真北定向測量方法及其對比分析

門茂林，王智，薛慧艷，李勇，張洪德

(青島市勘察測繪研究院，山東 青島 266032)

1 引 言

測繪過程中遇到的北方向主要有三種，即坐標(biāo)北、磁北以及真北，坐標(biāo)北是地圖上縱向方格線指示的上方，即為測繪行業(yè)中X軸方向，可通過兩個點(diǎn)的高斯平面坐標(biāo)進(jìn)行反算得到坐標(biāo)北方向，坐標(biāo)北與真北的夾角為子午線收斂角，越靠近中央子午線，坐標(biāo)北與真北方向越接近[1]；磁北是指南針?biāo)甘镜谋狈较?，并隨著時間的變化而變化，磁北與真北的夾角為磁偏角，根據(jù)最新的國際地磁場參考模型，我國除了新疆、西藏等地磁偏角為東偏，其余地方均為西偏；真北指的是地球的北極，即北緯90°或經(jīng)圈交匯的地方，通過地球表面某點(diǎn)的真子午線的切線方向即為該點(diǎn)的真子午線方向，真子午線方向指向北極的方向稱作真北方向[2]，三北關(guān)系示意圖如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)北、磁北與真北關(guān)系圖

在某些工程領(lǐng)域需要定出真北方向，如機(jī)場和一些軍事設(shè)施的建設(shè)。在實(shí)際操作中，測定真北方向主要有兩種方法：一種是使用陀螺儀在基準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行尋北測量，再進(jìn)行儀器常數(shù)改正定出真北方向；另一種先定出基準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)北方向，再計算子午線收斂角，從而定出真北方向。本文對這兩種方法做了對比分析，得出了一些有益的結(jié)論。

2 數(shù)學(xué)模型及實(shí)施

2.1 陀螺全站儀尋北定向測量

機(jī)械式陀螺儀是利用剛性物體在旋轉(zhuǎn)時盡量保持其旋轉(zhuǎn)軸和速度這一特性進(jìn)行測量或控制方位，它由兩個可旋轉(zhuǎn)的框架和安裝在其上的轉(zhuǎn)子構(gòu)成。轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時有著很高的轉(zhuǎn)動慣量。由于安裝了兩個可旋轉(zhuǎn)的框架，這樣使得旋轉(zhuǎn)軸可進(jìn)行二維轉(zhuǎn)動，如果忽略地球的自轉(zhuǎn)，陀螺儀轉(zhuǎn)動時其轉(zhuǎn)軸會一直保持最初的空間姿態(tài)。當(dāng)重力作用于轉(zhuǎn)軸并讓其保持水平時，地球的旋轉(zhuǎn)將對陀螺儀的轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生一個扭矩。該扭矩作用于轉(zhuǎn)軸時，轉(zhuǎn)軸將會圍繞合力的垂直分力產(chǎn)生進(jìn)動[3]。機(jī)械式陀螺儀就是利用穩(wěn)定性和進(jìn)動性找出真北方位。

陀螺全站儀是可以獨(dú)立測定真北方向的精密測量儀器，其基本的工作原理是利用最新的圖像處理技術(shù)進(jìn)行讀數(shù)，隨后高精度馬達(dá)把儀器精確地轉(zhuǎn)到真北方向。如圖2所示是懸掛式陀螺儀結(jié)構(gòu)組成圖。

圖2 懸掛式陀螺儀結(jié)構(gòu)組成圖

利用陀螺儀進(jìn)行尋北測量時，首先要在已知邊ab上標(biāo)定儀器常數(shù)cg。

cg=Tab+γa-Aab

(1)

式中，Tab為已知邊的坐標(biāo)方位角，γa為已知邊起點(diǎn)的子午線收斂角，Aab為陀螺儀測出已知邊的真北方位角。

然后在待定基準(zhǔn)點(diǎn)M上進(jìn)行陀螺尋北測量，具體尋北方法依據(jù)不同型號的陀螺儀進(jìn)行選擇，如索佳GYRO懸掛式陀螺儀主要采用逆轉(zhuǎn)點(diǎn)法或中天法進(jìn)行尋北測量，經(jīng)兩次尋北定向精度優(yōu)于15″。基準(zhǔn)點(diǎn)尋北結(jié)束后，使用全站儀在定出的北方向上對之前測出的儀器常數(shù)進(jìn)行改正：

A=AM+cg

(2)

通常情況下，儀器常數(shù)為幾十秒，改正后鎖緊儀器水平制動旋鈕或進(jìn)行置零等操作，此時陀螺儀指示方向即為真北方向。在基準(zhǔn)點(diǎn)的真北方向上的適當(dāng)距離(如 100 m)處，使用木樁、鐵釘?shù)裙ぞ哌M(jìn)行實(shí)地標(biāo)識，若對真北定向有較高精度要求，標(biāo)志真北方向的距離應(yīng)拉長，并采用盤左盤右取平均值，標(biāo)志點(diǎn)應(yīng)為清晰細(xì)小的十字絲或圓點(diǎn)等標(biāo)記[4]。

2.2 坐標(biāo)北加子午線收斂角改正定真北

子午線收斂角是地球橢球體面上一點(diǎn)的真子午線與位于此點(diǎn)所在投影帶中央子午線之間的夾角。即在高斯平面上的真子午線與坐標(biāo)縱線的夾角，坐標(biāo)縱線東偏為正，西偏為負(fù)。在投影帶的中央經(jīng)線以東圖幅均為東偏，以西的圖幅均為西偏。對于不同的測站點(diǎn)，子午線收斂角具有不同的值。測站點(diǎn)與中央子午線的經(jīng)差越大，緯度越高，子午線收斂角越大。

子午線收斂角可以用大地坐標(biāo)計算，也可利用平面坐標(biāo)計算，其計算公式分別如下[5]：

(3)

(4)

實(shí)際工程應(yīng)用中，常用查表法或下列簡易公式進(jìn)行計算：

γ=△λ·sinφ

(5)

式中，△λ為計算點(diǎn)與中央子午線之間的經(jīng)度差，φ為計算點(diǎn)所在的緯度。實(shí)際計算表明，該簡易公式的計算誤差，隨著緯度φ的減小而增大，隨著經(jīng)度差△λ的增大而增大[6]。

實(shí)際工程應(yīng)用中，使用坐標(biāo)方位角加子午線收斂角改正定真北可按如下方法進(jìn)行：

(1)使用GNSS接收機(jī)通過采用當(dāng)?shù)氐腃ORS系統(tǒng)等手段多測回測定待定基準(zhǔn)點(diǎn)M的平面坐標(biāo)(xM，yM)，在M點(diǎn)的大致北方向且距點(diǎn)M足夠遠(yuǎn)的點(diǎn)N使用同樣方法測量該點(diǎn)的平面坐標(biāo)(xN，yN)。

(2)計算MN的坐標(biāo)方位角TMN：

(6)

(3)根據(jù)查表法或者式(5)計算點(diǎn)M的子午線收斂角γM。

(4)在點(diǎn)M架設(shè)全站儀，精密對中整平后，后視點(diǎn)N并置零，然后水平讀盤撥動角度TMN+γM，該方向即為真北方向，并通過前文所述方法在實(shí)地進(jìn)行標(biāo)識。

3 精度分析

3.1 陀螺儀定北精度分析

通過前文所述，利用陀螺全站儀進(jìn)行真北定向的誤差來源主要包括：

(1)陀螺全站儀自身尋北定向精度m陀螺

陀螺儀由于價格昂貴，作業(yè)時間長，且對作業(yè)環(huán)境要求高，目前仍未普及使用，目前陀螺儀尋北精度最高可達(dá)3″，常見的陀螺儀尋北精度一般為5″～20″。

(2)陀螺儀常數(shù)測定精度

根據(jù)上文式(1)，該項(xiàng)誤差源具體包括已知邊的坐標(biāo)方位角精度mT、已知邊起算點(diǎn)的子午線收斂角精度mγ以及在已知邊的陀螺儀定向精度m陀螺。其中已知邊坐標(biāo)方位角的精度取決于已知邊兩個點(diǎn)的坐標(biāo)精度及邊長的長度，若在兩個相距較遠(yuǎn)的高精度控制點(diǎn)進(jìn)行儀器常數(shù)測定，則已知邊的坐標(biāo)方位角誤差mT可忽略不計；已知邊起算點(diǎn)的子午線收斂角可通過式(5)或者查表法求得，其精度也取決于已知邊基準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)的精度；已知邊的陀螺儀定向精度m陀螺同陀螺儀自身尋北定向精度。

(3)定出真北方向后的實(shí)地標(biāo)定精度m標(biāo)定

該項(xiàng)精度主要與全站儀測角精度以及實(shí)地標(biāo)定與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離有關(guān)，目前1″及0.5″級的全站儀已普遍使用，因此其對真北定向精度的影響遠(yuǎn)小于陀螺儀本身尋北精度的影響，實(shí)地標(biāo)定與基準(zhǔn)點(diǎn)距離越遠(yuǎn)，標(biāo)定標(biāo)志越精細(xì)，標(biāo)定精度越高。

根據(jù)上文分析及誤差傳播定律，采用陀螺儀進(jìn)行真北定向的精度為：

(7)

假若采用的陀螺儀的尋北精度為10″，在相距較遠(yuǎn)的兩個高精度控制點(diǎn)上mT和mγ均可忽略不計，若標(biāo)定時采用1″級全站儀，并顧及標(biāo)定距離及標(biāo)記標(biāo)志精度的影響，m標(biāo)定以2″計，則根據(jù)式(7)，采用陀螺儀進(jìn)行真北定向的精度為14.3″。

3.2 坐標(biāo)北改正子午線收斂角定北精度分析

利用坐標(biāo)北加子午線收斂角改正進(jìn)行真北定向的誤差源主要包括利用邊MN的坐標(biāo)方位角精度mT-MN以及基準(zhǔn)點(diǎn)mT-MN處子午線收斂角精度，與陀螺儀在已知邊測定儀器常數(shù)不同，該方法中的M和N需要用儀器測定，而不是已知高等級控制點(diǎn)。

在周邊無控制點(diǎn)可利用的情況下，宜采用GNSS接收機(jī)利用CORS進(jìn)行坐標(biāo)測定，以青島CORS平面精度 1 cm為例計算，距離 300 m處的兩點(diǎn)坐標(biāo)方位角誤差為：

(8)

考慮到地球平均曲率半徑上，1″對應(yīng)的實(shí)地距離約為 40 m，坐標(biāo) 1 cm的誤差對應(yīng)的經(jīng)緯度誤差不到0.0003″，根據(jù)式(5)基準(zhǔn)點(diǎn)子午線的誤差可忽略不計。估計實(shí)地標(biāo)定精度，該方法最終誤差不到10″。因此，坐標(biāo)北改正子午線收斂角定北的精度主要取決于現(xiàn)場實(shí)地基準(zhǔn)點(diǎn)M和大致北方向點(diǎn)N的坐標(biāo)方位角精度，點(diǎn)M與點(diǎn)N間距離越長，該精度越高。

綜上所述，兩種真北定向方法中，坐標(biāo)北改正子午線收斂角進(jìn)行定北的誤差來源更少，且實(shí)地操作更簡單，實(shí)際情況下采用該方法精度也更高，采用陀螺儀進(jìn)行定北需要在實(shí)地花更長的時間，通常需要至少半天的時間，且高精度陀螺儀價格昂貴，在國內(nèi)并未普及使用。

4 結(jié) 論

(1)進(jìn)行真北定向常用的方法主要有兩種，一種是采用陀螺儀進(jìn)行真北定向，另一種是對坐標(biāo)北改正子午線收斂角進(jìn)行真北定向，根據(jù)目前陀螺儀及全站儀的精度及實(shí)際操作情況，采用坐標(biāo)北改正子午線收斂角的方法誤差源更少、實(shí)地真北標(biāo)定操作更簡單，精度也更高。

(2)采用陀螺儀進(jìn)行真北定向的精度主要與陀螺儀自身尋北精度和儀器常數(shù)測定精度有關(guān)，目前機(jī)械式陀螺儀尋北精度大多在5″～20″，既要在已知邊上測定儀器常數(shù)，又要在待測邊上尋北定向，外業(yè)作業(yè)時間長，且穩(wěn)定的高精度陀螺儀價格昂貴，鮮有單位使用；儀器常數(shù)測定精度取決于已知控制邊的精度，控制點(diǎn)絕對坐標(biāo)精度越高，點(diǎn)位之間距離越長，儀器常數(shù)測定精度越高。

(3)采用坐標(biāo)北改正子午線收斂角進(jìn)行真北定向的誤差來源主要有利用邊的坐標(biāo)方位角精度以及待測基準(zhǔn)點(diǎn)處子午線收斂角精度，兩項(xiàng)誤差均與坐標(biāo)測定的精度有關(guān)，坐標(biāo)可利用周圍已有高精度控制點(diǎn)或者采用CORS等方法測定，利用邊的距離越長，真北標(biāo)定精度越高。