本點(diǎn)與原樣本點(diǎn)之間的最大/最小距離，挑選其中30個新樣本點(diǎn)加入到原樣本集中，并對新樣本集利用優(yōu)化算法進(jìn)行尋優(yōu)，完成第一輪優(yōu)化迭代。在此基礎(chǔ)上，針對現(xiàn)有的樣本集，應(yīng)用可視化工具展現(xiàn)參數(shù)空間和響應(yīng)函數(shù)。具體步驟為：

(a) 特征參數(shù)范圍

(b) 形狀參數(shù)范圍

(1) 對當(dāng)前樣本集進(jìn)行參數(shù)相關(guān)性分析，并按照相關(guān)性系數(shù)大小進(jìn)行排序，并找出翼型特征參數(shù)的組合(此算例中為6個)，從原樣本集中提取出來，形成新數(shù)據(jù)集；

(2) 對于新數(shù)據(jù)集，繪制平行坐標(biāo)圖，顯示符合約束條件的參數(shù)組合，并顯示最大與最小目標(biāo)值對應(yīng)的參數(shù)組合，如圖17所示；

圖17 翼型參數(shù)平行坐標(biāo)圖Fig.17 Parallel coordinate plot of airfoil parameters

(3) 對于參數(shù)相關(guān)性分析結(jié)果，繪制四維HAT響應(yīng)面圖，如圖18所示，首先將相關(guān)性較大的參數(shù)組合置于HAT圖內(nèi)坐標(biāo)，再將相關(guān)性較小的參數(shù)組合置于HAT圖外坐標(biāo)，依次類推，按照相關(guān)性排序逐級替換內(nèi)外坐標(biāo)的參數(shù)組合，并觀察不同參數(shù)與目標(biāo)值的變化關(guān)系。從圖18可以看出，當(dāng)翼型最大厚度位置越大，尾緣彎度越小，前緣半徑越大時，翼型的阻力目標(biāo)值會變小；

(a) 四維HAT圖(內(nèi)坐標(biāo)參數(shù)：尾緣厚度x2，最大彎度x3;外坐標(biāo)參數(shù)：最大厚度位置x1，最大彎度位置x4)

(b) 四維HAT圖(內(nèi)坐標(biāo)參數(shù)：最大厚度位置x1，最大彎度位置x4;外坐標(biāo)參數(shù)：尾緣彎度x5，前緣半徑x6)

圖18四維響應(yīng)面圖
Fig.18Four-dimensionalHATplotofresponsesurface

(4) 根據(jù)平行坐標(biāo)圖以及四維HAT響應(yīng)面圖，調(diào)整參數(shù)范圍(首先根據(jù)響應(yīng)面圖中最小目標(biāo)值所對應(yīng)的區(qū)域，移動原參數(shù)范圍的中心點(diǎn)，并將新參數(shù)范圍長度縮減至原來的一半；然后對照平行坐標(biāo)圖，局部擴(kuò)大或縮小新參數(shù)范圍，使得當(dāng)前最優(yōu)翼型參數(shù)包含在新的參數(shù)范圍內(nèi))；

(5) 選取相關(guān)性較小(p>0.85)的參數(shù)，對其進(jìn)行單變量分析，如圖19所示，水平線代表當(dāng)前的目標(biāo)值，豎直線代表單個變量在當(dāng)前參數(shù)范圍內(nèi)，對目標(biāo)值的影響(根據(jù)條形誤差圖反映的信息，以當(dāng)前該參數(shù)值為中心，將參數(shù)范圍縮小為原來的一半)；

(6) 在更新后的參數(shù)范圍內(nèi)繼續(xù)取樣，進(jìn)行優(yōu)化迭代，直至優(yōu)化收斂，總的CFD計算次數(shù)為280；

圖19 單變量分析圖Fig.19 Single parameter analysis plot

(7) 得到最后的優(yōu)化結(jié)果。

翼型優(yōu)化結(jié)果，如表4所示，可以看出對于該翼型優(yōu)化問題，相比于參考翼型，最優(yōu)翼型的阻力系數(shù)下降了2.5個阻力點(diǎn)。翼型優(yōu)化收斂曲線，如圖20所示。參考翼型和最優(yōu)翼型的外形對比以及壓力分布對比，如圖21和圖22所示。從翼型外形對比上，可以看出相比于參考翼型，最優(yōu)翼型的前緣半徑變小，最大厚度位置略微有所增大，尾緣彎度值變小。翼型的外形差異也反映在壓力分布上，由于最優(yōu)翼型的前緣半徑更小，所以相比于參考翼型，最優(yōu)翼型在前緣部分的壓力差更小，逆壓梯度也更小，造成翼型的阻力下降。

表4 翼型優(yōu)化結(jié)果Table 4 Airfoil optimization results

圖20 翼型優(yōu)化收斂軌跡Fig.20 Convergence history of airfoil optimization

圖21 參考翼型和最優(yōu)翼型的外形對比Fig. 21 Comparison of shapes between reference airfoil and optimal airfoil

圖22 參考翼型和最優(yōu)翼型的壓力分布對比Fig.22 Comparison of pressure distribution between reference airfoil and optimal airfoil

因此，針對典型的翼型氣動優(yōu)化問題，應(yīng)用該可視化工具，能夠反映參數(shù)與參數(shù)之間，參數(shù)與響應(yīng)函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，為用戶調(diào)整設(shè)計參數(shù)范圍提供依據(jù)，有助于設(shè)計者分析高維度氣動數(shù)據(jù)。

5 結(jié) 論

本文發(fā)展了一種應(yīng)用于高維度氣動優(yōu)化問題的綜合可視化方法，該方法克服了傳統(tǒng)優(yōu)化過程的“黑箱運(yùn)行”的不足，可以系統(tǒng)、靈活地展示高維參數(shù)空間、多維響應(yīng)函數(shù)空間，以及兩者之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。利用MATLAB提供的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)分析功能，結(jié)合樣本數(shù)據(jù)和響應(yīng)面模型，用戶不僅可以使用現(xiàn)有的可視化方法，還可以自己組成新的方法，有助于分析高維度數(shù)據(jù)。應(yīng)用該可視化工具，將參數(shù)進(jìn)行分組分析，通過平行坐標(biāo)圖、二維響應(yīng)面圖以及四維HAT圖，綜合展示了高維度參數(shù)空間、高維響應(yīng)函數(shù)，不僅可以得到最終的優(yōu)化結(jié)果，并且能夠反映參數(shù)與參數(shù)、參數(shù)與響應(yīng)值之間的變化關(guān)系，有利于用戶在優(yōu)化過程中，調(diào)整設(shè)計參數(shù)范圍，控制所需的計算量，提高整體優(yōu)化過程的效率，同時通過對優(yōu)化過程的掌控，對設(shè)計變量和目標(biāo)函數(shù)以及約束之間的關(guān)系得到更清晰的認(rèn)知。

致謝:感謝上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院祁洋老師對本文工作提供的幫助。