改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化的五連桿機(jī)器人分?jǐn)?shù)階PID控制器

許艷英,包宋建

(1.重慶創(chuàng)科職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院,重慶 402160; 2.重慶文理學(xué)院 電子電氣學(xué)院,重慶 402160)

隨著自動(dòng)化產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展,誕生了許多工業(yè)機(jī)器人[1].機(jī)器人因具有工作效率高、穩(wěn)定性好、安全性高等許多優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于汽車(chē)、航空、海洋及醫(yī)療等許多領(lǐng)域.機(jī)器人由于質(zhì)量輕、體積小、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn),其動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)也較為復(fù)雜[2].傳統(tǒng)的PID控制方法如果不進(jìn)行改進(jìn),就會(huì)使機(jī)器人關(guān)節(jié)產(chǎn)生較大振動(dòng),從而影響機(jī)器人執(zhí)行任務(wù)的效果.因此,研究機(jī)器人機(jī)構(gòu)的合理化控制方法,對(duì)于提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性發(fā)展具有重要的意義.

為了能夠設(shè)計(jì)出更好的機(jī)器人,國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用不同控制方式對(duì)機(jī)器人進(jìn)行深入研究.例如:文獻(xiàn)[3-4]研究了機(jī)器人的改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化PID控制器,建立機(jī)器人關(guān)節(jié)平面關(guān)系式,提高了系統(tǒng)輸出的穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[5-6]研究了連桿機(jī)械臂粒子群算法優(yōu)化PID控制器,有效地抑制了柔性機(jī)械臂的彈性振動(dòng);文獻(xiàn)[7-8]研究了連桿機(jī)械臂模糊PID控制器,建立了機(jī)械臂仿真模型,提高了機(jī)器人控制響應(yīng)速度和系統(tǒng)輸出的穩(wěn)定性.但是,以前研究的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制器,其系統(tǒng)輸出不穩(wěn)定,導(dǎo)致輸出誤差較大.對(duì)此,本文建立五連桿機(jī)器人三維坐標(biāo)系,推導(dǎo)出機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程式,引用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化PID控制器參數(shù),借助數(shù)學(xué)軟件Simulink對(duì)機(jī)器人電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)效果進(jìn)行仿真,并與傳統(tǒng)PID控制器控制效果進(jìn)行比較和分析,為提高機(jī)器人控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究提供參考依據(jù).

1 五連桿機(jī)器人

圖1 五連桿機(jī)器人Fig.1 Five-link robot

機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

圖2 五連桿三維模型簡(jiǎn)圖Fig.2 Five-link 3D model sketch

根據(jù)Badamchizadeh方程,可得

(2)

因此,M12=M21=0,即慣性矩陣是對(duì)角且恒定的.

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

2.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是一種基于群體的隨機(jī)優(yōu)化算法和鳥(niǎo)群社會(huì)行為的模擬.PSO是一個(gè)基于群體的搜索過(guò)程,其中個(gè)體用一群隨機(jī)解決方案初始化,稱(chēng)為粒子.群體中的每個(gè)粒子都代表了優(yōu)化問(wèn)題潛在解決方案,如果解決方案由一組變量組成,則相應(yīng)的粒子就是一個(gè)變量向量.在PSO系統(tǒng)中,每個(gè)粒子都在多維搜索空間中流動(dòng),根據(jù)自己和相鄰粒子的經(jīng)驗(yàn)，調(diào)整其在搜索空間中的位置.因此,粒子利用自己和鄰居所遇到的最佳位置,將自己置于最佳解決方案之中.每個(gè)粒子的性能采用優(yōu)化問(wèn)題特征的預(yù)定義適應(yīng)函數(shù)進(jìn)行評(píng)估.

PSO的核心操作是粒子的更新公式,即速度和位置更新公式,PSO[9-10]全局優(yōu)化模型為

式中:ω為慣性權(quán)重因子;vi(t)為粒子i在迭代t次的速度;xi(t)為迭代t次的粒子位置;C1和C2為粒子加速度系數(shù);R和r為在[0,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)函數(shù);Pbest(t)為迭代t次時(shí)第i個(gè)粒子的最佳位置;Gbest(t)為迭代t次時(shí)群體中所有粒子的最好位置.

2.2 改進(jìn)PSO

一般來(lái)說(shuō),陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢是原始PSO的兩個(gè)主要弱點(diǎn).在本文中,采用改進(jìn)方法來(lái)克服原始PSO的上述弱點(diǎn).

在提供精確解決方案之前,原始PSO的收斂速度慢與速度更新公式中缺少任何自適應(yīng)時(shí)變加速器密切相關(guān).在式(4)中,系數(shù)C1和C2的確定是通過(guò)Pbest和Gbest的粒子運(yùn)動(dòng)的步長(zhǎng).因此,在原始粒子群算法中,算法步長(zhǎng)大小對(duì)群體中的所有粒子都大致恒定.在優(yōu)化復(fù)雜多模態(tài)函數(shù)時(shí),這些常量不能滿(mǎn)足算法收斂要求.有必要建立一種更精確的加速算法運(yùn)動(dòng)機(jī)制.一種機(jī)制是使用時(shí)間變化的步長(zhǎng),引入了更敏感和更快的運(yùn)動(dòng).為此,可以采用迭代中成本函數(shù)的值,在每次迭代中,成本函數(shù)的值是對(duì)原始粒子速度的改進(jìn).當(dāng)找到新的個(gè)體最佳位置時(shí),它意味著在搜索空間中的一個(gè)更好的路徑(解決方案)是由一個(gè)粒子來(lái)探索的.在新找到的方向上的加速運(yùn)動(dòng)，可以很快地使粒子處于良好的路徑中,引入新的全局最佳位置意味著群體在整個(gè)搜索空間中發(fā)現(xiàn)更好的路徑(解決方案).在不同迭代中，成本函數(shù)值之間的差異可以選擇為PSO的加速器.本文提出了在式(4)中引入兩種時(shí)變倍增器的方法.在這種情況下,時(shí)變加速器可以提供更靈敏和自適應(yīng)的運(yùn)動(dòng).本文將原始速度更新公式修改如下:

(6)

式中:f[Pbest(t)]為第i個(gè)粒子在迭代t次找到的最佳適應(yīng)度函數(shù);f[Gbest(t)]為群體迭代t次的最佳目標(biāo)函數(shù).

3 改進(jìn)分?jǐn)?shù)階PID控制

3.1 分?jǐn)?shù)階PID控制

分?jǐn)?shù)階PID控制器用于改善動(dòng)態(tài)響應(yīng)并減少穩(wěn)態(tài)誤差,分?jǐn)?shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)[11]描述如下:

(7)

式中:KP,KI和KD分別為比例、積分和微分系數(shù);λ和μ為分?jǐn)?shù)冪.

為了設(shè)計(jì)最佳的PID控制器,應(yīng)該根據(jù)一些期望的規(guī)格來(lái)定義代表系統(tǒng)要求的、合適的目標(biāo)函數(shù).在控制設(shè)計(jì)中主要考慮3種性能指標(biāo),分別為綜合絕對(duì)誤差(IAE)、平方誤差積分(ISE)和時(shí)間加權(quán)平方誤差積分(ITSE).采用不同的性能指標(biāo)為最佳的PID控制器提供了不同的解決方案.IAE,ISE和ITSE性能標(biāo)準(zhǔn)公式定義如下:

在本文中,另一個(gè)時(shí)域性能準(zhǔn)則定義為

(11)

式中:K為參數(shù)向量,K=[KP,KI,KD,λ,μ];e為誤差；Mp為超調(diào)量;Ess為穩(wěn)態(tài)誤差;Tr為上升時(shí)間;Ts為調(diào)整時(shí)間;α為加權(quán)因子，α的最佳選擇取決于設(shè)計(jì)者的要求和受控設(shè)備的特性，可以將α設(shè)置為小于0,以減小穩(wěn)態(tài)誤差.

3.2 改進(jìn)分?jǐn)?shù)階PID控制

為了設(shè)計(jì)最佳的PID控制器,關(guān)于最小化性能指標(biāo)的矢量K=[KP,KI,KD,λ,μ]的確定是主要問(wèn)題.采用改進(jìn)PSO的PID控制器，執(zhí)行五桿機(jī)構(gòu)電動(dòng)機(jī)響應(yīng)速度的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差.首先,指定控制器參數(shù)的下限和上限.然后,一組初始粒子在指定范圍內(nèi)隨機(jī)初始化.每個(gè)粒子表示解決方案(即控制器參數(shù)K),并且使用系統(tǒng)的階躍響應(yīng)評(píng)估每個(gè)粒子的相應(yīng)性能指標(biāo).之后,所提出的改進(jìn)PSO的主要過(guò)程開(kāi)始如下:① 式(6)被確定;② 每個(gè)粒子的新位置使用式(5);③ 創(chuàng)建替代粒子;④ 重復(fù)上述過(guò)程直到滿(mǎn)足停止標(biāo)準(zhǔn).在這個(gè)階段,相應(yīng)于Gbest(t)的粒子被指定為最優(yōu)向量K.基于改進(jìn)PSO的PID控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程如圖3所示.設(shè)置初始種群大小為100,最大迭代次數(shù)為500,α=0,KP∈[0,30],KI∈[0,5],KD∈[0,5],λ∈[0,1],μ∈[0,1],γ=10,C1=C2=2,優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

圖3 改進(jìn)PSO尋優(yōu)過(guò)程Fig.3 The optimization process of particle swarm

參數(shù)變量PSO改進(jìn)PSOKP26.75 28.19KI3.923.14KD4.254.05λ0.780.92μ0.740.12

4 仿真與分析

本文采用改進(jìn)PSO分?jǐn)?shù)階PID控制器,將優(yōu)化結(jié)果輸入到Simulink軟件中進(jìn)行仿真驗(yàn)證,機(jī)器人連桿仿真參數(shù)如表2所示.

表2 五連桿機(jī)器人仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters of five-link robot

首先,隨機(jī)初始化改進(jìn)粒子群算法,將每個(gè)解K=[KP,KI,KD,λ,μ]發(fā)送到Simulink塊,并且計(jì)算時(shí)域中的4個(gè)性能標(biāo)準(zhǔn)的值,即Mp,Ess,Tr和Ts.其次,根據(jù)所獲得的性能標(biāo)準(zhǔn)針對(duì)每個(gè)解決方案評(píng)估目標(biāo)函數(shù)式(11).最后,提出改進(jìn)PSO的主要過(guò)程,并計(jì)算新的解.在任何迭代結(jié)束時(shí),程序檢查停止標(biāo)準(zhǔn).當(dāng)滿(mǎn)足一個(gè)終止條件時(shí),程序停止,最新的全局最優(yōu)解返回為K的最佳解.所提出的程序Simulink如圖4所示,仿真結(jié)果如圖5所示.

圖4 五連桿機(jī)器人仿真模型Fig.4 Five-link robot simulation model

圖5 五桿機(jī)器人電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)階躍響應(yīng)Fig.5 Rotary step response of five-link robot motor

由圖5可得:采用常規(guī)PID控制器,五連桿機(jī)器人電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)階躍響應(yīng)速度較慢,大約需要0.5 s才能維持系統(tǒng)穩(wěn)定輸出,上下振蕩現(xiàn)象較為嚴(yán)重,導(dǎo)致系統(tǒng)輸出誤差較大;采用改進(jìn)PSO分?jǐn)?shù)階PID控制器,五連桿機(jī)器人電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)階躍響應(yīng)速度較快,大約需要0.2 s就能維持系統(tǒng)穩(wěn)定輸出,上下振蕩現(xiàn)象相對(duì)較輕,系統(tǒng)輸出誤差較小;此優(yōu)點(diǎn)有利于快速提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和輸出誤差.因此,改進(jìn)PID控制器,適合五桿機(jī)器人執(zhí)行高速度、高精度的定位任務(wù).

5 結(jié)語(yǔ)

本文建立了五連桿機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖模型,推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程式.采用了改進(jìn)PSO,該算法克服了傳統(tǒng)PSO存在的兩個(gè)主要不足,即收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)解.將改進(jìn)PSO用于調(diào)整分?jǐn)?shù)階PID控制器的參數(shù),針對(duì)五連桿機(jī)器人操縱器,提出了優(yōu)化方法來(lái)設(shè)計(jì)最優(yōu)PID控制器.仿真結(jié)果表明：改進(jìn)PSO可以有效地調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù),能夠快速提高五連桿機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,降低系統(tǒng)輸出誤差.