解題教學(xué)應(yīng)教會學(xué)生怎樣“研題”

摘 要： 學(xué)生解題能力的培養(yǎng)可依據(jù)波利亞的解題理論，給學(xué)生搭建“如何解題”的“支架”，促進(jìn)學(xué)生對“解題策略”的深入理解，形成解題的“技術(shù)路線圖”，進(jìn)而能夠“研題”。“研題”過程可分為四個階段：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧反思。高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)提供具有探究性的問題，應(yīng)重在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，應(yīng)體現(xiàn)策略指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞： 解題教學(xué)；研題；解題策略

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂中一種常見的教學(xué)形式，它承載著實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)教育目的的重要任務(wù)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常會出現(xiàn)以下現(xiàn)象：學(xué)生做了許多的題目，但考試遇到類似的問題卻不會解。為什么學(xué)生遇到類似的題目不會進(jìn)行方法的遷移？為什么遇到新題和難題不會進(jìn)行探究與創(chuàng)新？造成這種現(xiàn)象的原因是學(xué)生在平時的解題過程中不會“研題”，導(dǎo)致了學(xué)生沒有形成自主解題的思維方式和思維方法，即沒有形成自主解題的能力。

一、 波利亞的解題理論與“研題”

美國數(shù)學(xué)家和教育學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》一書中揭示了人們在解題過程中的一般思維活動，并形成了“怎樣解題表”，在該表中，波利亞把解題分成理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧四個階段，并提供了豐富的案例進(jìn)行闡述。

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可依據(jù)波利亞的解題理論，通過“問題”或“問題串”的方式，激活學(xué)生已有的知識，讓學(xué)生從簡單“模仿”到會“解題”，并逐漸形成“理解題目——擬定方案——執(zhí)行方案——回顧反思”的研題技術(shù)路線圖。

二、 教學(xué)設(shè)計案例

如圖1，已知四棱錐P ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點。

（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值。

1. 理解題目，合理轉(zhuǎn)化

理解題目是解決問題的前提，你必須知道題目的已知是什么，未知是什么，進(jìn)一步還要挖掘題目的已知條件和要解決的問題，并把題目的已知和未知進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化。

（1）已知條件有哪些？

（2）由題目條件可以推導(dǎo)出哪些“新條件”？

（3）要解決什么問題？

（4）求解需要哪些結(jié)論？

2. 消除差異，擬定計劃

在充分理解題目基礎(chǔ)上，尋找已知和未知之間的聯(lián)系，逐漸消除已知和未知之間的差異，尋找解決問題的方法。

（1）轉(zhuǎn)化求解?？砂褑栴}轉(zhuǎn)化成CE的平行線與平面PBC所成角。

（2）等體積法解題。利用等體積法求得點E到平面PBC的距離，從而求解。

（3）向量法解題。建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解。

3. 執(zhí)行方案，展示過程

良好的解題素養(yǎng)一個重要的體現(xiàn)是如何把解題過程表達(dá)得嚴(yán)謹(jǐn)且簡潔。

解法1：如圖3，分別取BC、AD的中點M，O，連接PO交EF于點N，連結(jié)MN，易證CE∥MN。

過點N作PB的垂線，垂足為H，連接MH，可得直線CE與平面PBC所成角∠NMH的正弦值是 2 8 。

解法2：由VE-PBC=VN-PBC=VC-PBN，得h= 1 4 ，所以sinθ= h CE = 2 8 。

解法3：建立空間直角坐標(biāo)系如圖4所示?？汕笃矫鍼BC的法向量m → =（1，0， 3 ），則sinθ=|cos|= 2 8 。

4. 回顧反思，自覺分析

通過回顧解題的過程以及對題目的拓展，使學(xué)生對本題能夠有較深刻的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生從解題的“記憶模仿”階段逐漸地進(jìn)入到解題的“自覺分析”階段。

（1）本題的難點在哪里？如何突破？

條件PC=2的使用是難點，用好這個條件是找到解題突破口的關(guān)鍵。

（2）如果讀不懂圖形，還有其他辦法嗎？

按圖5建系，設(shè)P（x，y，z），由線段PA、PC、PD的長度解出P的坐標(biāo)，然后求解。

（3）問題的基本模型是什么？如何變式和拓展？

基本模型1：如圖6，在△ABC中，AC=BC，將△ABC沿AB旋轉(zhuǎn)至△ABD，O為AB中點，連接OD，OC，則∠COD為二面角C-AB-D的平面角。

基本模型2：如圖7，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線l（庫底和水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，AB的長為d，則庫底與水壩所成二面角的余弦值為： a2+b2+c2-d2 2ab 。

在弄清基本模型的基礎(chǔ)上，適當(dāng)改變條件或結(jié)論，深化對題目的認(rèn)識。

（4）反思本問題的解決過程，你對解題有何認(rèn)識？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一般意義上的解題策略和方法。

三、 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的幾點思考

1. 解題教學(xué)應(yīng)提供具有探究性的問題

探究性主要體現(xiàn)在題目難度適當(dāng)，解題方法的尋找需要實驗和探索，題目的答案不必唯一，學(xué)生經(jīng)過一定的思考和付出可以有所收獲。在上述解題教學(xué)過程中，從高考真題出發(fā)，設(shè)計一系列的“問題串”，就像給學(xué)生搭建了一個個“腳手架”，學(xué)生在攀登“腳手架”的過程中解決了問題，獲得了知識，鍛煉了思維。

2. 解題教學(xué)應(yīng)重在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

思維能力是學(xué)習(xí)能力的核心，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，應(yīng)通過各種方式培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在上述解題教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生從多個角度，用多種方法進(jìn)行解題，拓寬了學(xué)生的思路，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性，對題目進(jìn)行了適當(dāng)?shù)淖兪?，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性，同時，對題目的“題根”進(jìn)行探究，體現(xiàn)了思維的深刻性。

3. 解題教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)策略指導(dǎo)

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)不但要教會學(xué)生解一道題，還要教會學(xué)生解一類題，更要教會學(xué)生解決一般問題的步驟與策略，即會“研題”。在上述解題教學(xué)中，教師提供具有指導(dǎo)性和啟發(fā)性的問題，學(xué)生在解題教學(xué)活動中逐漸地掌握解題的“技術(shù)路線圖”，從而達(dá)到“研題”的水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]涂泓，馮承天譯.（美）G·波利亞著.怎樣解題[M].上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

[2]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐[M].廣西教育出版社，2008.

作者簡介： 李福彬，浙江省臺州市，浙江省三門中學(xué)。