從問題中來 到問題中去
——《從問題到方程（1）》課堂實錄與反思

袁 樂

（南京市雨花臺中學(xué)，江蘇 南京）

“從問題到方程”是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七年級上冊第四章第一節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次方程內(nèi)容的起始點?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對這一內(nèi)容的教學(xué)要求是：“能根據(jù)具體問題的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量相等關(guān)系的有效模型?！弊屑毚?，可見本節(jié)課是一節(jié)典型的數(shù)學(xué)建模課，新的內(nèi)容來自于學(xué)生的現(xiàn)實生活，同時又依賴于學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)。這節(jié)課可以幫助學(xué)生了解方程在解決現(xiàn)實問題中的作用，同時能夠調(diào)動學(xué)生在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)方程的興趣。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷把實際問題抽象為方程問題的過程，體會方程是解決實際問題的有效模型；2.通過觀察、比較、分析和思考，歸納出用方程解決問題的一般思考方法；3.感受數(shù)學(xué)在生活中無處不在，形成用數(shù)學(xué)知識解釋和解決生活中的一些現(xiàn)象和問題的意識。

【教學(xué)重點】

用方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系。

【教學(xué)難點】

引導(dǎo)學(xué)生自主探索簡單實際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系。

【教學(xué)過程】

師：同學(xué)們，很高興認識大家，今天就由袁老師為大家上一節(jié)數(shù)學(xué)課。希望同學(xué)們能夠積極思考，踴躍舉手發(fā)言，老師期待著你們的表現(xiàn)！

師：在現(xiàn)實世界的許多實際情境中，通常有已知的量和未知的量，這些數(shù)量之間常常有相等的數(shù)量關(guān)系。

（一）精選問題情境，突出方法總結(jié)

師：讓我們先從生活中常見的天平入手，你能解決這個問題嗎？

問題情境1：天平的左盤中有兩個相同的小球和一個質(zhì)量為1g的砝碼，右盤中有一個5g的砝碼，此時天平恰好處于平衡狀態(tài)。你能求出一個小球的質(zhì)量嗎？

（學(xué)生分別用算術(shù)方法和方程方法作答，教師分別板書并予以肯定。）

師：你是依據(jù)什么樣的相等關(guān)系列出方程的呢？

生：左盤質(zhì)量等于右盤質(zhì)量。

師：同學(xué)們分析得很好，這個問題用算術(shù)方法和方程方法都能求解。那我們再來看第二個問題！

問題情境2：籃球聯(lián)賽規(guī)定，勝一場得2分，負一場得1分。某籃球隊一個季度賽了12場共得20分。你能求出籃球隊共勝了多少場嗎？

（學(xué)生自主選擇算術(shù)方法或方程方法作答，老師分別板書并予以肯定。再請對應(yīng)的同學(xué)說說是如何思考的，請在座的同學(xué)感受對比兩種方法哪種更容易理解。）

問題情境3：袁老師今年30歲，小明同學(xué)今年13歲，問多少年后學(xué)生的年齡會是老師年齡的三分之二？

（學(xué)生嘗試解答，發(fā)現(xiàn)此題用算術(shù)方法很難求解，絕大多數(shù)同學(xué)選擇用方程解答。）

師：對比這三個問題情境的解決過程，老師請大家思考兩個問題。

第一，對比算術(shù)方法解決問題和方程方法解決問題，談?wù)勀愕母惺堋?/p>

（學(xué)生大致可以回答出方程在解決一些較為復(fù)雜的問題時比較好操作，算術(shù)方法需要逆向思維，而方程方法需要順向思維，更好理解。）

設(shè)計意圖：三個問題情境的解決方法各不相同，由算術(shù)方法逐漸轉(zhuǎn)變成方程方法。對比后可以體會出方程在解決一些較為復(fù)雜的問題時的優(yōu)越性，從而感受學(xué)習(xí)方程的必要性。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下用數(shù)學(xué)語言來比較、歸納，盡管可能講得不十分準(zhǔn)確全面，但對于提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進行抽象、概括的能力是有益的。在同學(xué)們陳述的過程中，教師應(yīng)耐心傾聽，多加鼓勵。

第二，如何從實際問題出發(fā)分析得到方程？需要經(jīng)歷哪幾個步驟？

（引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程進行再思考、再認識，進而總結(jié)出“從問題到方程”的一般方法：①分析已知量和未知量，尋找相等關(guān)系；②設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；③根據(jù)相等關(guān)系列出方程。）

板書：

設(shè)計意圖：規(guī)范用方程解決問題的一般步驟，既起到鞏固的作用，又讓學(xué)生感受到這種方法的便捷性。以后再遇到類似的問題時，有基本的思路和方法。

（二）設(shè)計歸一問題，理解模型價值

“同學(xué)們，請你利用剛剛所總結(jié)的方法步驟，嘗試解決下列問題吧！”

1．一個長為2米的長方形菜地的面積比5平方米少1平方米，設(shè)該菜地的寬為x米，則可得方程______．

2．把5kg大米分別裝在2個同樣大小的袋子里，裝滿后還剩余1kg，若設(shè)每個袋子裝大米xkg，則可得方程_______．

3．小李購買了2個一樣的小禮物，包括1元的包裝費在內(nèi)總價為5元．如果設(shè)小禮物每個x元，則可得方程_______．

（學(xué)生能夠快速得到答案，三個方程都是2x+1=5）

師：這三個問題所列的方程是一樣的，它們表示的實際意義一樣嗎？

學(xué)生交流討論，得出“同一個方程可以表示不同的實際意義”。

師：不同的問題背景，可用同一個方程將之表示出來。可見方程是解決問題的一種好方法。方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量相等關(guān)系的一種有效的數(shù)學(xué)模型！

既然如此，你能編一道題，賦予2x+1=5不同的實際意義嗎？

（學(xué)生按照以下三個步驟在學(xué)習(xí)單上書寫）

“我設(shè)計的問題是：__________________________；

其中的相等關(guān)系是：_____________________________；

可以用方程這樣描述：_____________________________.”

（教師實物投影展示學(xué)生的回答，討論交流，并強調(diào)所舉例子應(yīng)該符合現(xiàn)實生活實際，符合人們的生活習(xí)慣要求。）

師：根據(jù)最后一位同學(xué)的舉例，老師將2x+1=5變成3x+2=10，你能再套用這個情景，即興再編寫一道應(yīng)用題嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生嘗試逆向思考、舉一反三，從而擴展思維、深化認識，理解方程模型的價值。

（三）貼合生活實際，發(fā)展應(yīng)用意識

師：同學(xué)們思維很活躍，下面讓我們來一個更具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。這里是小明同學(xué)的一篇秋游日記，這其中有好幾處相等關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)它們，并用方程描述嗎？

小明的秋游日記：“昨天我和小華為學(xué)校秋游活動統(tǒng)一采購水果。水果店老板說：“蘋果每斤4元，橘子每斤2元”，我們用62元班費恰好買回兩種水果共20斤。后來我們又分別用面值20元和10元的紙幣各買了一份水果布丁。老板找錢后，哈哈，我找回的錢是小華找回錢的6倍！今天大家玄武湖劃船的時候又遇到困難了。每條大船坐6人，每條小船坐2人，經(jīng)過我的巧妙安排，全班50人恰好坐滿11條船。大家都夸我聰明又能干！……”

（給學(xué)生充足的思考時間，并根據(jù)學(xué)生的回答，把相應(yīng)的文字用不同的彩色線標(biāo)示。劃分出明確的三段文字情境，有利于學(xué)生繼續(xù)在學(xué)習(xí)單上解決問題并回答。）

師：這本是一篇文采不怎么樣的記敘文，同學(xué)們卻能提煉分析出三個數(shù)學(xué)問題。真了不起！通過這個數(shù)學(xué)活動，你又有什么感悟呢？

生：雖然看似是記敘文，但里面包含許多數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)知識，以后遇到問題可以嘗試從數(shù)學(xué)的角度來分析和思考！

師：這位同學(xué)說得非常好！生活中處處有數(shù)學(xué)，處處皆學(xué)問。希望同學(xué)們能夠多多嘗試?yán)脭?shù)學(xué)知識去解釋實際生活中的現(xiàn)象，解決實際生活中的問題！

設(shè)計意圖：這篇“秋游日記”的教學(xué)方式非常新穎，語言描述也風(fēng)趣幽默，學(xué)生在輕松活潑有趣的學(xué)習(xí)氛圍中，發(fā)現(xiàn)原來秋游日記也可以和數(shù)學(xué)知識結(jié)合在一起玩！體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界密不可分，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用的能力。

（四）歸納小結(jié)感悟，提升思維內(nèi)涵

師：請同學(xué)們觀察黑板上我們所列舉的這些方程，它們有什么共同點？

生：它們都有一個未知數(shù)，都是等式。

師：未知數(shù)的次數(shù)呢？

生：1。

師：（板書）像這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為1的方程，叫做一元一次方程。請同學(xué)們在學(xué)習(xí)單上，每人再列舉三個一元一次方程。

（教師請同學(xué)們回答并板書，指出同學(xué)們舉例中的一些錯誤，帶領(lǐng)同學(xué)們辨識一元二次方程。）

師：同學(xué)們列舉得很好，但時間有限不能一一展示。

師：本節(jié)課即將結(jié)束，我們做一個簡單的小結(jié)。通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

（學(xué)生暢所欲言）

（五）漫話代數(shù)之父，激發(fā)學(xué)習(xí)后勁

師：一元一次方程其實只是方程大家族中的一個常見成員，隨著今后學(xué)習(xí)的深入，還有許多各式各樣的方程有待同學(xué)們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和研究。古希臘有一位數(shù)學(xué)家叫做丟番圖，他一生都致力于研究各種方程問題，被后人譽為“代數(shù)之父”。他的墓志銘上就刻著這樣一段有趣的文字：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，頰上長出了細細須，又過了生命的七分之一才結(jié)婚，再過5年他感到很幸福，得了一個兒子，可是這孩子光輝燦爛的生命只有他父親的一半，兒子死后，老人在悲痛中活了四年，結(jié)束了塵世的生涯?！蹦阒纴G番圖去世時的年齡嗎？

（學(xué)生思考交流）

師：下課鈴聲已經(jīng)響起，這個有趣的問題在書本的104頁，就留給感興趣的同學(xué)課后繼續(xù)思考！

【教學(xué)反思】

七年級的學(xué)生，根據(jù)小學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，已經(jīng)能較為熟練地運用算術(shù)方法解決問題，從已知量出發(fā)，綜合運用假設(shè)法和逆向思維解決問題。而方程是根據(jù)問題中的相等關(guān)系列出等式，已知量和未知量同時參與戰(zhàn)斗，借助順向思維列式，更加簡明直觀。本節(jié)課的教學(xué)通過讓學(xué)生經(jīng)歷“實際問題、數(shù)學(xué)模型、生活數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)化過程，力求讓學(xué)生感受到方程所刻畫的現(xiàn)實模型意義，明確列方程的關(guān)鍵是找到合適的“相等關(guān)系”。通過對實際問題的研究，學(xué)生可以認識到日常生活中的許多問題可以用數(shù)學(xué)方法解決。從課堂情況來看，學(xué)習(xí)主體參與意識強烈，發(fā)言踴躍，思維活躍；學(xué)習(xí)方式多樣，既有獨立自主的探究，又有小組合作的交流。教學(xué)時層次分明、逐步推進，教師通過“秋游日記”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注的是，從問題中來，到問題中去，體會數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值，堅定學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的信心和決心。整節(jié)課教學(xué)流暢，承前啟后，過渡自然，收到了良好的教學(xué)效果。