雙水平井蒸汽輔助重力泄油恒溫電預(yù)熱數(shù)學(xué)模型與指標(biāo)預(yù)測

柳瀟雄 ，蔣有偉 ，吳永彬 ，王家祿

（1. 提高石油采收率國家重點實驗室，北京 100083；2. 中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

0 引言

常見的蒸汽輔助重力泄油（SAGD）預(yù)熱方式為蒸汽循環(huán)預(yù)熱，存在沿途熱損失大、蒸汽用量大等缺點，同時儲集層非均質(zhì)性對預(yù)熱效果會造成嚴(yán)重影響[1]。油層電預(yù)熱可以彌補蒸汽預(yù)熱的不足：①不需要向油層注入蒸汽，預(yù)熱效果較為均勻；②避免了蒸汽制備所帶來的地面用水消耗和蒸汽集輸沿程大量的熱損失，為油田現(xiàn)場節(jié)省了大量的能耗和水耗[2]。同時油層電加熱技術(shù)設(shè)備復(fù)雜程度低，便于調(diào)節(jié)控制和安裝調(diào)試，節(jié)省了地面作業(yè)空間，是一項具有廣闊應(yīng)用前景的熱采技術(shù)[3]。

在SAGD電預(yù)熱方面，近年來已有數(shù)位學(xué)者開展了量化研究。2013年，Moini等[4]建立了 SAGD電預(yù)熱能耗計算模型，該模型的局限性在于：①無法確定預(yù)熱過程中的溫度分布，只能計算能耗；②模型為單井模型，未考慮多井干擾效應(yīng)；③沒有對電加熱技術(shù)相對于蒸汽加熱的節(jié)能、節(jié)水及降耗進(jìn)行量化。2016年魏紹蕾等[5]建立了 SAGD電預(yù)熱的數(shù)學(xué)模型，2017年Medizade等[6]提出了計算恒功率模式下的熱量消耗與溫度分布的有限元數(shù)值模型，但上述模型都是基于恒功率模式的模型，不涉及恒溫模式的求解。隨著電加熱技術(shù)的發(fā)展，特別是新型控制元器件的發(fā)展，電加熱控制模式可發(fā)展為恒溫模式，與傳統(tǒng)的恒功率加熱相比，恒溫加熱具有控溫直觀、能有效防止近井原油過熱焦化[7-8]等優(yōu)勢，且在一定條件下有望能耗更低。如何量化恒溫模式下油層電加熱的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)，是目前SAGD技術(shù)亟待解決的問題。

本文提出了恒溫模式下雙水平井SAGD電預(yù)熱數(shù)學(xué)模型，可以求解恒溫電預(yù)熱期間的地溫分布和能耗參數(shù)，并建立了電加熱相對于蒸汽加熱的節(jié)能、節(jié)水和節(jié)省燃料當(dāng)量的計算方法，結(jié)合油層預(yù)熱達(dá)標(biāo)溫度還可預(yù)測電預(yù)熱所需的時間和能耗。

1 恒溫模式的控制原理

恒溫模式控制主要依靠反饋調(diào)節(jié)機制實現(xiàn)（見圖1），現(xiàn)場作業(yè)時，在井筒中安裝用于監(jiān)測加熱電纜溫度的熱電偶，將采集的溫度信號傳輸?shù)轿挥诘孛娴暮銣乜刂破鳎≒ID）進(jìn)行反饋調(diào)節(jié)。實測溫度和設(shè)定溫度由控制器的中控芯片實時智能調(diào)控：當(dāng)實測溫度低于設(shè)定溫度時，中控芯片發(fā)出運行指令，系統(tǒng)繼續(xù)加熱；當(dāng)實測溫度高于設(shè)定溫度時，中控芯片則發(fā)出暫停指令，系統(tǒng)中斷加熱。經(jīng)由通斷調(diào)節(jié)，加熱系統(tǒng)達(dá)到動態(tài)平衡，加熱器的實際溫度在一個微小的幅度內(nèi)上下波動（波動幅度稱為PID的控制精度）。同時實時監(jiān)測數(shù)據(jù)經(jīng)PID和中繼器發(fā)送到遠(yuǎn)程調(diào)控中心進(jìn)行存儲和分析，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的動態(tài)監(jiān)測[9]。

圖1 雙水平井SAGD恒溫電預(yù)熱智能調(diào)控示意圖

2 恒溫模式下SAGD電預(yù)熱數(shù)學(xué)模型

2.1 模型基礎(chǔ)假設(shè)條件

SAGD電預(yù)熱模型假設(shè)條件為：①兩口水平井的井身相互平行；②地層均質(zhì)等厚；③油層的熱物性參數(shù)（如導(dǎo)熱系數(shù)、熱擴散系數(shù)等）不隨溫度變化；④電預(yù)熱期間流體不發(fā)生運移，忽略重力作用；⑤地層中不存在對流傳熱；⑥加熱器和井壁間存在的能量損耗采用電熱轉(zhuǎn)換、傳遞效率等相關(guān)參數(shù)進(jìn)行量化。

2.2 無限大地層中恒溫加熱的面源解

均質(zhì)無限大圓柱狀地層中心有一口水平井，通過井筒恒溫加熱周圍地層，徑向坐標(biāo)系中熱傳導(dǎo)方程表示為[5]：

為了規(guī)范求解，對（1）式進(jìn)行無因次化，無因次溫度增量為：

無因次時間為：

無因次距離為：

無因次化后熱傳導(dǎo)方程可表示為：

其中，初始條件為：

內(nèi)邊界條件為：

外邊界條件為：

對無因次時間tD定義如下拉普拉斯變換：

對（5）式進(jìn)行拉普拉斯變換，解得拉氏域中的無因次溫度增量為：

考慮到（10）式的形式難以尋求解析反演解，在此采用Stehfest數(shù)值反演算法[10-11]，對（10）式進(jìn)行數(shù)值反演，則無因次溫度增量在實空間的解為：

進(jìn)而得到無限大地層中恒溫加熱模型的面源解為：

2.3 恒溫加熱的油層能耗計算

在恒功率控制條件下，通過簡單乘積運算就可得到累計能耗，而恒溫控制條件下，實時功率隨時間不斷變化，最后的累計能耗無法經(jīng)過簡單運算得到，能耗計算相對困難，下面對其進(jìn)行討論。

由傅里葉定律解得地層中的熱流密度為：

井筒熱流密度為：

對（14）式積分，得到油層消耗的熱功率為：

地面消耗的電功率為：

油層累計消耗的熱能為：

對（17）式進(jìn)行拉普拉斯變換有：

對（18）式進(jìn)行拉普拉斯逆變換有：

則地面累計消耗的電能為：

2.4 運用疊加原理處理多井干擾

因為雙水平井SAGD設(shè)計有一上一下2口水平井進(jìn)行加熱，存在多井干擾。根據(jù)熱傳導(dǎo)方程的特點，運用疊加原理可以量化多井同時加熱的溫度分布問題，多口井同時向油層注入能量時，地層中任一點的溫度增量等于每口井單獨工作時在該點引發(fā)的溫度增量的代數(shù)和，由（12）式可得：

如果每口井的加熱溫度和加熱時間都相同，則（21）式可整理為：

同理，多井工作時地層消耗的熱功率為：

多井工作時地面消耗的電功率為：

由（19）式，多井工作時油層累計消耗的熱能為：

由（20）式，多井工作時地面累計消耗的電能為：

如果每口井的加熱段長度、加熱溫度、加熱時間、地面電能的傳輸效率、電熱轉(zhuǎn)化-傳遞效率都相同，則（24）式可化為：

如果每口井的井筒半徑也相同，則（26）式可化為：

對于雙水平井SAGD，m=2。

2.5 節(jié)能、節(jié)水與節(jié)省燃料計算

電加熱區(qū)塊的電能傳輸效率與傳輸過程中電能損耗率之間的關(guān)系為：

下入油層電加熱器的電熱轉(zhuǎn)換-傳熱效率與相應(yīng)過程中電能損耗率之間的關(guān)系為：

如果在油層中累計消耗的熱能為Qf，那么采用電加熱地面所需消耗的累計電能可表示為：

同一區(qū)塊蒸汽加熱時，蒸汽熱能的傳輸效率與傳輸過程中熱能損耗率之間的關(guān)系為：

蒸汽攜載的能量即為熱能，在油層中不存在轉(zhuǎn)化效率的問題。如果在油層中累計消耗的熱能為Qf，那么采用蒸汽加熱地面所需的累計能耗可表示為：

由（31）式和（33）式得到相同油層累計能耗下，采用電加熱比采用蒸汽加熱可節(jié)省地面能耗：

電加熱與蒸汽加熱相比，節(jié)省地面能耗百分比為：

蒸汽加熱時，注入地下的熱能由蒸汽的汽化潛熱提供。如果地面累計消耗的能量為Qg，則需向油層注入的累計熱能為Qf，那么在地面消耗的累計用水當(dāng)量可表示為：

由于電加熱的用水量為零，所以mw即為同一區(qū)塊電加熱所節(jié)省的地面用水當(dāng)量。

蒸汽加熱通常用燃油或者天然氣作為鍋爐燃料，如果蒸汽加熱地面累計消耗的能量為Qg（相當(dāng)于向油層注入的熱能為Qf），那么在地面需要消耗的燃油質(zhì)量累計為：

或者在地面需要消耗的天然氣體積（標(biāo)準(zhǔn)狀況下）累計為：

由于電加熱無需消耗燃料，因此mo或Vg即為電加熱相對蒸汽加熱所能節(jié)省的燃油或燃?xì)猱?dāng)量。

3 模型驗證

選取新疆風(fēng)城油田雙水平井SAGD開發(fā)區(qū)塊A井組，采用本文模型（模型解）與COMSOL Multiphysics模擬器（數(shù)值解）模擬計算地層中部溫度和地面累計能耗，對比計算結(jié)果，驗證新建模型的準(zhǔn)確性與可靠性。

A井組基本參數(shù)見表 1，地層的熱物性參數(shù)取巖石、原油和地層水體積分?jǐn)?shù)的加權(quán)平均值，設(shè)定加熱條件為雙水平井恒溫240 ℃，加熱120 d。

對A井組建立有限元數(shù)值模型，利用三角形非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對模擬區(qū)域進(jìn)行有限元剖分，同時對井筒附近的網(wǎng)格進(jìn)行加密和優(yōu)化，以提高模擬精度，計算結(jié)果對比見圖2。

表1 新疆風(fēng)城雙水平井SAGD開發(fā)區(qū)塊A井組基本參數(shù)

圖2 A井組模型解和數(shù)值解對比

對比圖 2中模型解與數(shù)值解曲線：兩井中部溫度最大相對誤差為1.40%，平均相對誤差為0.80%；地面累計能耗最大相對誤差為 0.85%，平均相對誤差為0.28%。結(jié)果表明模型解與數(shù)值解吻合良好，新建模型準(zhǔn)確、可靠。

4 電預(yù)熱參數(shù)敏感性分析

由A井組流體物性資料可知，當(dāng)溫度超過130 ℃時，該區(qū)塊原油黏度即可下降到100 mPa·s以下，該溫度即可滿足生產(chǎn)階段對流體流動性需求。因此，雙水平井SAGD可采用兩大指標(biāo)來評價預(yù)熱效果：①時間指標(biāo)，即兩水平段中部油層溫度達(dá)到130 ℃時所需要的預(yù)熱時間；②能耗指標(biāo)，即兩水平段中部油層溫度達(dá)到130 ℃時地面累計消耗的電能。

雙水平井SAGD電預(yù)熱過程中，影響預(yù)熱效果的因素主要有 4個：①加熱溫度；②井筒半徑；③孔隙度；④含油飽和度。為評價電預(yù)熱參數(shù)的敏感性，這里選用A井組基礎(chǔ)參數(shù)，以雙水平井SAGD恒溫240 ℃電預(yù)熱為基準(zhǔn)方案，設(shè)定影響因素的變動范圍為±15%，在某一因素變化、其余參數(shù)保持不變的條件下，考察時間、能耗兩大評價指標(biāo)的敏感性特征，計算結(jié)果見圖3。

圖3 油層電預(yù)熱參數(shù)敏感性關(guān)系曲線

由圖 3可知，影響時間、能耗兩大評價指標(biāo)的 4個主要因素，其敏感性由大到小排序為：加熱溫度、孔隙度、井筒半徑、含油飽和度。預(yù)熱效果對加熱溫度的變動最為敏感，呈非線性負(fù)相關(guān)特征，隨著加熱溫度的升高，時間、能耗兩大評價指標(biāo)下降的速度逐漸趨緩；孔隙度與時間、能耗指標(biāo)正線性相關(guān)；井筒半徑、含油飽和度與時間、能耗指標(biāo)負(fù)線性相關(guān)?？傮w來看，時間、能耗評價指標(biāo)變化幅度大于加熱溫度變化幅度，對加熱溫度敏感程度較高；時間、能耗評價指標(biāo)變化幅度小于孔隙度、井筒半徑、含油飽和度的變化幅度，對這3項參數(shù)的敏感程度較低。

5 應(yīng)用實例

仍選用A井組的基礎(chǔ)參數(shù)，應(yīng)用新模型計算水平井段附近地溫分布、井筒功率與兩水平段中部油層的升溫曲線、地面能耗、地面減耗等關(guān)鍵指標(biāo)；同時將恒溫模式與恒功率模式下的相關(guān)指標(biāo)進(jìn)行對比，分析其變化規(guī)律。

恒溫模式與恒功率模式相關(guān)指標(biāo)的對比基礎(chǔ)為兩種模式最終累計能耗相等。恒溫模式下相關(guān)指標(biāo)采用新建模型預(yù)測，等效恒功率模式下相關(guān)指標(biāo)采用參考文獻(xiàn)[5]中的模型進(jìn)行計算。

5.1 水平井段附近地溫分布

在兩水平井水平段的連井剖面上，以上部水平段軸心線為橫軸（L軸），垂直方向為縱軸（H軸），上部水平井段中點為原點（O點）建立坐標(biāo)系（見圖4）。隨后應(yīng)用新模型求解A井組在285 ℃恒溫電預(yù)熱條件下，沿縱軸方向不同位置（-5～5 m）、不同預(yù)熱時間的地層溫度分布（見圖5）。

圖4 兩水平井水平井段的剖面坐標(biāo)系

圖5 不同加熱時間雙水平段附近地層溫度分布

由圖 5分析知，在兩水平段之間，同一時刻中部的地層溫度最低，越遠(yuǎn)離兩井中部，地層溫度越高；在兩井之外，距離井筒越遠(yuǎn)，溫度越低。隨著加熱的持續(xù)，不同位置的地溫升高步調(diào)不一致：靠近井筒地層初期升溫速率大，后期升溫速率迅速衰減；遠(yuǎn)離井筒地層初期升溫速率小，后期升溫速率衰減緩慢。

5.2 實時功率與升溫曲線

A井組在恒溫285 ℃、電預(yù)熱350 d條件下，實時井筒功率與兩水平段中部升溫曲線見圖6。分析井筒功率曲線可知，恒溫模式預(yù)熱所消耗的熱功率初始時刻最高，而后持續(xù)下降，而等效恒功率模式預(yù)熱的功率保持恒定（單位井身長度消耗的井筒功率為 726.30 W）。從升溫曲線看：①無論是恒溫模式還是等效恒功率模式電預(yù)熱初期都出現(xiàn)了一定時長的停滯期，這是因為初期的熱流尚未波及到兩水平段中部，因此中部地溫停滯在初始地溫水平上；②兩種電預(yù)熱模式兩水平段中部的升溫曲線都呈上凸形態(tài)，即升溫速率越來越慢?？傮w表現(xiàn)為前期恒溫模式下兩水平段中部地溫上升更快，隨加熱時間的延長，恒溫模式與等效恒功率模式的升溫曲線約在第238 d相交，交叉處兩水平段中部地溫約為145 ℃，隨后恒功率模式地溫上升速度高于恒溫模式；③恒溫模式加熱在第166 d預(yù)熱達(dá)標(biāo)（區(qū)塊原油預(yù)熱達(dá)標(biāo)溫度為130 ℃），而等效恒功率模式預(yù)熱在186 d預(yù)熱達(dá)標(biāo)，恒溫模式時間縮短20 d。這里必須指出，恒溫模式加熱時間縮短建立在交叉點地溫高于預(yù)熱達(dá)標(biāo)地溫的基礎(chǔ)上，現(xiàn)場實踐中，也需要滿足此條件才能讓恒溫模式所需的預(yù)熱時間比等效的恒功率模式短。

圖6 不同預(yù)熱模式下實時油層加熱功率與升溫曲線

5.3 地面累計能耗與地層升溫幅度的關(guān)系

A井組在285 ℃、電預(yù)熱350 d條件下，恒溫模式與等效恒功率模式預(yù)熱的地面累計能耗與地溫升幅的關(guān)系對比曲線見圖7，可以看到：①兩種模式下隨著地層溫度升高，單位升溫幅度所耗費的能量均有所增加，曲線呈明顯的下凹形態(tài)；②A井組在地溫升幅為110 ℃時預(yù)熱達(dá)標(biāo)，達(dá)標(biāo)時恒溫模式預(yù)熱耗電能539×104kW·h，而等效恒功率模式預(yù)熱耗電能 546×104kW·h，恒溫模式預(yù)熱可節(jié)省電能7×104kW·h。同樣必須指出，恒溫模式預(yù)熱能耗更低建立在預(yù)熱達(dá)標(biāo)升溫幅度處于兩次交叉點之間的基礎(chǔ)上，現(xiàn)場實踐中，仍需滿足此條件才能讓恒溫模式的預(yù)熱能耗低于其等效的恒功率模式。

圖7 不同預(yù)熱模式下地面累計能耗與地溫升幅的關(guān)系

5.4 地面累計節(jié)能、節(jié)水、節(jié)省燃料與地溫升幅的關(guān)系

根據(jù)A井組的實際開發(fā)經(jīng)驗，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)[12-15]中提供的參數(shù)，確定出電預(yù)熱、蒸汽加熱各項指標(biāo)計算所需的相關(guān)參數(shù)（見表2）。利用新建模型，計算 A井組285 ℃、電預(yù)熱350 d條件下，恒溫模式電預(yù)熱與蒸汽預(yù)熱相比的地面累計節(jié)能、節(jié)水、節(jié)省燃料與地溫升幅的關(guān)系，并和等效恒功率模式預(yù)熱的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行對比（見圖8、圖9）。

表2 電預(yù)熱相對蒸汽加熱各項降耗指標(biāo)計算相關(guān)參數(shù)

圖8 不同預(yù)熱模式地面累計節(jié)能節(jié)水與地溫升幅的關(guān)系

圖9 不同預(yù)熱模式地面累計節(jié)省燃料與地溫升幅的關(guān)系

采用表 2基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，由（35）式計算得，A井組電預(yù)熱與蒸汽預(yù)熱相比，在同等油層能耗條件下，可以節(jié)省 19.5%的地面能耗。由圖 8可知，285 ℃恒溫模式預(yù)熱達(dá)標(biāo)時，可累計節(jié)省地面能耗約4.70×1012J，累計節(jié)省地面用水當(dāng)量約1.84×104t。等效恒功率模式預(yù)熱達(dá)標(biāo)時，累計節(jié)省地面能耗約 4.76×1012J，累計節(jié)省地面用水當(dāng)量約1.86×104t。由圖9可知，285 ℃恒溫模式預(yù)熱達(dá)標(biāo)時，累計節(jié)省的能量相當(dāng)于燃油654 t，或者天然氣 69.7×104m3（標(biāo)況體積）。等效恒功率模式預(yù)熱達(dá)標(biāo)時，累計節(jié)省的能量相當(dāng)于燃油666 t，或者天然氣70.9×104m3（標(biāo)況體積）。

6 結(jié)論

建立了恒溫模式下雙水平井SAGD電預(yù)熱數(shù)學(xué)模型以及電加熱相對于蒸汽加熱的累計節(jié)能、節(jié)水和節(jié)省燃料當(dāng)量的計算方法，經(jīng)驗證準(zhǔn)確、可靠。

預(yù)熱效果對加熱溫度最為敏感，呈非線性負(fù)相關(guān)特征；預(yù)熱效果與孔隙度正線性相關(guān)，與井筒半徑、含油飽和度負(fù)線性相關(guān)。

新模型可實現(xiàn)恒溫模式下地溫分布、能耗參數(shù)、節(jié)能節(jié)水、節(jié)省燃料等關(guān)鍵指標(biāo)的預(yù)測，同時結(jié)合油層達(dá)標(biāo)溫度，可以預(yù)測電預(yù)熱所需的時間和能耗。

符號注釋：

a——熱擴散系數(shù)，m2/s；Hg——燃?xì)獾臉?biāo)準(zhǔn)體積熱值，J/m3；Ho——燃油的質(zhì)量熱值，J/kg；Hv——蒸汽的汽化潛熱，J/kg；i——多井（或多加熱器）工作時，井（或加熱器）的編號；——第二類 0階修正貝塞爾函數(shù)；——第二類 1階修正貝塞爾函數(shù)；l——單井加熱段長度，m；——拉普拉斯變換算子；——拉普拉斯逆變換算子；m——井（或加熱器）工作的數(shù)量；mo——蒸汽加熱時燃油鍋爐累計消耗的燃油質(zhì)量（也是同等條件下與蒸汽加熱相比，電加熱節(jié)省的燃油當(dāng)量），kg；mw——蒸汽加熱時地面累計消耗的用水量（也是同等條件下與蒸汽加熱相比，電加熱節(jié)省的用水當(dāng)量），kg；PΔQ——與蒸汽加熱相比電加熱節(jié)省的地面能耗百分比，%；qf——井筒處消耗的熱功率，W；qf,m——多井工作時，井筒處消耗的熱功率之和，W；qh——實空間中的熱流密度，J/(m2·s)；q～h——拉氏域中的熱流密度，J/m2；qs——地面消耗的熱功率，W；qs,m——多井工作時，地面消耗的電功率之和，W；qw——井筒上的熱流密度，J/(m2·s)；Qf——油層累計消耗的熱能，J；Qf,m——多井工作時，油層累計消耗的熱能，J；Qg——蒸汽加熱的累計地面能耗，J；Qs——地面累計消耗的電能，J；Qs,m——多井工作時，地面累計消耗的電能，J；ΔQ——與蒸汽加熱相比電加熱節(jié)省的地面能耗，J；r——距離井筒中心的距離，m；rD——距離井筒的無因次距離；rw——井筒半徑，m；s——拉氏變量，無因次；t——加熱時間，s；tD——無因次加熱時間；T——地層溫度，K；T0——地層的初始溫度，K；TD——地層的無因次溫度增量；Th——加熱溫度，K；——拉氏域中的無因次溫度增量；ΔT——地層溫度增量，K；ΔTm——多井工作時在地層中引發(fā)的溫度增量，K；Vg——蒸汽加熱時燃?xì)忮仩t累計消耗的標(biāo)準(zhǔn)狀況下天然氣體積（也是同等條件下與蒸汽加熱相比，電加熱節(jié)省的燃?xì)猱?dāng)量），m3；x——鍋爐出口的蒸汽干度，無因次；x1——函數(shù)自變量；δct——電熱轉(zhuǎn)換與傳遞損耗率，%；eδ——電能的傳輸損耗率，%；vδ——蒸汽的傳輸損耗率，%；ηbg——燃?xì)忮仩t的熱效率，%；ηbo——燃油鍋爐的熱效率，%；ηct——電熱轉(zhuǎn)化-傳遞效率，%；eη——電能的傳輸效率，%；vη——蒸汽的傳輸效率，%；λ——地層的綜合導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；Dτ——某一加熱溫度下加熱終止的無因次時刻。