高考中坐標系與參數(shù)方程選講考點解題探究

林偉城 蘇玉蓉

摘 要：高考是教育事業(yè)發(fā)展中的重要環(huán)節(jié)，是對學生知識水平檢驗的重要方式，坐標系和參數(shù)方程作為高考中的重點題型，需要進一步進行研究和探索，在數(shù)學教學開展的過程中，參數(shù)方程是一大難點，教師想要讓學生充分掌握參數(shù)方程和坐標系的解題方式，就要在教學過程中加強對其重點難點的講解。本文主要對參數(shù)方程和坐標系之間的轉(zhuǎn)化、動點軌跡的參數(shù)方程、曲線的參數(shù)方程求兩曲線的交點等題型的解題方式進行了闡述，希望能夠為高中的坐標系和參數(shù)方程的考點教學提供幫助。

關(guān)鍵詞：坐標系；參數(shù)方程；解題探究

當前我國的教育發(fā)展開始面臨著重要改革，但應試教育依然是我國的主要測評形式，想要全面提高學生的數(shù)學水平，就要明確高考的主要考點，開展針對性教學，課堂教學的主要目標是讓學生能夠做到根據(jù)已經(jīng)掌握的數(shù)學相關(guān)知識點，自主的進行問題的分析和解答。近年來，坐標系和參數(shù)方程成了高考的選做題之一，值得引起教師和教育工作者的關(guān)注，很多教師也開始將其作為重要教學內(nèi)容來展開教學，為學生的高考成績提供保障。

一、 參數(shù)方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化

考點：通過曲線的參數(shù)方程對曲線的類型進行判斷

例題：在極坐標系中，O為極點，半徑為2的圓C的圓心的極坐標為（2，π3）。

（1） 求圓C的極坐標方程；

（2） 在以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸建立的直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為x=1+12t

y=-2+32t（t為參數(shù)），直線l與圓C相交于A，B兩點，已知定點M（1，-2），求|MA|·|MB|。

解析：本題主要考察的是極坐標方程和直角坐標系方程的轉(zhuǎn)換，在進行解題的過程中我們要先對題中所給的條件進行分析，將可能用的知識點進行確定，在進行問題的解答時要對方程間的關(guān)系進行確定，同時注意參數(shù)t的變化，了解其變化的范圍。（1）設(shè)P（P，θ）是圓上任意一點，則在等腰三角形COP中，OC=2，OP=P，∠COP=|θ-π3|，而12|OP|=|OC|cos∠COP 所以，P=4cos（θ-π3）即為所求的圓C的極坐標方程。極坐標方程的求解過程中要對P點進行確認，根據(jù)條件可知三角形COP為等腰三角形，確定兩條邊的關(guān)系，求出∠COP。

圓C的直角坐標方程為（x-1）2+（y-3）2=4，即：x2+y2-2x-23y=0，將直線l的參數(shù)方程x=1+12t

y=-2+32t（t為參數(shù)）代入圓C的方程得：t2-（3+23）t+3+43=0，其兩根t1，t2滿足t1·t2=3+43，所以，|MA|·|MB|=|t1·t2|=3+43。本題在解答過程中要注意直線方程l的變化，我們需要做的就是消除方程中的參數(shù)，但這一過程中要注意方程中的變量取值，要與參數(shù)進行相對應，而且在進行參數(shù)消除的過程中所采取的方式也要根據(jù)方程的特點來進行調(diào)整，常用的消除參數(shù)方法有：代入消除，這是本題的解題手法，代入消除參數(shù)，可以通過加減或者乘除，除此之外還有換元法，用代數(shù)或者是三角換元來進行消除等。

二、 動點軌跡的參數(shù)方程

考點：動點軌跡的極坐標方程和參數(shù)方程

例題 在平面直角坐標系xOy中，已知定點F（1，0），點P在y軸上運動，點M在x軸上，點N為平面內(nèi)的動點，且滿足PM·PF=0，PM+PN=0

（1） 求動點N的軌跡C的方程；

（2） 設(shè)點Q是直線l：x=-1上任意一點，過點Q作軌跡C的兩條切線QS，QT，切點分別為S，T，設(shè)切線QS，QT的斜率分別為k1，k2，直線QF的斜率為k0，求證：k1+k2=2k0。

解析：想要解答這類題型，要對題目的類型進行判斷，一般來講分為以下幾點方式，按照基本動點求解知識進行建系設(shè)點，列出等式進行化簡；如果是動點圍繞已知曲線的動點進行運動，可以將轉(zhuǎn)化后的已知動點的坐標帶入到曲線方程，求出軌跡方程；還可以通過動點的運動規(guī)律的研究，找出與之相匹配的曲線定義來求出軌跡方程，在求兩條曲線的交點的軌跡方程的過程中，要選出一個合適的參數(shù)，進行含參數(shù)等式的求解，再消除掉參數(shù)，求出軌跡方程。

（1） 設(shè)點N（x，y），M（a，0），P（0，b）由PM+PN=0可知，點P是MN的中點，

所以a+x2=0

0+y2=b即a=-x

b=y2所以點M（-x，0），P（0，y2），所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）。分由PM·PF=0，可得-x+y24，即y2=4x。所以動點N的軌跡C的方程為y2=4x。

在進行解題的過程中，得到題中要求的是動點軌跡的方程，首先我們要先設(shè)出動點的坐標，N、M、P在對三個坐標建立起等量關(guān)系，得出結(jié)論P為NM的中點，再求出M、P的實際坐標值，將三點之間的關(guān)系盡量明確，這時再進行等量關(guān)系的化簡，然后確定取值的范圍。

（2） 設(shè)點Q（-1，t），由于過點Q的直線y-t=k（x+1）與軌跡C：y2=4x相切，建立方程y2=4x，y-t=k（x+1）整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0，則Δ=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，化簡得k2+tk-1=0顯然，k1，k2是關(guān)于k的方程k2+tk-1=0的兩個根，所以k1+k2=-t又k0=-t2，故k1+k2=2k0所以命題得證。題中的第二小題主要是證明三角線的斜率關(guān)系，解答過程中要對坐標的關(guān)系進行明確，先設(shè)點Q，再根據(jù)所得的方程列出方程式，然后化簡求證。

再根據(jù)軌跡方程來求坐標的過程中通常使用兩種方式，如果是參數(shù)方程，可以將參數(shù)方程變?yōu)橹苯亲鴺讼捣匠蹋缓罄L制出圖像，得到坐標，還可以將方程在坐標系上表現(xiàn)出來，得到坐標。

三、 曲線的參數(shù)方程求兩曲線的交點

考點：曲線的參數(shù)方程求兩曲線的交點

例題 已知兩曲線參數(shù)方程分別x=5cosθ，y=sinθ（0≤θ<π）和x=54t2，y=t，t∈R它們的交點坐標為

解析：x=5cosθ，y=sinθ表示橢圓x25+y2=1（-5

還有一種題型是通過參數(shù)方程或者極坐標方程來求兩點之間的距離，在解答這類題型時我們經(jīng)常采用余弦定理，余弦定理的運用就等于知道了三角形的兩邊長，并且還能知道兩邊的夾角，很容易求出第三邊，再將題中的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程進行問題的解答。

四、 總結(jié)

綜上所述，想要順利地進行解題，首先要對基礎(chǔ)知識有一定掌握，這樣才能根據(jù)題意來明確知識點，同時坐標系和參數(shù)方程的求解經(jīng)常會使用到，直角坐標系的轉(zhuǎn)換，教師要在教學過程中對這一基礎(chǔ)知識進行反復的講解，來加深學生的記憶。數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，想要學好數(shù)學就要具有很強的邏輯思維和獨立思考能力，在遇到問題時，能夠?qū)㈩}中所給的已知條件進行系統(tǒng)化的分析，避免將出現(xiàn)條件遺漏，具有較清晰的思維來進行問題流程的制定。

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作者簡介：

林偉城，福建省莆田市，莆田第二中學；

蘇玉蓉，福建省莆田市，莆田第一中學。