淺析導(dǎo)數(shù)含參題型的一些常見題型及其解法

林洪錦

摘 要：導(dǎo)數(shù)題型在高考中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，考查題型靈活多樣，解題方法也比較多.求參數(shù)的值或取值范圍是考試中出現(xiàn)頻率相當(dāng)高的一種題型，由于含參函數(shù)問題本身具有復(fù)雜性，涉及到不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等多個知識點(diǎn)，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時感到很棘手，是學(xué)生失分較多且不易掌握的知識點(diǎn).本文通過解析幾個例題對此類問題加以分類解析，希望能對學(xué)生掌握這個部分知識有所幫助.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 參數(shù) 構(gòu)造函數(shù) 取值范圍 最大值 最小值

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）10-0-02

導(dǎo)數(shù)題型在高考中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，考查題型靈活多樣，解題方法也比較多.求參數(shù)的值或取值范圍是考試中出現(xiàn)頻率相當(dāng)高的一種題型，由于含參函數(shù)問題本身具有復(fù)雜性，涉及到不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等多個知識點(diǎn)，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時感到很棘手，是學(xué)生失分較多且不易掌握的知識點(diǎn).本文通過解析幾個例題對此類問題加以分類解析，希望能對學(xué)生掌握這個部分知識有所幫助.

一、參變分離題型

參變分離就是把要求解的參數(shù)放在一邊，把函數(shù)放在另一邊，然后通過求解函數(shù)來確定參數(shù)的值或取值范圍的題型.

例1.已知函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

分析：問題可以轉(zhuǎn)化為方程有解，即有解.

令，則

易求得當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)

所以當(dāng)時函數(shù)取得極大值，也是最大值，即，從而

例2.已知命題：是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

分析：不等式可轉(zhuǎn)化為.

令，那么問題就可以理解為即可.

又，因?yàn)?，所以恒成立，所以函?shù)在上為增函數(shù)，所以，從而

二、參變結(jié)合題型

參變結(jié)合就是仍然把參數(shù)和變量結(jié)合在一起，把參數(shù)看成是函數(shù)的系數(shù)，然后通過求解含參函數(shù)來求解出參數(shù)的值或取值范圍.

例3.設(shè)函數(shù)，若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解析：不等式可化為，即在上恒成立.

令，

令，即，解得

？當(dāng)，即時，則有在上恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，即

？當(dāng)，即時，則有時，；時，.所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以，而（不合，舍去）

？當(dāng)，即時，則有在上恒成立，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即，即，而（不合，舍去）

綜上所述，

三、與量詞結(jié)合題型

在數(shù)學(xué)題型中，有時候一個字的不同，數(shù)學(xué)上的解題方向就完全不一樣，這在對于含有量詞“”，“”的題型上很好的體現(xiàn)出來.對于含有“”，“”這樣的關(guān)鍵詞語的題型，關(guān)鍵分析是要找最大值間的關(guān)系，還是找最小值間的關(guān)系.

例4.⑴已知命題“，使”為真命題，求的取值范圍.

⑵已知命題“，使”為真命題，求的取值范圍.

解析：⑴題的量詞為“”，也就是說，對內(nèi)任意的，都得滿足條件，即對恒成立

令，，則

原不等式可轉(zhuǎn)化為求的最大值

又，所以，所以

⑵題的量詞為“”，也就是說，只要在內(nèi)能找到一個，

滿足條件就可以了，而沒必要對內(nèi)所有的，都得滿足條件，即只要有一個滿足即可

令，，則

原不等式可轉(zhuǎn)化為求的最小值

又，所以，所以

四、轉(zhuǎn)移參數(shù)法

有些題型在題目中給出變量的范圍時不是給x的范圍，而是給出參數(shù)的范圍，那么我們反而要把參數(shù)看作變量把x當(dāng)作參數(shù).可以簡單這么理解，題目給出的是那個量的范圍，就把這個量當(dāng)作變量，把要求解的量當(dāng)作參數(shù).

例5.設(shè)函數(shù)，若不等式對任意都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

分析：題目給出的是a的范圍，求的是x的范圍，那么題目就要轉(zhuǎn)化為以a為變量，以x為參數(shù)，求參數(shù)x的取值范圍.

解：由題得，所以不等式可化為，即

令，

因?yàn)椋院瘮?shù)在上為增函數(shù)

所以，

所以，解得

例6.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)

⑴求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A

⑵設(shè)關(guān)于x的方程的兩個非零實(shí)根為.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由.

分析：題目第⑵題給出的是a及t的范圍，求的是m的范圍，那么題目就要轉(zhuǎn)化為以a及t為變量，以m為參數(shù)，求參數(shù)m的取值范圍.

解析：⑴，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即在上恒成立

令，則有，

即，解得，所以

⑵方程可化為，即

又，所以為方程的兩個非零實(shí)根，

所以，所以

又，所以

所以不等式對任意及恒成立可轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，即在上恒成立

令，

？若，則函數(shù)在上為增函數(shù)，又

所以解得

？若，則函數(shù)（不合，舍去）

？若，則函數(shù)在上為減函數(shù)，又

所以解得

綜上所述

導(dǎo)數(shù)含參問題形式多樣，解法靈活多變，解題技巧性較強(qiáng).在解題的過程中，要根據(jù)題目的具體條件，認(rèn)真觀察題目中的式子結(jié)果特征，從不同的角度和方向加以分析探討，從而選擇適當(dāng)?shù)姆椒焖俣鴾?zhǔn)確地解出問題.當(dāng)然，除了以上的方法外，還有許多其它的方法，特別要注意的是，各種方法之間并不是彼此孤立的，而是幾種方法的融合.因此，系統(tǒng)地掌握含參問題的解題方法，無疑會對學(xué)生今后學(xué)習(xí)及培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題等方面有很大的幫助.

參考文獻(xiàn)

[1]李金花.導(dǎo)數(shù)解含參問題高考常見題型研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2014（2）：5

[2]何琴.利用導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識解決函數(shù)含參問題的常見題型[J].吉林畫報（教育百家B）.2014（5）：199，253

[3]徐英.導(dǎo)數(shù)中含參問題解法淺探[J].考試周刊2015（60）：48-49