二氧化碳擴(kuò)散系數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究和模型計(jì)算

趙光華

(長(zhǎng)城鉆探工程技術(shù)研究院，遼寧 盤錦 124001)

二氧化碳(CO2)吞吐可以用于多種條件的油藏[1]，如粘度不太高的稠油油藏，水驅(qū)油藏(稀油)高含水時(shí)期，油層連通性差、非均質(zhì)嚴(yán)重、無法形成注采系統(tǒng)的小斷塊，塊狀、具有頂部剩余油的傾斜油層等。中原油田胡12塊屬于非均質(zhì)嚴(yán)重的中高滲透油藏[2]，注水效果差，現(xiàn)場(chǎng)試注N2驅(qū)油效果不好，目前已進(jìn)入高含水階段，急待推廣應(yīng)用CO2吞吐采油技術(shù)。大量研究表明，分子擴(kuò)散是CO2提高原油采收率的一個(gè)重要機(jī)理[3-4]。因此，在高壓和不同溫度下，CO2在原油中的擴(kuò)散系數(shù)是決定CO2在原油傳質(zhì)速率的一個(gè)很重要的參數(shù)。由于地層基巖很復(fù)雜 ，注入的CO2很難與油藏中原油完全混合好[5]。多數(shù)情況下，CO2通過分子擴(kuò)散溶于原油，當(dāng)水相將油相與CO2氣相隔開時(shí)，水相阻礙了CO2分子的擴(kuò)散，并且完全抑制了輕質(zhì)烴類化合物釋放到CO2中。然而，當(dāng)CO2氣體連續(xù)注入時(shí)，CO2的分子擴(kuò)散能夠通過水層將殘余油驅(qū)替，從而提高原油采收率。

氣體在原油中擴(kuò)散系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)定方法可大體歸納為傳統(tǒng)方法和非傳統(tǒng)方法。傳統(tǒng)方法主要是測(cè)定氣體在不同時(shí)間的組成(氣相色譜[6]或核磁共振[7])，得到擴(kuò)散系數(shù)。非傳統(tǒng)方法建立在測(cè)定由分子擴(kuò)散造成的氣-液體系某一性質(zhì)的改變，包括溶質(zhì)的揮發(fā)速率[8]、氣體體積[9]、折射率[10]、毛細(xì)管內(nèi)原油-氣體的界面位置[11]、氣體包圍下懸油滴的形狀[12]及體積[13]等。本文采用動(dòng)態(tài)界面張力法測(cè)定CO2在原油中的擴(kuò)散系數(shù)，相對(duì)于其他實(shí)驗(yàn)方法，該方法具有操作時(shí)間短、恒壓恒溫下通過測(cè)定的動(dòng)態(tài)界面張力值就能同時(shí)計(jì)算出擴(kuò)散系數(shù)和界面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)等優(yōu)點(diǎn)。本文的研究對(duì)象為中原油田胡12塊輕質(zhì)原油。

1 模型基礎(chǔ)

圖1(a)描述了在某一溫度、壓力下一個(gè)形狀完整的懸油滴。圖1(b)為周圍分布CO2的軸對(duì)稱懸油滴示意。注射探針的內(nèi)徑用rn表示，注射探針壁厚用εn表示，注射探針高度用hn表示，懸油滴包括探針內(nèi)部的油相用ω表示，注射探針頂部的切平面和探針及原油形成的界面用φn表示。

圖1 (a)一個(gè)完整懸油滴的數(shù)碼圖像；(b)圓柱坐標(biāo)體系(r，z)下軸對(duì)稱懸油滴在CO2相中示意

本次研究中，懸油滴形狀和體積的改變對(duì)擴(kuò)散過程帶來的影響可以忽略。假設(shè)擴(kuò)散過程中懸油滴是靜止的，根據(jù)Ghez的氣體擴(kuò)散理論[14]，用于描述CO2在懸油滴內(nèi)部(包括注射探針內(nèi)部油相)的濃度轉(zhuǎn)移擴(kuò)散公式可以表示成:

(1)

式中，D為CO2在原油中的擴(kuò)散系數(shù)，m2/s，假設(shè)它與CO2的濃度無關(guān)。

在傳質(zhì)過程的開始階段，懸油滴內(nèi)部CO2的濃度為0，因此，公式(1)的初始條件為[14]：

c(r,z,t)|t=0=0,(r,z)∈ω

(2)

注射針壁及切平面對(duì)于CO2來說是不可滲透的，相應(yīng)的非滲透邊界條件為：

(3)

式中，nr和nz為方向余弦，即注射探針和原油以及切平面形成界面的單位矢量在r軸和z軸形成的分量。

本次研究考慮CO2通過原油-CO2界面的界面阻力，因此，非平衡邊界條件應(yīng)用于界面得到[14]：

(4)

式中，k為界面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)，m/s，ceq為CO2在指定壓力和溫度下在原油中的平衡濃度，mol/m3。

公式(1)～(4)可以通過引進(jìn)4個(gè)無量綱變量和1個(gè)無量綱參數(shù)將其無量綱化：

(5)

式中，C為CO2的無量綱濃度；R和Z為無量綱的徑向和軸向坐標(biāo)；rn為注射探針的內(nèi)徑；τ為無量綱時(shí)間；kD為傳質(zhì)Biot數(shù)；實(shí)際上，傳質(zhì)Biot數(shù)表示本體阻力rn/D與界面阻力1/k的比值[15]。

本次研究應(yīng)用半離散Galerkin有限元素法來解決上述無量綱公式,具體的數(shù)學(xué)處理過程可以參照文獻(xiàn)[16]。

懸滴在t=0的第一個(gè)數(shù)碼圖像用來定義每個(gè)壓力下的傳質(zhì)模型的物理范圍ω，如圖1(b)所示。然后，擴(kuò)散公式(1)連同公式(2)～(5)是通過采用半離散Galerkin有限元素法得到CO2在計(jì)算域Ω下的無量綱濃度轉(zhuǎn)移C(R,Z,τ)和CO2在界面處的平衡濃度Cint(τ)。CO2的平均無量綱界面濃度能夠轉(zhuǎn)換成真實(shí)時(shí)間t下濃度Cint(t)。本次研究中，假設(shè)動(dòng)態(tài)界面濃度和動(dòng)態(tài)界面張力的關(guān)系遵循平衡界面濃度和平衡界面張力的關(guān)系[17]，CO2在原油中的平衡濃度(溶解度)可通過Simon-Graue關(guān)系式[18]計(jì)算出。那么，動(dòng)態(tài)界面張力就能夠通過計(jì)算的動(dòng)態(tài)界面濃度Cint(τ)計(jì)算出來。

用目標(biāo)函數(shù)表示數(shù)學(xué)計(jì)算的動(dòng)態(tài)界面張力和實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)的偏差。令ti和γm(ti)，i=1,2,3,…,N是一組時(shí)間和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的動(dòng)態(tài)界面張力，tj和γc(tj)，j=1,2,3,…,K是另一組時(shí)間和理論計(jì)算的動(dòng)態(tài)界面張力。這里，目標(biāo)函數(shù)被定義為：

(6)

從公式(6)可以看出目標(biāo)函數(shù)是計(jì)算和測(cè)得的動(dòng)態(tài)界面張力的均方根相對(duì)誤差。計(jì)算的動(dòng)態(tài)界面張力隨著計(jì)算的CO2界面濃度Cint(t)的變化而改變，而CO2在界面的濃度是由傳質(zhì)Biot數(shù)kD和擴(kuò)散系數(shù)D共同決定的。因此，目標(biāo)函數(shù)值是由傳質(zhì)Biot數(shù)kD和擴(kuò)散系數(shù)D共同決定的。

E=E(kD,D)

(7)

一旦全局目標(biāo)函數(shù)能夠最小化，kD和D就作為真實(shí)的傳質(zhì)Biot數(shù)和真實(shí)的擴(kuò)散系數(shù)。

本次研究采用一個(gè)參數(shù)同時(shí)查找方法，計(jì)算傳質(zhì)Biot數(shù)kD和D擴(kuò)散系數(shù)的數(shù)學(xué)過程如下：

(1)周圍分布CO2的懸油滴的連續(xù)數(shù)碼圖像能夠得到，動(dòng)態(tài)界面張力γm(ti)能夠測(cè)得。

(2)懸油滴在t=0的第一個(gè)數(shù)碼圖像定義為傳質(zhì)模型的物理范圍ω，如圖1(b)所示。

(3)在一個(gè)給定的溫度壓力下，傳質(zhì)Biot數(shù)的11個(gè)測(cè)試點(diǎn)選為kD,i，i=0,1,2,…10。

(4)對(duì)于一個(gè)給定的kD,i，擴(kuò)散公式(1)連同公式(2)-(5)是通過半離散Galerkin有限元素法得到CO2在計(jì)算域Ω中的無量綱濃度轉(zhuǎn)移C(R,Z,τ)。

(5)對(duì)于一個(gè)給定的kD,i，擴(kuò)散系數(shù)D有上下限[D0,D10]。

(6)D的初始不確定時(shí)間間隔被11個(gè)節(jié)點(diǎn)Dj,j=0,1,2,…10劃分為10個(gè)等同的子區(qū)間。

(7)對(duì)于一個(gè)給定的Dj，無量綱時(shí)間τ能夠轉(zhuǎn)換為真實(shí)時(shí)間t。應(yīng)用測(cè)得的平衡界面張力和計(jì)算的CO2平衡濃度的關(guān)系曲線，任何時(shí)間t下的動(dòng)態(tài)界面張力就能夠計(jì)算出來。利用測(cè)得和計(jì)算的動(dòng)態(tài)界面張力，通過公式(6)得到相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)E(kD,i,Dj),j=0,1,2,…10。

(8)通過對(duì)比不同的E(kD,i,Dj),j=0,1,2,…10，局部最小目標(biāo)函數(shù)就得到了Emin(kD,i,Dj)，1≤j≤9。然后，D的不確定間隔變?yōu)閇Dj-1，Dj+1]。

(9)如果新的不確定間隔[Dj-1，Dj+1]足夠小，能夠滿足擴(kuò)散系數(shù)的代數(shù)精度要求，那么，Dj就作為給定kD,i的局部最佳值。否則，新的不確定區(qū)間[Dj-1，Dj+1]將作為D的初始區(qū)間重復(fù)步驟(6)～(9)，直到滿足終止條件。

(10)對(duì)于所有的kD,i，i=0,1,2,…10，步驟(4)～(9)將重復(fù)進(jìn)行。通過對(duì)比不同的E(kD,i,Dj),j=0,1,2, … 10，可得到局部最小函數(shù)Emin(kD,m,Dn)，1≤m≤9，kD,m和Dn就作為傳質(zhì)Biot數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的最佳值。

(11)如果m=0或m=10，則kD,i，i=0,1,2,…10將重新被選取。對(duì)于一個(gè)新值kD,i，步驟(4)之后的數(shù)學(xué)最小化過程將重復(fù)進(jìn)行直到滿足1≤m≤9。

對(duì)于原油-CO2體系kD和D的查找范圍為0.3～8.8和(0.01～10)×10-9m2/s。D的終止條件是︱Dn+1-Dn-1︱≤0.005×10-9m2/s。

2 實(shí)驗(yàn)部分

實(shí)驗(yàn)采用加拿大ROBINSON D B公司生產(chǎn)的JEFFRI高壓界面張力儀，該實(shí)驗(yàn)裝置如文獻(xiàn)[19]所述，實(shí)驗(yàn)用CO2由北京氦普北分氣體有限公司生產(chǎn)，純度為99.95%。油樣采用中原油田胡12塊輕質(zhì)原油，原油在300.15 K、常壓下的密度和黏度分別為0.837 g/cm3和13.0 mPa·s。該原油的組成分析結(jié)果見表1。

表1 中原油田胡12塊輕質(zhì)原油組成分析

C1～C6:7.90,C7+:92.10

本實(shí)驗(yàn)采用懸滴法進(jìn)行界面張力測(cè)定。應(yīng)用ANDREAS等提出的選面法[20]計(jì)算界面張力，實(shí)驗(yàn)方法在文獻(xiàn)[19]中已作詳細(xì)闡述。記錄300.15 K，0.5～4.1 MPa下CO2在原油中不同時(shí)間下的懸滴圖像并計(jì)算動(dòng)態(tài)界面張力。

3 結(jié)果與討論

3.1 動(dòng)態(tài)界面張力與平衡界面張力

在300.15 K下，不同壓力下動(dòng)態(tài)界面張力隨時(shí)間的變化如圖2所示，動(dòng)態(tài)界面張力隨著時(shí)間的增大逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定值，這個(gè)穩(wěn)定值就定義為平衡界面張力。從圖2可以看出動(dòng)態(tài)界面張力隨著壓力的升高而降低，這是由于在高壓下CO2在原油中的平衡濃度更高，能夠有效降低原油的界面張力。

圖2 300.15 K，不同壓力下測(cè)得的動(dòng)態(tài)界面張力(點(diǎn))與計(jì)算的動(dòng)態(tài)界面張力(線)隨時(shí)間的變化

動(dòng)態(tài)界面張力在高壓下能夠更快地達(dá)到平衡界面張力，5個(gè)不同壓力下的平衡界面張力如圖3所示。從圖3可以看出平衡界面張力隨著壓力的升高而降低。通過Simon-Graue關(guān)系式[11]得出CO2在原油中的平衡濃度與壓力的關(guān)系，見圖3。

圖3 300.15 K下，CO2在原油中的平衡界面張力、平衡濃度與壓力的關(guān)系曲線

從圖3可以看出CO2的平衡濃度隨著壓力的升高而增大。在300.15 K下，CO2在原油中的平衡界面張力與平衡濃度的關(guān)系見圖4。圖4就作為300.15 K下測(cè)得的平衡界面張力與CO2在原油中平衡濃度的關(guān)系曲線。

圖4 300.15 K下，CO2在原油中的平衡界面張力與平衡濃度關(guān)系曲線

3.2 擴(kuò)散系數(shù)和傳質(zhì)Biot數(shù)

通過測(cè)得的動(dòng)態(tài)界面張力數(shù)值，目標(biāo)函數(shù)E(D,kD)通過計(jì)算能夠最小化，這樣能夠確定CO2在原油中每個(gè)壓力下的擴(kuò)散系數(shù)D和傳質(zhì)Biot數(shù)kD。在300.15 K，p=0.5 MPa下，原油-CO2體系在不同傳質(zhì)Biot數(shù)下的擴(kuò)散系數(shù)D如圖5所示，從圖5可以看出，對(duì)于一個(gè)給定的傳質(zhì)Biot數(shù)，存在一個(gè)最佳擴(kuò)散系數(shù)D使全局目標(biāo)函數(shù)最小化。對(duì)于不同的傳質(zhì)Biot數(shù)，存在一對(duì)擴(kuò)散系數(shù)D和傳質(zhì)Biot數(shù)kD最優(yōu)值，能夠使目標(biāo)函數(shù)最小化。在300.15 K、p=0.5 MPa下，原油-CO2體系的最優(yōu)擴(kuò)散系數(shù)D=0.48×10-9m2/s，最優(yōu)傳質(zhì)Biot數(shù)kD=4.0。

圖5 300.15 K,0.5 MPa下不同傳質(zhì)Biot數(shù)下目標(biāo)函數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的關(guān)系曲線

圖6 300.15 K,0.5 MPa下不同壓力下的全局最優(yōu)傳質(zhì)Biot數(shù)下的目標(biāo)函數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的關(guān)系曲線

圖6表示在p=0.5,1.5,2.1,3.1,4.1 MPa下，CO2的擴(kuò)散系數(shù)D在全局最優(yōu)傳質(zhì)Biot數(shù)下不同的目標(biāo)函數(shù)E(D,kD)。從圖6可以看出，每一條目標(biāo)函數(shù)曲線都對(duì)應(yīng)一個(gè)最佳擴(kuò)散系數(shù)D，能夠使目標(biāo)函數(shù)最小化。此時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)D和傳質(zhì)Biot數(shù)kD就作為真實(shí)值。本次研究中，300.15 K，0.5～4.1 MPa下，擴(kuò)散系數(shù)D的計(jì)算結(jié)果為(0.45～4.61)×10-9m2/s，傳質(zhì)Biot數(shù)為2.5～7.1，界面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)為(0.85～8.33)×10-5m/s。

300.15 K，p=0.5,1.5,2.1,3.1,4.1 MPa下計(jì)算出的CO2在原油中的平衡濃度、擴(kuò)散系數(shù)、傳質(zhì)Biot數(shù)、界面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)以及全局最小目標(biāo)函數(shù)Emin(D,kD)值見表2。

從表2可以看出，理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的界面張力均方根相對(duì)誤差低于1.81%。

表2 300.15 K，不同壓力下的CO2在原油中的平衡濃度、擴(kuò)散系數(shù)D、傳質(zhì)Biot數(shù)kD、界面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)k以及全局最小目標(biāo)函數(shù)Emin(%)

從表2還可以看出,CO2在原油中的平衡濃度隨壓力的升高而增大，CO2在原油中的溶解能夠降低原油-CO2之間的界面張力，因?yàn)檫@樣CO2能夠更容易通過原油-CO2界面擴(kuò)散進(jìn)入原油相，造成高壓下有更大的擴(kuò)散系數(shù)和界面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)，這樣，CO2-原油的動(dòng)態(tài)界面張力在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡界面張力。

4 結(jié)論

本文采用動(dòng)態(tài)界面張力法研究300.15 K，0.5～4.1 MPa下CO2在中原油田胡12塊輕質(zhì)原油中的擴(kuò)散系數(shù)和界面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)，得到原油-CO2體系的擴(kuò)散系數(shù)為(0.45～4.61)×10-9m2/s，傳質(zhì)Biot數(shù)為2.5～7.1，界面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)為(0.85～8.33)×10-5m/s，模型計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)得動(dòng)態(tài)界面張力的均方根相對(duì)誤差低于1.81%，說明本文建立的傳質(zhì)模型具有較好的穩(wěn)定性，動(dòng)態(tài)界面張力法在一定程度上能夠用于CO2在原油中擴(kuò)散系數(shù)的測(cè)定。