需求依賴庫(kù)存水平的隨機(jī)庫(kù)存模型*

隆 冰 王 晶 朱軍功

(重慶市交通規(guī)劃研究院 重慶 400000)

0 引 言

庫(kù)存管理是企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中一個(gè)不可或缺的重要組成部分，有效的庫(kù)存管理方法可以調(diào)節(jié)供需平衡，減少貨品余缺，提高庫(kù)存效益，對(duì)實(shí)現(xiàn)價(jià)值鏈增值有重要意義.周衛(wèi)琦等[1]在連續(xù)、均勻的需求假設(shè)下，考慮了訂貨批量的折扣現(xiàn)象，采用訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)和缺貨費(fèi)描述庫(kù)存費(fèi)用，建立了有批量折扣且允許缺貨的訂貨銷售存貯模型.高海晶等[2]對(duì)供應(yīng)商管理庫(kù)存(VMI)模式下的單一制造商、單一零售商組成的二級(jí)供應(yīng)鏈，以供應(yīng)鏈?zhǔn)找孀畲鬄槟繕?biāo)函數(shù)，分別在零售商總需求為常數(shù)和函數(shù)兩種情況系建立了庫(kù)存控制模型.劉誠(chéng)等[3]考慮了具有價(jià)格彈性的隨機(jī)零售商需求，并假設(shè)日需求量服從正態(tài)分布，在VMI模式下采用周期盤點(diǎn)的庫(kù)存控制策略，以各零售商處的預(yù)期服務(wù)水平大于目標(biāo)服務(wù)水平為約束，建立了分銷系統(tǒng)利潤(rùn)優(yōu)化模型.楊志林等[4]將庫(kù)存成本描述為隨存儲(chǔ)時(shí)間變化的階梯函數(shù)，考慮了需求率依賴于庫(kù)存水平的需求函數(shù)，同時(shí)引入變化的訂貨費(fèi)，建立了離散性庫(kù)存費(fèi)的庫(kù)存控制模型.Timothy[5]提出了需求基于庫(kù)存水平的庫(kù)存模型靈敏度分析轉(zhuǎn)換方法.Biswajit等[6]在需求函數(shù)基于庫(kù)存水平的庫(kù)存模型中，考慮了隨時(shí)間變化的變質(zhì)率，根據(jù)初始庫(kù)存水平、當(dāng)前庫(kù)存水平、周期末端庫(kù)存水平的關(guān)系建立了三種可能情況下的庫(kù)存模型.Li等[7]在需求和需求預(yù)測(cè)誤差服從隨機(jī)分布的情況下或預(yù)測(cè)需求為單點(diǎn)和間斷形式時(shí)，采用基于信任規(guī)則的庫(kù)存控制方法對(duì)需求為非線性和非確定性的庫(kù)存控制問(wèn)題進(jìn)行研究.歐劍等[8]在需求是隨機(jī)的且依賴庫(kù)存水平的條件下建立了訂貨模型，采用仿真的進(jìn)化算法進(jìn)行求解.賈湖等[9]建立了需求隨機(jī)和供貨時(shí)間隨機(jī)的庫(kù)存模型，假設(shè)了產(chǎn)品需求數(shù)量為一隨機(jī)過(guò)程、補(bǔ)貨時(shí)間相互獨(dú)立、庫(kù)存減少的數(shù)量為馬爾代夫過(guò)程，基于此對(duì)基本庫(kù)存進(jìn)行了分析.

上述研究主要考慮了庫(kù)存模型中需求函數(shù)的隨機(jī)性以及需求與庫(kù)存水平之間的關(guān)系，而缺乏對(duì)庫(kù)存供給、需求、實(shí)時(shí)庫(kù)存水平之間的聯(lián)動(dòng)關(guān)系考慮.本文同時(shí)考慮了基于即時(shí)庫(kù)存水平下的庫(kù)存供給方式，采用正態(tài)分布對(duì)需求隨機(jī)項(xiàng)進(jìn)行描述，并利用微分方程建立了需求、供給、當(dāng)前庫(kù)存量之間的聯(lián)系；根據(jù)需求和庫(kù)存水平的變化，分別描述了庫(kù)存平衡、缺貨、庫(kù)存殘余三種狀態(tài)，提出了具有補(bǔ)貨周期的隨機(jī)庫(kù)存模型.以庫(kù)存系統(tǒng)效益最大為目標(biāo)，以庫(kù)存容量為約束，建立庫(kù)存優(yōu)化模型對(duì)庫(kù)存周期和補(bǔ)貨周期進(jìn)行優(yōu)化，最后進(jìn)行了算例分析.

1 問(wèn)題描述與模型假設(shè)

考慮庫(kù)存需求隨機(jī)波動(dòng)下帶有補(bǔ)貨周期的庫(kù)存系統(tǒng)，將庫(kù)存成本描述為訂貨費(fèi)、保管費(fèi)、庫(kù)存殘余損失、缺貨損失，在供貨周期連續(xù)補(bǔ)貨情況下，尋求庫(kù)存系統(tǒng)效益最大化的庫(kù)存周期和補(bǔ)貨周期.庫(kù)存模型假設(shè)如下：

假設(shè)庫(kù)存模型存在一定的庫(kù)存周期T和補(bǔ)貨周期Tp，同時(shí)假設(shè)周期內(nèi)的貨品價(jià)值不隨存儲(chǔ)時(shí)間變化而在周期末的庫(kù)存殘余會(huì)瞬間貶值.在缺貨期間假設(shè)庫(kù)存為線性需求，缺貨損失與缺貨時(shí)長(zhǎng)相關(guān).庫(kù)存費(fèi)用由訂貨費(fèi)D、保管費(fèi)H、庫(kù)存殘余損失費(fèi)O、缺貨損失費(fèi)B四部分組成.

1) 訂貨費(fèi) 訂貨費(fèi)由固定費(fèi)用和附加費(fèi)用兩部分組成，周期內(nèi)，假設(shè)固定費(fèi)用與訂貨次數(shù)成正比，運(yùn)輸、裝卸等附加費(fèi)用與訂貨量成正比.

D=n·D0+k1·c

(1)

式中：D0為單次訂貨費(fèi)用；n為訂貨次數(shù)；k1為訂貨附加費(fèi)率；c為訂貨量.

2) 保管費(fèi) 保管費(fèi)與庫(kù)存周期內(nèi)的實(shí)時(shí)庫(kù)存量成正比.

(2)

式中：k2為保管費(fèi)率；ct為t時(shí)刻的實(shí)時(shí)庫(kù)存量.

3) 庫(kù)存殘余損失費(fèi) 庫(kù)存殘余損失費(fèi)由殘余貨品的訂貨費(fèi)、保管費(fèi)、貨品貶值損失組成.

O=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs

(3)

式中：Cs為殘余庫(kù)存量；k3為單位貨品貶值損失費(fèi)用.

4) 缺貨損失費(fèi) 缺貨損失費(fèi)與庫(kù)存周期內(nèi)的實(shí)時(shí)缺貨數(shù)量成正比.

(4)

式中：Tz為庫(kù)存周期內(nèi)的缺貨時(shí)長(zhǎng)；kt為單位貨品的缺貨損失費(fèi)用；zt為t時(shí)刻的實(shí)時(shí)缺貨量.

2 帶有補(bǔ)貨周期的隨機(jī)庫(kù)存模型

傳統(tǒng)庫(kù)存模型假設(shè)需求函數(shù)為線性，即在整個(gè)庫(kù)存周期內(nèi)，貨品的需求保持恒定水平.線性需求假設(shè)忽略了需求的波動(dòng)以及需求對(duì)庫(kù)存的依賴.模型假設(shè)需求為帶有隨機(jī)項(xiàng)的關(guān)于實(shí)時(shí)庫(kù)存水平ct的函數(shù).

q(t)=f(ct)+ε

(5)

庫(kù)存供給一般有一次補(bǔ)齊和連續(xù)補(bǔ)貨兩種方式，一次補(bǔ)齊方式是在每個(gè)庫(kù)存周期內(nèi)將貨品一次性補(bǔ)充到同一庫(kù)存量；連續(xù)補(bǔ)貨方式則是在補(bǔ)貨周期內(nèi)結(jié)合庫(kù)存水平連續(xù)補(bǔ)貨，模型假設(shè)供給為關(guān)于庫(kù)存水平的函數(shù).

p(t)=φ(ct)

(6)

需求和供給函數(shù)的疊加又直接決定了庫(kù)存水平的變化.

(7)

1) 一次補(bǔ)齊庫(kù)存概率模型 對(duì)于一次性補(bǔ)齊庫(kù)存模型，由于需求函數(shù)中隨即項(xiàng)ε的作用，會(huì)出現(xiàn)缺貨和庫(kù)存殘余，見圖1，在每個(gè)庫(kù)存周期將貨品一次性補(bǔ)充到同一庫(kù)存量C，考慮周期內(nèi)的需求的隨機(jī)波動(dòng)，利用平衡balance、缺貨shortage、殘余residue三種情況下的庫(kù)存成本期望值對(duì)庫(kù)存成本進(jìn)行描述.

圖1 一次補(bǔ)齊庫(kù)存概率模型

周期內(nèi)的訂貨費(fèi)：Db=D0+k1·C；Ds=D0+k1·(C+r.Tz)；Dr=D0+k1·(C-Cs).

周期內(nèi)的庫(kù)存殘余損失費(fèi)：Ob=0；Os=0；Or=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs.

按照balance、shortage、residue出現(xiàn)的概率分別為ρb，ρs，ρr，則庫(kù)存成本可以用其期望值加以描述.

·ρi

(8)

2) 整周期連續(xù)補(bǔ)貨庫(kù)存模型 整周期連續(xù)補(bǔ)貨庫(kù)存模型可以按照當(dāng)前庫(kù)存量進(jìn)行補(bǔ)貨，可以將庫(kù)存量維持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的水平，但連續(xù)進(jìn)貨同時(shí)也造成了較大的訂貨成本.

整周期連續(xù)補(bǔ)貨可以忽略庫(kù)存殘余損失和缺貨損失，則整周期連續(xù)補(bǔ)貨庫(kù)存模型總成本為

Cost2=D+H

(9)

3) 帶補(bǔ)貨周期的隨機(jī)庫(kù)存模型 連續(xù)補(bǔ)貨則可以根據(jù)當(dāng)前庫(kù)存調(diào)節(jié)補(bǔ)貨量，將庫(kù)存保持在一個(gè)低而穩(wěn)定的范圍，考慮到整周期連續(xù)補(bǔ)貨訂貨成本太高，只在整個(gè)庫(kù)存周期中的部分時(shí)段補(bǔ)貨，從而形成補(bǔ)貨周期Tp，隨著補(bǔ)貨周期的延長(zhǎng)，缺貨和殘余的概率將逐漸降低.綜合一次補(bǔ)齊模型和整周期連續(xù)補(bǔ)貨模型，得到圖2的帶補(bǔ)貨周期連續(xù)庫(kù)存模型.

圖2 帶補(bǔ)貨周期的隨機(jī)庫(kù)存模型

周期內(nèi)庫(kù)存殘余損失費(fèi)：Ob=0；Os=0；Or=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs.

結(jié)合歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，對(duì)隨機(jī)項(xiàng)ε的期望值μ取正、負(fù)值的概率進(jìn)行估計(jì)，分別取值為ρ1，ρ2，ρ1+ρ2=1，對(duì)于μ取正值時(shí)，可分別計(jì)算正偏離下的平衡balance、缺貨shortage、殘余residue狀態(tài)下的概率ρ1b，ρ1s，ρ1r；μ取負(fù)值時(shí)，可分別計(jì)算負(fù)偏離下的平衡balance、缺貨shortage、殘余residue狀態(tài)下的概率ρ2b，ρ2s，ρ2r；利用各種狀態(tài)下的庫(kù)存成本的期望值對(duì)周期內(nèi)的庫(kù)存成本為

(10)

假設(shè)庫(kù)存消耗產(chǎn)生的收益與庫(kù)存消耗量成正比，單位庫(kù)存消耗量產(chǎn)生效益為ω.則利用期望描述周期內(nèi)的庫(kù)存效益為

(11)

p(t)=φ(c(t))

(12)

期望值對(duì)隨機(jī)需求為

q(t)=

供給累計(jì)和需求消耗對(duì)庫(kù)存水平為

c(t)=

(14)

式中：ρ1b+ρ1s+ρ1r=1，ρ2b+ρ2s+ρ2r=1，ρ1+ρ2=1.

將隨機(jī)項(xiàng)ε的期望值μ描述為與供貨周期和庫(kù)存周期相關(guān)的函數(shù)為

(15)

得到庫(kù)存效益模型為

(16)

(17)

式中：目標(biāo)函數(shù)為τ時(shí)間段內(nèi)庫(kù)存效益最大；T，Tp為決策變量；Cmax為最大庫(kù)存容量；Cmin為安全庫(kù)存容量，

通過(guò)模型求解，得到庫(kù)存系統(tǒng)效益最優(yōu)的庫(kù)存周期To和補(bǔ)貨周期Tpo，由此可以得到周期內(nèi)的訂貨量Co，最高庫(kù)存水平Cmax.

(18)

(19)

3 模型求解

(20)

按照式(14)的簡(jiǎn)化，通過(guò)如下迭代步驟逐步逼近式(10)的最優(yōu)解：

步驟1初始化count=0，設(shè)初始可行解為(T0,Tp0)，定義T=(T，TP).

步驟2count=count+1.

步驟5收斂判斷，定義gap=|W(Tcount)-W(Tcount-1)|.若Tcount滿足收斂準(zhǔn)則，停止迭代，返回Tcount；否則返回步驟2.

4 算例分析

(21)

(22)

(23)

(24)

將Cost,E,Cs,Tz帶入式(16)、(17)求解得到：Tp=11 d，T=42 d.訂貨總量為421件，最大庫(kù)存量為286件.從上述結(jié)果可以看出，帶有補(bǔ)貨周期的庫(kù)存模型相對(duì)于一次補(bǔ)齊模型，最大庫(kù)存量減少了135件，節(jié)約了32%的庫(kù)存容量.

同時(shí)考慮到現(xiàn)實(shí)訂貨商為了保障生產(chǎn)和銷售的連續(xù)性，往往對(duì)庫(kù)存消耗預(yù)期偏高，降低殘余庫(kù)存損失具有現(xiàn)實(shí)意義，連續(xù)補(bǔ)貨利于訂貨商捕捉周期內(nèi)的需求規(guī)律，減少缺貨和庫(kù)存殘余，對(duì)提高庫(kù)存系統(tǒng)總效益有積極意義.

5 結(jié) 束 語(yǔ)

針對(duì)庫(kù)存需求和供給依賴于庫(kù)存水平的庫(kù)存系統(tǒng)，在需求函數(shù)隨機(jī)項(xiàng)波動(dòng)服從正態(tài)分布的假設(shè)下，描述了庫(kù)存系統(tǒng)供需平衡、庫(kù)存殘余、缺貨三種狀態(tài)；并利用庫(kù)存成本期望建立了帶有補(bǔ)貨周期的隨機(jī)庫(kù)存模型；以庫(kù)存系統(tǒng)總效益最大為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型對(duì)補(bǔ)貨周期和庫(kù)存周期進(jìn)行優(yōu)化，計(jì)算了庫(kù)存系統(tǒng)周期內(nèi)的訂貨量和最高庫(kù)存水平.模型反映了即時(shí)庫(kù)存水平對(duì)庫(kù)存供給和需求的調(diào)節(jié)作用，更符合實(shí)際；考慮補(bǔ)貨周期在庫(kù)存周期內(nèi)對(duì)需求隨機(jī)波動(dòng)范圍的影響，體現(xiàn)了供給、需求、即時(shí)庫(kù)存水平之間的平衡反饋機(jī)制；模型求解了系統(tǒng)最優(yōu)下的補(bǔ)貨周期和庫(kù)存周期，為指導(dǎo)連續(xù)生產(chǎn)提供了理論基礎(chǔ)，模型求解的最優(yōu)訂貨批量和最大庫(kù)存量對(duì)優(yōu)化庫(kù)存系統(tǒng)，節(jié)約庫(kù)存成本具有積極意義，可變的補(bǔ)貨周期豐富了模型的拓展性和適用空間.本文只針對(duì)特定屬性的貨品進(jìn)行研究，對(duì)于貨品構(gòu)成復(fù)雜的混合庫(kù)存系統(tǒng)還有待進(jìn)一步研究.