高中數(shù)學(xué)解題中的“分類討論”方式滲透分析

李 生

（廣西壯族自治區(qū)北流市高級(jí)中學(xué)，廣西 北流）

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只關(guān)注學(xué)生的考試成績(jī)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思想的掌握情況并不關(guān)心。隨著教育改革進(jìn)程的不斷深化，教師逐漸意識(shí)到解題思想滲透的價(jià)值。分類討論作為常見的解題思想，能夠有效降低問(wèn)題難度，幫助學(xué)生梳理解題思路，強(qiáng)化學(xué)生邏輯分析能力。因此，教師需要提高對(duì)分類討論的重視，并將其巧妙地滲透至課程教育活動(dòng)中。

一、圖形變化

當(dāng)前，由圖形不確定性引起的分類討論具體包括：函數(shù)問(wèn)題中區(qū)間的變動(dòng)，立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變動(dòng)，二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的變動(dòng)，直線由斜率引起的位置變動(dòng)，函數(shù)圖象形狀的變動(dòng)，離心率引起的形狀變動(dòng)等。在講解此類問(wèn)題時(shí)，教師需要巧妙滲透分類討論法，引導(dǎo)學(xué)生討論問(wèn)題條件，尋找解題突破口，從而準(zhǔn)確回答問(wèn)題。如：長(zhǎng)方形ABCD中，在 BC 邊上取一點(diǎn)P，使，線段AP的垂直平分線與長(zhǎng)方形的邊的交點(diǎn)為Q，R時(shí)，用t表示

要想解決此題，我們只需建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)法求出點(diǎn)Q，R的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建模即可。

二、概念變化

由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論，我們可以將其理解為數(shù)學(xué)概念的擴(kuò)展與延伸，借助對(duì)此類問(wèn)題的合理分類，能夠有效提升學(xué)生的解題能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論非常多，教師需要有意識(shí)帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)歸納知識(shí)，如直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。在解答有關(guān)數(shù)學(xué)概念的問(wèn)題時(shí)，對(duì)概念進(jìn)行分類，從而準(zhǔn)確解答問(wèn)題。

三、運(yùn)算需要

由運(yùn)算的需要引發(fā)的分類討論包含二次方程運(yùn)算中兩根大小的討論、除法運(yùn)算中分母是否能夠?yàn)榱?、解析函?shù)單調(diào)性時(shí)導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論、絕對(duì)值或等價(jià)變形等。在解題結(jié)束后，需要自主反思數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及哪些內(nèi)容，梳理知識(shí)間的數(shù)量關(guān)系，并找到問(wèn)題中的隱含條件。在此基礎(chǔ)上，驗(yàn)證答案的準(zhǔn)確性。事實(shí)上，一道問(wèn)題有許多種解答，萬(wàn)變不離其宗，只需要把握好問(wèn)題的本質(zhì)，便能順利解決問(wèn)題。

例 3.已知在等比數(shù)列｛an｝中，a1＝1，Sn是其前 n 項(xiàng)和，且 ak＋1，ak＋3，ak＋2（k∈N）成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列｛an｝的公比；（2）試判斷Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2（k∈N）是否也構(gòu)成等差數(shù)列，并說(shuō)明理由。

解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為 q（q≠0），則 ak＋1＝qk，ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1，依題意得 2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于 qk≠0，所以 2q2－q－1＝0，解得 q＝1或

（2）當(dāng) q＝1 時(shí)，Sk＋1＝（k＋1）a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，顯然 Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能構(gòu)成等差數(shù)列

四、性質(zhì)、定理、公式變化

此種問(wèn)題大多集中在選擇題與解答題上，難度中等，有一定難度，具體體現(xiàn)在數(shù)列、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)上。通常情況下，數(shù)列、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)等性質(zhì)定理等，在不同的環(huán)境下結(jié)論是有所區(qū)別的。在解決此類問(wèn)題時(shí)，我們必須要謹(jǐn)慎，確定題目適宜分類討論后再使用。

解析：通過(guò)解讀問(wèn)題我們可以得知點(diǎn)C的位置分兩種情況，即在y軸正半軸和負(fù)半軸，我們先考慮正半軸的情況，畫出圖形，過(guò)C作CD⊥AB于D，結(jié)合直線的解析式不難得到點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到AB的長(zhǎng)，但是如何才能將其與待求聯(lián)系起來(lái)呢？我們只需要結(jié)合折疊的性質(zhì)可知AC平分∠OAB，至此借助角平分線的性質(zhì)可知CD=CO=n，接下來(lái)該如何求解呢？結(jié)合上述分析可進(jìn)一步得到△COA≌△CDA，則有DA=OA，至此在△BCD中建立關(guān)于n的方程，解方程求出n的值，進(jìn)而即可得到此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，同理自己試著解答點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)n的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)。

綜上所述，數(shù)學(xué)解題思想的理解與掌握對(duì)學(xué)生而言至關(guān)重要，教師需要提高對(duì)其的重視程度。在日常教學(xué)活動(dòng)中，帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)分類討論的應(yīng)用方法與技巧，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在學(xué)生用此思想解答問(wèn)題時(shí)，教師需要給予適當(dāng)指導(dǎo)，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架，無(wú)形中強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。