磁性目標(biāo)跟蹤的多模型自適應(yīng)濾波方法

張宏欣

（中國(guó)人民解放軍91439部隊(duì)43分隊(duì)，遼寧 大連116041）

0 引言

水中艦艇目標(biāo)在空間中能夠產(chǎn)生疊加于當(dāng)?shù)鼐植康卮艌?chǎng)之上的穩(wěn)定感應(yīng)磁場(chǎng)，利用水下測(cè)量平臺(tái)測(cè)得的目標(biāo)相關(guān)磁信號(hào)，基于磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，采用相應(yīng)的求解方法，獲得目標(biāo)相對(duì)于水下平臺(tái)的位置，速度及磁特征參數(shù)，這對(duì)于水中兵器目標(biāo)定位、掩埋爆炸物探測(cè)定位以及醫(yī)療探查等[1–3]應(yīng)用具有重要意義。

磁偶極子跟蹤問(wèn)題主要有解析反演[4]、離線尋優(yōu)[5]以及濾波估值[6-7]三類求解方法。濾波方法由于能夠從帶噪觀測(cè)數(shù)據(jù)中實(shí)時(shí)估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)，因此得到了較為廣泛的研究。采用濾波方法進(jìn)行磁偶極子跟蹤的主要困難在于高維、強(qiáng)非線性條件下的濾波初始條件不易確定，而初始條件恰是決定磁偶極子跟蹤性能的關(guān)鍵因素[8]。粒子濾波[9]雖然能夠克服非線性問(wèn)題，但其所需的粒子數(shù)量仍然隨著問(wèn)題維數(shù)規(guī)模的擴(kuò)大呈幾何級(jí)增長(zhǎng)[10]，故基本的粒子濾波方法無(wú)法用于磁性目標(biāo)實(shí)時(shí)定位問(wèn)題，目前已有文獻(xiàn)采用了卡爾曼濾波方法來(lái)建議分布抽樣，再進(jìn)行重采樣的解決方案，但在實(shí)時(shí)應(yīng)用時(shí)計(jì)算量仍過(guò)大，且在權(quán)值計(jì)算中需要很高的數(shù)位精度，這對(duì)于實(shí)際實(shí)現(xiàn)也是不利的。

對(duì)于磁性目標(biāo)跟蹤而言，無(wú)論是批量求解方式或序貫遞推方式，其結(jié)果好壞極大程度地依賴于初始條件，包括目標(biāo)位置初始和源強(qiáng)度（磁矩）的選取，由于兩者必須同時(shí)確定，故求解初值相當(dāng)于求解跟蹤問(wèn)題本身。為此，本文提出一種基于靜態(tài)多模型濾波思想的自適應(yīng)跟蹤方法。首先通過(guò)對(duì)觀測(cè)模型進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)了一種磁性目標(biāo)初始參數(shù)估算方法，通過(guò)該方法得到不同假設(shè)條件下的磁性目標(biāo)狀態(tài)初值及其誤差矩陣。在此基礎(chǔ)上，以EKF作為基本單元，對(duì)每個(gè)初值起始一個(gè)濾波器進(jìn)行求解，根據(jù)各個(gè)濾波器的求解結(jié)果，利用最大似然準(zhǔn)則進(jìn)行選取，選取的濾波器對(duì)應(yīng)的估計(jì)結(jié)果即可作為當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值。通過(guò)設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)本文方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 問(wèn)題模型與求解

由于水中目標(biāo)運(yùn)動(dòng)是低動(dòng)態(tài)的，其航跡可用線性動(dòng)態(tài)模型描述，則問(wèn)題模型為

式中：A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；h（·）為觀測(cè)方程；L為過(guò)程噪聲權(quán)重系數(shù)矩陣；wk－1，ek分別為噪聲協(xié)方差矩陣Qk－1和Rk狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲，且Qk－1＝。

式中：O，I分別為相應(yīng)維度的0矩陣和單位矩陣；TS為采樣時(shí)間。

狀態(tài)向量xk由以下?tīng)顟B(tài)分量構(gòu)成

式中：rk，vk，M0分別為目標(biāo)位置、速度和磁矩矢量；V為目標(biāo)體積系數(shù)。

根據(jù)磁偶極子模型等效，觀測(cè)方程表達(dá)式為

式中：mk＝RZ（vk）M0＋V／μ0·B0為考慮軟鐵磁化和硬鐵磁化的總磁矩；μ0為水中的磁導(dǎo)率；M0為目標(biāo)硬鐵磁矩矢量；B0為背景磁場(chǎng)矢量。RZ為以速度為參數(shù)的繞z軸方向的旋轉(zhuǎn)矩陣，此時(shí)式（2）中的ek即為環(huán)境磁場(chǎng)噪聲矢量。聯(lián)合式（1）-（5）即可構(gòu)成磁性目標(biāo)跟蹤問(wèn)題的狀態(tài)空間模型，從而可利用非線性濾波方法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行求解。

考慮靜態(tài)多模型方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，其主要思想是假設(shè)整個(gè)濾波估值過(guò)程中真實(shí)系統(tǒng)模型不發(fā)生變化，且服從個(gè)候選模型中的一個(gè)

根據(jù)貝葉斯定理，在給定當(dāng)前觀測(cè)值序列y1∶k條件下，候選模型為真實(shí)模型的后驗(yàn)概率

多模型估計(jì)的后驗(yàn)分布p（xk丨y1∶k）為混合高斯分布，即

假設(shè)真實(shí)初始狀態(tài)在狀態(tài)空間中呈均勻分布，則每個(gè)假設(shè)初始狀態(tài)可視為一個(gè)模型，即

式中：Mm（1）可利用式（14）計(jì)算已知深度條件下產(chǎn)生給定信噪比信號(hào)的磁矩模來(lái)給出；Mm（K）則可以取大型艦船目標(biāo)通常的經(jīng)驗(yàn)磁矩強(qiáng)度的2～5倍。

在確定Mm（i）之后，將Mm（i）代入式（15）即可估算出在每個(gè)假設(shè)目標(biāo)源強(qiáng)度條件下的水面目標(biāo)初始距離，至此便獲得了K個(gè)可能的目標(biāo)初始距離，再利用前述的過(guò)程（即每個(gè)距離上起始多個(gè)濾波器）進(jìn)行多初值模型估計(jì)。

圖1 目標(biāo)初始位置的多初值模型設(shè)計(jì)Fig.1 Multiple initialization model design for initial target position

圖2 估算距離誤差的（擬合）概率分布Fig.2 （Fitting） Probability distribution of estimated distance errors

圖1中給出了假設(shè)距離數(shù)K＝3，每個(gè)距離上等方位間隔地起始4個(gè)PEKF濾波器條件下的多初值模型設(shè)計(jì)，其中 EKFi，j，i＝1，2，…，K，j＝1，2，…，NF，NF為每個(gè)初始距離上起始的濾波器數(shù)量。則各個(gè)初值模型參數(shù)，即PEKFi，j的初始狀態(tài)（i，j）0為

相應(yīng)地，初始誤差矩陣P（i，j）0為

式中：ψi為假設(shè)的目標(biāo)方位角；狀態(tài)誤差矩陣由位置誤差矩陣、速度誤差矩陣以及磁矩矢量誤差矩陣組成；位置與磁矩矢量的誤差矩陣由估算值近似地給出，以使得誤差范圍能夠包括真實(shí)狀態(tài)。注意由于不同目標(biāo)的磁化情況差異，各磁矩分量的正負(fù)號(hào)不定，因此其初值均為0。此外，式（22）和式（23）中的ξz，ξvz分別為 Z 軸方向目標(biāo)位置誤差，可由已知深度、測(cè)深誤差及目標(biāo)吃水情況來(lái)確定；ξvx，ξvy，ξvz分別為X，Y，Z軸方向速度分量誤差，v與v（z）0分別為XOY平面速度模值和Z軸方向速度分量，這些量可通過(guò)目標(biāo)艦速的經(jīng)驗(yàn)范圍來(lái)確定。

對(duì)于多初值模型而言，加權(quán)融合方式會(huì)產(chǎn)生多濾波器的“競(jìng)爭(zhēng)”效應(yīng)，隨著初值模型的增加反而會(huì)降低整體濾波性能，因此，本文下面采用最大似然選擇算法來(lái)選取最佳估計(jì)值。

首先根據(jù)式（7）給出的遞推公式可得

根據(jù)上式可知，由于各模型先驗(yàn)概率是相等的，則可將式（26）重寫為

由于k時(shí)刻的歸一化操作不會(huì)改變分子項(xiàng)的相對(duì)大小，因此最大似然選擇算法可直接利用似然函數(shù)進(jìn)行判別，故對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)

為避免量級(jí)上的過(guò)度增長(zhǎng)，利用各模型中的最大似然值進(jìn)行歸一化

綜上，可給出磁性目標(biāo)的MIM-EKF跟蹤算法步驟如下：

1）確定假設(shè)目標(biāo)距離數(shù)K及每個(gè)距離上起始的濾波器數(shù)量NF，確定濾波器的初始條件。

2）從k＝1時(shí)刻開(kāi)始，對(duì)每個(gè)初值模型進(jìn)行EKF濾波，得到各濾波器輸出，其中殘差及其協(xié)方差矩陣在觀測(cè)更新之前給出。

3）利用式（29）更新權(quán)值得到當(dāng)前時(shí)刻各初值模型的似然值。

4）輸出k時(shí)刻最大似然選擇的濾波器結(jié)果，且

5）利用式（30）對(duì)似然值進(jìn)行歸一化。

6）回到步驟2或終止濾波。

2 仿真結(jié)果及分析

本小節(jié)利用磁偶極子三維運(yùn)動(dòng)模型來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證前述提出的MIM-PEKF算法，考察算法在先驗(yàn)信息缺失條件下的有效性。

考慮如表1所示參數(shù)的水面目標(biāo)跟蹤仿真跟蹤場(chǎng)景，其中Oi，i＝1，2為2個(gè)三軸磁傳感器所在觀測(cè)點(diǎn)的位置，H0＝50為觀測(cè)點(diǎn)深度，r0，v0分別為目標(biāo)位置和速度的真實(shí)初始值，M0為磁矩矢量，σq＝0.1，σr＝8分別為過(guò)程噪聲與觀測(cè)噪聲強(qiáng)度。TN為仿真觀測(cè)點(diǎn)數(shù)，Ts為采樣時(shí)間間隔。

對(duì)于MIM-PEKF濾波器配置，假設(shè)目標(biāo)源強(qiáng)度分布在K＝3個(gè)數(shù)量級(jí)上，即Mm（1）＝104，Mm（2）＝105和Mm（3）＝106，采用本文給出的初始參數(shù)近似確定方法，拾取SNR＞12.5 dB時(shí)的兩傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)參與初值近似計(jì)算，得到3個(gè)可能的目標(biāo)平面初始距離。在各個(gè)距離上起始NF等于4個(gè)PEKF濾波器，各個(gè)濾波器的假設(shè)方位分別為 π／4，3π／4，5π／4，7π／4，根據(jù)式（17）-（24）確定出各個(gè)濾波器的初始條件?？偟臑V波器數(shù)量為K·NF＝12。

表1 仿真場(chǎng)景參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameters setting for simulation scenario

圖3 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參考軌跡Fig.3 Reference trajectory of target motion

圖4 前4個(gè)最大似然值初值模型跟蹤結(jié)果Fig.4 Tracking results of first 4 initialization models of maximum likelihood value

圖3給出了在表1參數(shù)條件下的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參考軌跡；圖4給出了對(duì)于該軌跡，對(duì)數(shù)似然值最大的前4個(gè)初值模型的跟蹤結(jié)果，可見(jiàn)這4個(gè)初值模型都處于與真實(shí)情況相近的方位范圍，這說(shuō)明相比距離而言，磁性目標(biāo)跟蹤誤差對(duì)方位先驗(yàn)信息更加敏感。

給定以上仿真場(chǎng)景參數(shù)和初始條件設(shè)置，采用本文算法進(jìn)行100次Monte-Carlo運(yùn)算，根據(jù)估計(jì)結(jié)果中的每個(gè)初值模型條件下的濾波結(jié)果，統(tǒng)計(jì)其總均方誤差（totalrootmean square error，TRMSE），定義為

式中‖·‖2為矢量模運(yùn)算。

圖5 各個(gè)初值模型濾波的總均方誤差與對(duì)數(shù)似然值的一致性對(duì)比Fig.5 Comparisonof consistency between TRMSE and log-likelihood value for each initialization model filtering

圖5給出了各個(gè)濾波器經(jīng)100次Monte-Carlo計(jì)算后統(tǒng)計(jì)的平均對(duì)數(shù)似然值.對(duì)比兩圖可知，顯然對(duì)數(shù)似然值最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的濾波器與TRMSE值最小時(shí)對(duì)應(yīng)的濾波器是一致的（i＝11）.這說(shuō)明本文的最大似然選擇方法確能夠選擇出最小RMSE誤差對(duì)應(yīng)的濾波器.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)非協(xié)作磁性目標(biāo)跟蹤中目標(biāo)先驗(yàn)信息缺失導(dǎo)致的初值難以確定的問(wèn)題，提出一種基于靜態(tài)多模型的自適應(yīng)濾波方法。基于靜態(tài)多模型框架重點(diǎn)研究了多初值模型的參數(shù)確定問(wèn)題，并給出了一種參數(shù)估算方法，通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性，表明該方法可在目標(biāo)源及位置等先驗(yàn)信息完全未知條件下準(zhǔn)確估計(jì)出真實(shí)目標(biāo)狀態(tài)，對(duì)磁性目標(biāo)實(shí)際應(yīng)用具有參考價(jià)值。需要說(shuō)明的是，本文方法相比單模型處理而言增加了復(fù)雜度，下一步將對(duì)解決起始大量模型濾波時(shí)存在的空時(shí)復(fù)雜度及并行濾波處理問(wèn)題做進(jìn)一步分析和研究。