數(shù)學中的普拉托問題

孫一

摘 要：普拉托根據(jù)“肥皂泡現(xiàn)象”提出了有關極小曲面的問題，因此又稱為普拉托問題。該問題自提出以來就引起了許多數(shù)學家的關注，并不斷取得突破性進展。極小曲面是微分幾何領域中的一類重要的特殊曲面。由于其優(yōu)美的幾何性質和力學性質，極小曲面在眾多領域尤其是建筑方面有著非常重要的應用，并在自然界中廣泛存在。本文從普拉托實驗入手，介紹了極小曲面的由來及發(fā)展過程，列出了極小曲面方程并給出了幾種類型，最后重點討論了極小曲面的廣泛應用。

關鍵詞：普拉托實驗；極小曲面方程；伯恩斯坦定理；膜結構

中圖分類號：G633.65 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）19-0220-02

1 普拉托實驗

著名的普拉托問題源于一個物理實驗。將一根金屬絲彎出一條封閉曲線，然后浸入肥皂液中，再輕輕提出，那么金屬框架上就會蒙上一層絢麗的肥皂膜。在表面張力的作用下，肥皂膜的勢能趨于最小，此時肥皂膜的形狀也具有最小的面積[1]。比利時物理學家普拉托對肥皂膜現(xiàn)象進行了大量研究，總結其顯現(xiàn)的形狀，并于1873出版了著作《實驗和理論流體靜力學》。他通過肥皂膜的有趣實驗，確定了肥皂膜曲面的許多幾何性質。他在書中提到，不論封閉曲線如何扭曲，神奇的自然界總能找到一種方式在上面張成一層肥皂膜。如果不考慮肥皂膜自身的重力，僅在表面張力作用下，固定邊界曲線上自然張成的曲面，在所有可能的曲面中面積總是最小。這種封閉曲線上表面積最小的曲面被稱為極小曲面。由于普拉托的貢獻，后來習慣把如何從數(shù)學上尋求這種曲面的問題稱為普拉托問題。該問題提出后吸引了許多學者的關注，并逐漸從物理學領域轉向數(shù)學領域。

2 極小曲面方程

普拉托問題可以描述為：給定一條可求長的光滑封閉曲線，尋求以這條空間曲線為邊界的具有極小面積的曲面。實際上，1744年歐拉在其著作《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》中就提過類似問題。1760年，拉格朗日首次給出了這類曲面應該滿足的方程。

考慮三維歐氏空間中的光滑函數(shù)決定的圖M，如果于M上某曲面D在所有與D邊界相同的曲面面積中最小，那么該函數(shù)滿足下列方程：

這就是著名的極小曲面方程[2]。線性函數(shù)的二階導數(shù)為零，顯然是上述方程的解，它的圖是平面。

1776年，法國數(shù)學家梅斯尼埃給出了上述方程的幾何解釋，即上述曲面的平均曲率等于零。曲率表明曲線在某一點處的彎曲程度。曲率越大，則曲率半徑越小，曲線的彎曲程度就越大。平均曲率是指空間曲面上某一點處任意兩個相互垂直的正交曲率的平均值，它可以用來局部描述一個曲面嵌入周圍空間的程度。因此，我們可以這樣定義：三維歐氏空間中平均曲率恒等于零的曲面是極小曲面。梅斯尼埃還給出了方程的兩個非線性解，它們的圖分別是懸鏈面和正螺旋面。隨后，方程的一些特解陸續(xù)被挖掘出來。1866年，魏爾斯特拉斯利用復變函數(shù)論的方法首次得到了上述方程的通解。

隨著極小曲面研究的不斷深入，極大地促進了分析、幾何、泛函以及拓撲等許多方向的發(fā)展。數(shù)學家們所熱衷的課題主要有兩個方面：一個是普拉托問題解的存在性，另一個是伯恩斯坦型定理的證明。伯恩斯坦定理描述為：E3中完備的極小圖必是平面[3]。即對于上述極小曲面方程，在全平面上的解是線性函數(shù)。用幾何語言來描述，就是全平面上定義的極小圖是平面。數(shù)學家菲舍爾和舍恩首先證明了該定理，不久，杜卡莫和彭家貴共同合作也獨立地予以證明。伯恩斯坦定理在三維歐氏空間中是成立的，那么在高維空間的推廣是否仍然成立呢？人們很早就提出這樣的問題：設S是En中的完備極小超曲面，那么函數(shù)z（x1，x2，…，xn）是否必是線性的？

1965年，E.迪喬吉證明了n=3時成立；1966年，F(xiàn).J.阿姆格倫證明了n=4時仍然成立。1967年，J.西蒙斯證明了當n≤7時都是成立的。伯恩斯坦定理看似仍然可以推廣到高維空間。然而，有趣的是，E.邦別里、E.迪喬吉和E.朱斯蒂在1968年聯(lián)合證明：當n=8時，上述推廣則不成立。關于極小曲面及其在高維流形的推廣，陳省身、項武義、丘成桐等都作出了突出貢獻。

3 極小曲面的經(jīng)典實例

根據(jù)極小曲面的定義，我們可以找出關于極小曲面的許多經(jīng)典例子[4]。以下是先后發(fā)現(xiàn)的一些極小曲面：

（1）歐幾里得平面。它也是無特別約束條件下最為常見的極小曲面。（2）懸鏈面。懸鏈面是一種旋轉極小曲面，它是由懸鏈線圍繞其水平準線旋轉而得到的曲面。懸鏈線是一條兩端固定的均勻柔軟但不能伸長的鏈條。在重力作用下，鏈條會呈現(xiàn)曲線形狀，它的方程是一個雙曲余弦函數(shù)。將金屬絲彎成兩個等大的圓環(huán)，緊貼浸入肥皂液中，一段時間后輕輕拿出并緩慢分開，就可以得到一個懸鏈面狀的肥皂膜。（3）正螺旋面。正螺旋面是一種特殊的直紋極小曲面。在三維坐標系中，將一條直線l與x軸重合，然后讓直線l繞z軸勻速轉動的同時沿z軸方向勻速上升，即沿z軸作勻速螺旋上升，其掃過的曲面就是正螺旋面。（4）Enneper曲面等。另外，將極小曲面引入CAGD（計算機輔助幾何設計），還可以得到各種類型的優(yōu)美的極小曲面。

4 極小曲面的廣泛應用

極小曲面具有優(yōu)美的幾何性質和力學性質，是一類非常重要的特殊曲面。因此，極小曲面在許多領域包括建筑、航空、輪船制造及生物醫(yī)學等都有著重要應用。將極小曲面引入CAGD造型領域后，既增加了人們對極小曲面的理解，又提高了其在實際生活中的應用[5]。

極小曲面在建筑設計方面有著廣泛的應用。因為極小曲面形狀的屋頂，結構穩(wěn)定，美觀大方，并且不易積水，建筑師們往往喜歡按照極小曲面的模型來進行設計。遠古時代，人類利用支桿、繩索和獸皮搭建的帳篷就呈現(xiàn)出極小曲面的造型，這也是最早的索膜結構。隨著文明的進步和科技的發(fā)展，建筑膜材料也變得越來越高級，具備各種功能，比如防水、透光、高強度、耐腐蝕等，索膜建筑結構體系引起了廣泛的重視。在許多文藝、體育、博覽會等大型公共建筑上，都可以找到極小曲面的影子，比如慕尼黑奧林匹克體育館，亞特蘭大奧運會主館，泰晤士河畔的千年穹頂，法蘭克福航空港飛機庫的屋頂?shù)龋际遣捎盟髂そY構的標志性建筑。索膜結構可以充分利用陽光和空氣，可以與自然環(huán)境融為一體，并且易建易拆，綠色環(huán)保，已成為當今世界最流行的空間建筑結構之一。近年來，索膜建筑技術在中國的建筑市場也需求大增。膜結構工程在造船業(yè)和航空業(yè)同樣有著重要的作用，比如經(jīng)常用于船體與船首的過渡曲面，以及用于飛機機翼部分的設計也可以增大升力等。在膜結構的設計過程中，找膜分析是最為關鍵的一環(huán)。早期的找形技術正是采用皂泡形成法。

肥皂泡中任一點對任意軸的拉應力都相等，因此會形成等應力極小曲面。

極小曲面還是一種特殊的能量極小曲面。在普拉托實驗中，肥皂膜正是在表面張力的作用下，勢能趨于最小，因此最為穩(wěn)定，此時面積也達到最小。在自然界中，能量最小狀態(tài)是一種十分穩(wěn)定的狀態(tài)。我們可以在自然界找到許多能量極小曲面的身影。例如，某些海底的軟體動物的部分表面就與Enneper曲面類似，而芙蓉花的花蕊部分與某些極小曲面的形狀也非常接近。

另外，極小曲面的形狀獨特，具有超凡的美感，因此也為很多藝術家所青睞。在許多藝術作品中，同樣可以找到極小曲面的影子。例如F.Bouehm的油畫作品“A Boy with a Girl blowing Bubbles”，O.Taeuberhahn依據(jù)Enneper極小曲面的雕塑等。

參考文獻

[1]趙曉彤.三維歐氏空間中的極小曲面[D].東北大學，2014.

[2]郝永霞.極小曲面造型中的相關問題研究[D].大連理工大學，2013.

[3]韓英波.拉格朗日子流形幾何及相關問題[D].復旦大學，2007.

[4]R·奧斯曼.極小曲面概論[M].遼寧大學出版社，1988.

[5]徐崗，汪國昭.計算機輔助幾何設計中極小曲面造型的研究進展[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學，2008，（8）：984-992.