多屬性逆向同步增價(jià)拍賣模型及最優(yōu)投標(biāo)策略

冉茂盛,黃 俊,蔣衛(wèi)艷

(1.重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院,重慶400030;2.香港理工大學(xué)建筑及房地產(chǎn)學(xué)系,中國(guó)香港999077)

1 引 言

逆向拍賣又被稱為采購(gòu)拍賣,是一種存在唯一賣方(采購(gòu)商)和多個(gè)競(jìng)爭(zhēng)性買方(供應(yīng)商)的拍賣形式.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和電子商務(wù)的發(fā)展,逆向拍賣機(jī)制已經(jīng)被越來(lái)越廣泛的用于企業(yè)的電子采購(gòu)[1].由于采購(gòu)商在進(jìn)行電子采購(gòu)時(shí),除了關(guān)心物品的提供價(jià)格外,往往還會(huì)考慮物品的質(zhì)量、交貨期和售后服務(wù)等其他非價(jià)格屬性,例如在飛機(jī)采購(gòu)合同中,產(chǎn)品的質(zhì)量、交貨期等與價(jià)格處于同等重要的位置.多屬性逆向拍賣日漸成為電子采購(gòu)的主流形式,并成為拍賣理論研究的熱點(diǎn)之一.

早期的文獻(xiàn)主要研究單物品的多屬性拍賣.Che[2]基于投標(biāo)人成本獨(dú)立的前提,提出了二維多屬性拍賣模型,而Branco[3]則研究了基于投標(biāo)人成本相互關(guān)聯(lián)前提的二維多屬性拍賣模型.在Che的研究基礎(chǔ)上,David[4,5]進(jìn)一步將模型擴(kuò)展到任意多維屬性的情形,構(gòu)建了一般意義上的多屬性拍賣模型.孫亞輝等[6]對(duì)David的模型進(jìn)行改進(jìn),使其更符合現(xiàn)實(shí)且具有更廣泛的適用性.曾憲科等[7]在模型中加入了質(zhì)量屬性最低值的約束,建立了基于非對(duì)稱投標(biāo)人的多屬性英式逆向拍賣模型,并得出了供應(yīng)商的均衡投標(biāo)策略.此外,王明喜等[8]通過(guò)對(duì)采購(gòu)商的評(píng)分函數(shù)進(jìn)行修改,建立了基于簡(jiǎn)單加權(quán)法的多屬性逆向拍賣模型,從而解決了價(jià)格屬性和質(zhì)量屬性量綱不統(tǒng)一和數(shù)值不可比的難題.

而現(xiàn)實(shí)中的采購(gòu)商往往一次性采購(gòu)多個(gè)物品,且物件間又具有一定的互補(bǔ)性,此時(shí)單物品的多屬性拍賣機(jī)制已不能滿足實(shí)踐的要求.于是,此后的研究將多屬性拍賣從單物品情形拓展到多物品情形.在組合效應(yīng)存在的前提下,關(guān)于多物品多屬性拍賣的文獻(xiàn)主要研究以下兩種拍賣機(jī)制:1)同步二級(jí)價(jià)格密封拍賣(simultaneous sealed-bid second-price auction,SSA)機(jī)制.在Krishna等[9]包含兩類供應(yīng)商的單屬性SSA拍賣模型的基礎(chǔ)上,黃河等[10]將多屬性拍賣引入SSA機(jī)制,建立了采用SSA機(jī)制的多物品多屬性逆向拍賣模型,并分析了物品組合效應(yīng)對(duì)供應(yīng)商投標(biāo)策略的影響.2)動(dòng)態(tài)拍賣機(jī)制.在另一篇論文中,黃河等[11]基于組合拍賣規(guī)則,設(shè)計(jì)了一種多屬性逆向拍賣的動(dòng)態(tài)機(jī)制,并分析了投標(biāo)者的均衡投標(biāo)策略.姚升保[12]則在Zhang等[13]研究的基礎(chǔ)上,將多輪逆向拍賣機(jī)制(iterative multi-attribute multi-unit reverse auction,IMMRA)引入到多屬性拍賣中,研究了采購(gòu)商信息披露政策對(duì)拍賣的影響.

上述關(guān)于多物品多屬性拍賣的文獻(xiàn),均未涉及同步增價(jià)拍賣(simultaneous ascending auction,SAA)機(jī)制下的多屬性拍賣.同步增價(jià)拍賣是單物品英式拍賣在多物品情形下的推廣,該機(jī)制中的多個(gè)物品同時(shí)進(jìn)行公開叫價(jià),直到所有物品的出價(jià)均不變時(shí)拍賣結(jié)束,物品的最高出價(jià)人獲得相應(yīng)物品[14].SAA機(jī)制作為一種重要的多物品拍賣機(jī)制,由于可操作性強(qiáng)及便于投標(biāo)者對(duì)標(biāo)的物的比較選擇,被各國(guó)政府大量應(yīng)用于特定市場(chǎng)的牌照拍賣中,例如美國(guó)聯(lián)邦通訊委員會(huì)(FCC)主要使用SAA機(jī)制來(lái)拍賣無(wú)線電頻譜拍照[15].SAA機(jī)制還被用于采購(gòu)拍賣中,現(xiàn)實(shí)中的采購(gòu)商除關(guān)心物品的價(jià)格外,往往還會(huì)考慮物品的其他非價(jià)格屬性,為了對(duì)該情形下的多物品拍賣進(jìn)行分析,有必要研究多屬性逆向SAA機(jī)制及其均衡策略.基于此,本文將同步增價(jià)拍賣機(jī)制引入到存在組合效應(yīng)的多屬性逆向拍賣中,建立了基于兩類非對(duì)稱供應(yīng)商的多屬性逆向同步增價(jià)拍賣模型.從供應(yīng)商期望收益最大化角度,給出了兩類非對(duì)稱供應(yīng)商的均衡投標(biāo)(包括價(jià)格投標(biāo)和非價(jià)格投標(biāo))策略,并驗(yàn)證了均衡最高得分關(guān)于組合效應(yīng)單調(diào)遞增.與黃河等[10,11]的密封多物品多屬性拍賣機(jī)制不同,本文將一種應(yīng)用最普遍的公開多物品拍賣機(jī)制—–SAA機(jī)制引入到多屬性拍賣中去,從而進(jìn)一步拓展了現(xiàn)有的多物品多屬性拍賣理論[10-12].從機(jī)制設(shè)計(jì)的角度,一方面將Zheng[16]和Goeree等[17]的SAA機(jī)制由單屬性拓展到了多屬性,另一方面將黃河等[10]的多屬性逆向拍賣由SSA機(jī)制拓展到了SAA機(jī)制.此外,由于SAA機(jī)制在現(xiàn)實(shí)中的廣泛應(yīng)用,研究作為其拓展的多屬性逆向SAA機(jī)制,有利于指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)的多物品多屬性電子采購(gòu)實(shí)踐.

為此本文構(gòu)建了多屬性逆向同步增價(jià)拍賣模型,在推導(dǎo)出兩類供應(yīng)商的均衡非價(jià)格屬性投標(biāo)的基礎(chǔ)上,得出了地方供應(yīng)商的均衡價(jià)格投標(biāo)策略,然后運(yùn)用逆向遞推法,進(jìn)一步的分析給出了全局供應(yīng)商的均衡價(jià)格投標(biāo)策略,并對(duì)組合效應(yīng)進(jìn)行了比較靜態(tài)分析.最后,通過(guò)在線拍賣的實(shí)例給出了兩類供應(yīng)商均衡投標(biāo)策略的計(jì)算步驟及結(jié)果.

2 多屬性逆向同步增價(jià)拍賣模型

多屬性逆向同步增價(jià)(分)拍賣是多屬性逆向英式拍賣由單物品向多物品的擴(kuò)展.在多屬性逆向同步增價(jià)拍賣中,采購(gòu)商向多個(gè)潛在供應(yīng)商采購(gòu)n個(gè)物品,n個(gè)提供物品的競(jìng)拍同時(shí)進(jìn)行.采購(gòu)商對(duì)物品的要求包含價(jià)格屬性和非價(jià)格屬性,物品的分配由采購(gòu)商制定的評(píng)分函數(shù)來(lái)決定.此時(shí),供應(yīng)商之間通過(guò)公開報(bào)分對(duì)提供物品的機(jī)會(huì)進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng),物品由獲得最高得分的供應(yīng)商提供,因此該拍賣又可以被稱為多屬性逆向同步增分拍賣.

本文考慮唯一的采購(gòu)商采購(gòu)兩個(gè)物品.拍賣中有兩類供應(yīng)商,第一類供應(yīng)商只對(duì)提供兩個(gè)物品中的某一個(gè)有興趣(有能力),稱為地方供應(yīng)商;第二類供應(yīng)商對(duì)提供全部?jī)蓚€(gè)物品均有興趣,且同時(shí)提供兩個(gè)物品產(chǎn)生的價(jià)值大于分別提供這兩個(gè)物品分別產(chǎn)生的價(jià)值之和,稱為全局供應(yīng)商.此時(shí),同時(shí)提供兩個(gè)物品給全局供應(yīng)商帶來(lái)的額外收益稱為物品的組合效應(yīng),用α表示.

2.1 模型的基本假設(shè)

為簡(jiǎn)化分析,除假設(shè)物品的拍賣最小加分幅度無(wú)窮小之外,還建立了如下假設(shè):

假設(shè)1采購(gòu)商購(gòu)買的物品具有1+m個(gè)屬性,價(jià)格屬性為p,其余m個(gè)相互獨(dú)立的非價(jià)格屬性用qj表示,j=1,2,...,m.模型中的非價(jià)格屬性為為效益型屬性,即屬性值越大表明產(chǎn)品質(zhì)量越高;而對(duì)于成本型屬性,可運(yùn)用取倒數(shù)或極差變換等方法轉(zhuǎn)化為效益型屬性.

假設(shè)2拍賣中的所有參與人都是風(fēng)險(xiǎn)中性的,且滿足個(gè)體理性條件.因此,供應(yīng)商選擇在自身效用大于零時(shí)參加拍賣,且采供雙方的效用均具有可加性.

假設(shè)3對(duì)任意非價(jià)格屬性qj,采購(gòu)商的效用遞增,而邊際效用遞減;供應(yīng)商的生產(chǎn)成本和邊際生產(chǎn)成本均是遞增的.

假設(shè)4供應(yīng)商對(duì)所感興趣物品的成本參數(shù)在區(qū)間上獨(dú)立同分布,其分布函數(shù)及相應(yīng)的密度函數(shù)分別為F(x)和f(x),是公共知識(shí),且.特別的,由于地域的限制,地方供應(yīng)商只能提供某一個(gè)物品;全局供應(yīng)商可同時(shí)提供兩物品,且對(duì)兩物品的成本參數(shù)相同,這與Krishna等[9]的假設(shè)相同.

假設(shè)5拍賣中有兩個(gè)地方供應(yīng)商和一個(gè)全局供應(yīng)商,全局供應(yīng)商同時(shí)提供兩個(gè)物品時(shí)獲得的額外收益即為組合效應(yīng),用α表示,為正常數(shù).這里從收益角度來(lái)理解組合效應(yīng),但若從成本角度看,組合效應(yīng)可被視為成本的減少,即供應(yīng)商提供兩個(gè)物品可以享受規(guī)模經(jīng)濟(jì).然而,無(wú)論是理解為收益的增加還是成本的減少,都不會(huì)對(duì)最終的分析產(chǎn)生影響.

假設(shè)6供應(yīng)商的類型為共同知識(shí),而組合效應(yīng)及成本參數(shù)為相應(yīng)供應(yīng)商的私人信息,其他供應(yīng)商只知道其分布函數(shù).不同于Krishna等[9]和Albano等[18]關(guān)于α為公共知識(shí)的假設(shè),這里更具一般性的假設(shè)α為全局供應(yīng)商的私人信息.

2.2 采購(gòu)商的效用函數(shù)與評(píng)分函數(shù)

在多屬性拍賣中,采購(gòu)商以價(jià)格p購(gòu)買非價(jià)格屬性值為q1,q2,...,qm的物品時(shí),其獲得的效用為

其中Wj為采購(gòu)商賦予非價(jià)格屬性qj的權(quán)重,表示其對(duì)qj的偏好程度,且Wj＞0;tj為采購(gòu)商賦予非價(jià)格屬性qj的冪次,則0＜tj＜1表示采購(gòu)商邊際效用關(guān)于qj遞減,與假設(shè)3一致.Wj和tj為采購(gòu)商的私人信息.

假設(shè)采購(gòu)商對(duì)不同物品的Wj和tj相同.用pi表示采購(gòu)商購(gòu)買物品i的價(jià)格,則采購(gòu)商購(gòu)買兩個(gè)物品時(shí)的效用為.

評(píng)分函數(shù)是由采購(gòu)商制定并在拍賣前向所有潛在供應(yīng)商公布的獲勝者確定及物品分配方案,由價(jià)格屬性p和非價(jià)格屬性q1,q2,...,qm構(gòu)造而成.采購(gòu)商公布的評(píng)分函數(shù)可能偏離其真實(shí)效用,其評(píng)分函數(shù)為

2.3 兩類供應(yīng)商的效用函數(shù)

若成本參數(shù)為θ的供應(yīng)商以價(jià)格p及非價(jià)格屬性值q1,q2,...,qm獲得提供物品的機(jī)會(huì),則其效用函數(shù)為

用pi表示全局供應(yīng)商對(duì)物品i的價(jià)格屬性投標(biāo),由于同時(shí)提供兩個(gè)物品可獲得額外收益α,故此時(shí)全局供應(yīng)商獲得的總效用為.

2.4 多屬性逆向同步增價(jià)拍賣機(jī)制描述

首先,由采購(gòu)商公布拍賣的規(guī)則,包括所拍賣物品包含的價(jià)格屬性和非價(jià)格屬性(質(zhì)量)、物品數(shù)量、評(píng)分函數(shù)和結(jié)束規(guī)則等.

然后,是供應(yīng)商競(jìng)分及獲勝者確定階段.以兩個(gè)地方供應(yīng)商和一個(gè)全局供應(yīng)商的情形為例進(jìn)行說(shuō)明.兩個(gè)物品的采購(gòu)?fù)瑫r(shí)進(jìn)行,兩地方供應(yīng)商分別參與相應(yīng)物品的采購(gòu)競(jìng)標(biāo),而全局供應(yīng)商同時(shí)參與兩個(gè)物品的采購(gòu)競(jìng)標(biāo).采用公開叫分的方式,兩類供應(yīng)商根據(jù)評(píng)分函數(shù)計(jì)算出的得分進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng),直至兩物品的采購(gòu)中都僅剩唯一供應(yīng)商時(shí)采購(gòu)結(jié)束.僅剩的供應(yīng)商獲得提供對(duì)應(yīng)物品的合同.

最后,每個(gè)物品的最終獲勝者為相應(yīng)拍賣中得分最高的供應(yīng)商,獲勝者按照其投標(biāo)的價(jià)格屬性值和非價(jià)格屬性值配置出售物品.

3 兩類供應(yīng)商非價(jià)格屬性均衡投標(biāo)策略

在多屬性逆向同步增價(jià)拍賣中,供應(yīng)商的投標(biāo)策略由價(jià)格屬性值p和非價(jià)格屬性值q1,q2,...,qm構(gòu)成,供應(yīng)商根據(jù)評(píng)分函數(shù)計(jì)算出的得分進(jìn)行投標(biāo).不同于密封拍賣的一次性報(bào)價(jià)(分),本文的模型為公開拍賣形式,供應(yīng)商通過(guò)互相競(jìng)分直至最高得分者勝出,此時(shí)供應(yīng)商的均衡策略就意味著其最優(yōu)退出水平.在給定采購(gòu)商的評(píng)分函數(shù)和供應(yīng)商效用函數(shù)的前提下,供應(yīng)商的目標(biāo)為選擇合適的價(jià)格屬性值p及非價(jià)格屬性值q1,q2,...,qm,計(jì)算得出可接受的最高得分以最大化其期望效用.

在非價(jià)格屬性的投標(biāo)方面,全局供應(yīng)商和地方供應(yīng)商是對(duì)稱,下面的定理給出了兩類投標(biāo)者的非價(jià)格屬性投標(biāo)策略.

定理1給定采購(gòu)商的評(píng)分函數(shù)和供應(yīng)商的效用函數(shù),在第一得分拍賣中,供應(yīng)商的最優(yōu)非價(jià)格屬性值q1?,q2?,...,qm?獨(dú)立于價(jià)格屬性p和其他供應(yīng)商的策略,為.進(jìn)一步的,由一階條件可以得到

證明運(yùn)用反證法.給定供應(yīng)商成本參數(shù)θ,假設(shè)存在至少一個(gè)非價(jià)格屬性值使投標(biāo)組合(p,q1,q2,...,qm)最大化供應(yīng)商期望效用π(p,q1,q2,...,qm,θ).再構(gòu)造一個(gè)投標(biāo)策略組合(p′,q?1,q?2,...,q?m),其中p′=p+V(q?1,q?2,...,q?m)-V(q1,q2,...,qm),故S(p,q1,q2,...,qm)=S(p′,q?1,q?2,...,q?m).此時(shí),如果證得構(gòu)造的策略組合(p′,q?1,q?2,...,q?m)帶給供應(yīng)商的效用大于策略組合(p,q1,q2,...,qm)的效用,那么就與假設(shè)矛盾,從而原命題成立,即最優(yōu)非價(jià)格屬性qj=q?j.

下面只需證策略組合(p′,q?1,q?2,...,q?m)帶給供應(yīng)商的效用大于策略組合(p,q1,q2,...,qm).用G(S)表示供應(yīng)商得分為S時(shí)獲勝的概率.此時(shí),供應(yīng)商的期望效用為

由q?j(θ)的定義,可知V(q?1,q?2,...,q?m)-C(q?1,q?2,...,q?m,θ)＞V(q1,q2,...,qm)-C(q1,q2,...,qm,θ).于是,有

因此,原命題成立.再由一階條件,可得式(4)成立. 證畢.

定理1的證明與Che[2]和曾憲科等[7]的方法類似.由定理可以看出,供應(yīng)商的非價(jià)格屬性投標(biāo)在每輪投標(biāo)中固定不變且不受組合效應(yīng)影響.而由于全局供應(yīng)商對(duì)兩個(gè)物品成本參數(shù)相同,所以其非價(jià)格屬性投標(biāo)策略也相同.為進(jìn)一步分析,給定由定理1所確定的非價(jià)格屬性均衡策略,均衡時(shí)采購(gòu)商估值函數(shù)可表示為V(θ)≡V(q?1,q?2,...,q?m),供應(yīng)商的成本函數(shù)和得分函數(shù)可分別表示為C(θ)≡C(q?1,q?2,...,q?m,θ)和S(θ)≡S(p,q?1,q?2,...,q?m).

4 兩類供應(yīng)商價(jià)格屬性均衡投標(biāo)策略

組合效應(yīng)對(duì)全局供應(yīng)商均衡投標(biāo)策略的影響主要體現(xiàn)在價(jià)格屬性投標(biāo)方面,全局供應(yīng)商和地方供應(yīng)商在價(jià)格屬性投標(biāo)方面不再對(duì)稱.在多屬性逆向拍賣中,由于供應(yīng)商的非價(jià)格屬性投標(biāo)均為固定不變的,供應(yīng)商之間的競(jìng)爭(zhēng)本質(zhì)上是價(jià)格屬性投標(biāo)的競(jìng)爭(zhēng),故這里的價(jià)格屬性均衡投標(biāo)策略是指供應(yīng)商的價(jià)格屬性投標(biāo)最低值.

4.1 地方供應(yīng)商價(jià)格屬性均衡投標(biāo)

地方供應(yīng)商的占優(yōu)策略為在其效用等于零時(shí)退出,這是由于:對(duì)于使得效用為正的價(jià)格屬性值,地方供應(yīng)商是有利可圖的,故其會(huì)繼續(xù)參加投標(biāo);對(duì)于使得效用為負(fù)的價(jià)格屬性值,理性的地方供應(yīng)商不會(huì)選擇參與拍賣,所以在效用等于零時(shí)退出,此時(shí)的均衡投標(biāo)策略滿足激勵(lì)相容和個(gè)體理性條件.由于非價(jià)格屬性投標(biāo)固定不變,由此可以確定出其價(jià)格屬性投標(biāo)策略.于是,可以得到如下定理.

定理2給定采購(gòu)商的評(píng)分函數(shù)和供應(yīng)商的效用函數(shù),在第一得分拍賣中,物品相應(yīng)地方供應(yīng)商的均衡價(jià)格屬性值(最低出價(jià)水平)為

進(jìn)一步地,地方供應(yīng)商均衡投標(biāo)的最高得分為

證明由于地方供應(yīng)商在最低出價(jià)水平時(shí)的效用為零,即

推論1在第一得分拍賣中,地方供應(yīng)商的均衡價(jià)格屬性值p?(θ)和均衡投標(biāo)的最高得分S?(θ)關(guān)于成本參數(shù)θ嚴(yán)格單調(diào)遞減.

證明在式(5)中,對(duì)θ求導(dǎo),可得

其中kj-sj＞0.所以,p?(θ)關(guān)于成本參數(shù)θ嚴(yán)格單調(diào)遞減.在式(6)中,對(duì)θ求導(dǎo),可得

即S?(θ)關(guān)于成本參數(shù)θ嚴(yán)格單調(diào)遞減. 證畢.

由定理2可以看出,該機(jī)制中地方供應(yīng)商價(jià)格屬性投標(biāo)策略與多屬性逆向英式拍賣模型中的相同,最小加分幅度為D時(shí),即為曾憲科等[7]得出的結(jié)論.此外,由地方供應(yīng)商最高得分S?(θ)=V(θ)-C(θ)及推論1,得V′(θ)-C′(θ)＜0.

4.2 全局供應(yīng)商價(jià)格屬性均衡投標(biāo)

組合效應(yīng)的存在使得全局供應(yīng)商的價(jià)格屬性投標(biāo)策略復(fù)雜化,下面對(duì)此進(jìn)行分析.由于供應(yīng)商的最高得分決定了拍賣的結(jié)果,而由推論1可知成本參數(shù)與非價(jià)格屬性均衡投標(biāo)及地方供應(yīng)商的最高得分一一對(duì)應(yīng),故可通過(guò)分析全局供應(yīng)商均衡投標(biāo)最高得分及對(duì)應(yīng)水平的局部供應(yīng)商成本參數(shù)來(lái)推出其價(jià)格屬性均衡投標(biāo).

用S?(1)(θ)和p?(1)(θ)分別表示僅剩一個(gè)地方供應(yīng)商(或物品)時(shí)私人成本為θ的全局供應(yīng)商的均衡投標(biāo)的最高得分和價(jià)格屬性值;用S?(2)(θ)和p?(2)(θ)分別表示剩余兩個(gè)地方供應(yīng)商(或物品)時(shí)全局供應(yīng)商的均衡投標(biāo)的最高得分和價(jià)格屬性值.用θ(1)表示以分?jǐn)?shù)水平S?(1)(θ)為均衡最高得分的地方供應(yīng)商成本參數(shù),有S?(1)(θ)=S?(θ(1));用θ(2)表示以分?jǐn)?shù)水平S?(2)(θ)為均衡最高得分的地方供應(yīng)商成本參數(shù),有S?(2)(θ)=S?(θ(2)).根據(jù)S?(θ)關(guān)于θ遞減,有θ(1)≡S?-1(S?(1)(θ))和θ(2)=S?-1(S?(2)(θ)).用θmin表示兩個(gè)地方供應(yīng)商中的較小私人成本,用θmax表示兩個(gè)地方供應(yīng)商中的較大私人成本.用Fn(θ|p)=[F(θ)/F(p)]n表示n個(gè)地方供應(yīng)商中的最大私人成本小于水平p前提下,該最大私人成本小于θ的條件概率,n=1,2.

從決策順序角度,全局供應(yīng)商的競(jìng)拍決策分為兩個(gè)階段:在第一階段,若S?(2)(θ)＜S?(θmax),則全局供應(yīng)商在分?jǐn)?shù)達(dá)到S?(2)(θ)時(shí)退出拍賣;若S?(2)(θ)≥S?(θmax),則以分?jǐn)?shù)S?(θmax)獲得提供該物品的機(jī)會(huì)并進(jìn)入拍賣的第二階段.在第二階段,若S?(1)(θ)＜S?(θmin),則全局供應(yīng)商在分?jǐn)?shù)達(dá)到S?(1)(θ)時(shí)退出拍賣;若S?(1)(θ)≥S?(θmin),則以分?jǐn)?shù)S?(θmin)獲得提供該剩余物品的機(jī)會(huì).

定理3給定采購(gòu)商的評(píng)分函數(shù)和供應(yīng)商的效用函數(shù),假定φ(θ,θ(2))關(guān)于θ(2)在[θ,θ]內(nèi)為凸函數(shù),在第一得分拍賣中,該逆向拍賣機(jī)制存在一個(gè)精煉貝葉斯均衡.全局供應(yīng)商第一階段的均衡投標(biāo)最高得分S?(2)(θ)=S?(θ?(2)),相應(yīng)的均衡價(jià)格屬性投標(biāo)p?(2)(θ)=V(θ)-S?(2)(θ).其中,

而θ(+2)為方程的唯一根或兩根中的較大者;全局供應(yīng)商第二階段均衡投標(biāo)最高得分S?(1)(θ)=S?(θ?(1)),相應(yīng)的均衡價(jià)格屬性投標(biāo)p?(1)(θ)=V(θ)-S?(1)(θ).其中

而θ+(1)為方程S?(θ(1))=V(θ)-C(θ)+α的唯一根.

證明運(yùn)用逆向遞推法,先看第二階段全局投標(biāo)人的均衡策略.此時(shí),全局供應(yīng)商已經(jīng)是第一件物品的獲勝者.成本參數(shù)為θ的全局供應(yīng)商在S?(1)時(shí)退出,其對(duì)S?(1)(θ)選擇可轉(zhuǎn)化為選擇θ(1)以最大化期望收益

上式對(duì)θ(1)求偏導(dǎo)數(shù),得到以下一階條件

當(dāng)S?(θ(1))=V(θ)-C(θ)+α?xí)r,π1(θ,θ(1)|θmax)取到最大值,用θ+(1)表示方程的解.由于

故方程的解θ(+1)唯一.由S?(θ(1))的單調(diào)性及,存在唯一使得成立.此時(shí),對(duì)所有,全局供應(yīng)商選擇最大化其期望收益;對(duì)所有,選擇最大化其期望收益.于是,由θ?(1)可得全局供應(yīng)商的均衡投標(biāo)最高得分.再由評(píng)分函數(shù)式(2),可得全局供應(yīng)商在第二階段的均衡價(jià)格屬性投標(biāo).

再看第一階段全局投標(biāo)人的均衡策略.第一階段全局供應(yīng)商同時(shí)參加兩件物品競(jìng)拍.在地方供應(yīng)商私人成本均小于p前提下,全局供應(yīng)商在S?(2)(θ)時(shí)退出拍賣,其對(duì)S?(2)選擇可轉(zhuǎn)化為對(duì)θ(2)選擇以最大化期望收益

上式對(duì)θ(2)求偏導(dǎo)數(shù),得到以下一階條件

由φ(θ,θ(2))關(guān)于θ(2)的凹凸性,可知方程φ(θ,θ(2))=0最多存在兩個(gè)根,用表示方程的唯一根,或者兩根中的較大者.如果方程存在唯一的根,則為局部最優(yōu)點(diǎn);如果方程存在兩個(gè)根,由凸性假設(shè)可知為凹函數(shù),而的導(dǎo)數(shù)在方程的較大根處取值為負(fù),此時(shí)也是局部最優(yōu)點(diǎn).為得到全局最優(yōu)解,再比較邊界解和內(nèi)解.本文采用類似于Krishna等[9]和黃河等[10]的方法,定義.由于

從定理3的結(jié)論中可以觀察到:首先,均衡價(jià)格屬性投標(biāo)p?(1)獨(dú)立于全局投標(biāo)人在第一階段的投標(biāo)策略,而只取決于其成本系數(shù)和組合效應(yīng);其次,p?(2)不但取決于其成本系數(shù)和組合效應(yīng),還與私人成本系數(shù)θmin的分布有關(guān);最后,私人成本系數(shù)θmax不影響全局投標(biāo)人的均衡價(jià)格屬性投標(biāo)p?(1)和p?(2),但是只有當(dāng)時(shí)拍賣才會(huì)進(jìn)入第二階段.

推論2給定采購(gòu)商的評(píng)分函數(shù)和供應(yīng)商的效用函數(shù),對(duì)所有可得

證明對(duì),由式(9),有

另一方面,由于

所以S?(2)＜V(θ)-C(θ)+α/2. 證畢.

4.3 兩類供應(yīng)商投標(biāo)策略的比較靜態(tài)分析

以上部分均基于給定的α來(lái)分析兩類供應(yīng)商的投標(biāo)策略,下面分析α變化時(shí)供應(yīng)商均衡策略變化情況.

對(duì)于地方供應(yīng)商,由定理2可知,組合效應(yīng)α對(duì)其均衡策略沒(méi)有影響.而對(duì)于全局供應(yīng)商,由定理3可知,全局供應(yīng)商在第一階段和第二階段的均衡投標(biāo)策略均受α影響.于是,下面定理分析了組合效應(yīng)對(duì)全局投標(biāo)人均衡策略的影響.

定理4給定采購(gòu)商的評(píng)分函數(shù)和供應(yīng)商的效用函數(shù),在第一得分拍賣中,全局供應(yīng)商在兩階段的均衡投標(biāo)最高得分S?(1)(θ)和S?(2)(θ)關(guān)于組合效應(yīng)α單調(diào)遞增,均衡投標(biāo)價(jià)格屬性值p?(1)(θ)和p?(2)(θ)關(guān)于組合效應(yīng)α單調(diào)遞減.

證明由定理3,對(duì)于第二階段,在上,有,顯然其關(guān)于α遞增;而在上,為常數(shù),由于,所以當(dāng)α增大時(shí),隨之增大.也就是說(shuō),隨著α增大,在上的關(guān)于α遞增,同時(shí)隨之增大,此時(shí)會(huì)使更大區(qū)域內(nèi)的均衡投標(biāo)最高得分為常數(shù).同理,由,可以證得隨α遞減.

利用鏈?zhǔn)椒▌t,上式可整理為

5 拍賣案例分析

假定某采購(gòu)商通過(guò)逆向多屬性同步增價(jià)拍賣機(jī)制在兩相鄰地域采購(gòu)兩件物品,該拍賣通過(guò)在線拍賣系統(tǒng)進(jìn)行.地方供應(yīng)商只需在系統(tǒng)中輸入其成本參數(shù),而全局供應(yīng)商在系統(tǒng)中輸入其成本參數(shù)和組合效應(yīng)值,均衡投標(biāo)的屬性值由相應(yīng)命題推導(dǎo)出的公式計(jì)算得出,此時(shí)投標(biāo)人可利用在線拍賣系統(tǒng)的代理投標(biāo)功能進(jìn)行自動(dòng)投標(biāo),并由該系統(tǒng)決定最終物品的分配和支付.

在該拍賣機(jī)制中,除所采購(gòu)物品的價(jià)格屬性外,采購(gòu)商還關(guān)心物品所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)非價(jià)格屬性q1和q2.假定采購(gòu)商公布的評(píng)分函數(shù)的參量w1=1,w2=2,s1=s2=0.5與其效用函數(shù)中的參量一致.拍賣中有兩個(gè)地方供應(yīng)商和一個(gè)全局供應(yīng)商,其成本函數(shù)中的參量為a1=0.5,a2=0.25,k1=k2=1.5,兩類供應(yīng)商的成本參數(shù)在區(qū)間[0.2,0.6]上服從均勻分布.此時(shí),.容易驗(yàn)證,函數(shù)φ(θ,θ(2))滿足凸性要求.

對(duì)于給定的θ,根據(jù)定理1可以計(jì)算出兩類供應(yīng)商的均衡非價(jià)格屬性值q?1和q?2;根據(jù)定理2可以計(jì)算出地方供應(yīng)商的均衡價(jià)格屬性值p?和最高退出得分S?.分別給定θ為0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,局部供應(yīng)商的均衡非價(jià)格屬性值、最低價(jià)格屬性值和最高得分的計(jì)算結(jié)果如表1所示.

表1 地方供應(yīng)商的均衡投標(biāo)策略及最高退出得分Table 1 The local bidders’equilibrium bidding strategies and optimal drop–out scores

再給定α的取值,根據(jù)定理3可以計(jì)算出全局供應(yīng)商在兩階段的均衡價(jià)格屬性值以及相應(yīng)的最高退出得分.具體的計(jì)算步驟如下:

步驟1根據(jù)確定分界點(diǎn);

步驟2在上,有,根據(jù),計(jì)算出.在上,根據(jù)計(jì)算出S?(1)(θ)并求出唯一的根θ(+1),確定;

步驟3根據(jù)計(jì)算出的S?(1)(θ),由p?(1)(θ)=V(θ)-S?(1)(θ)計(jì)算出p?(1)(θ);

步驟4再計(jì)算拍賣第一階段的內(nèi)解.已知θ?(1)及由供應(yīng)商分布函數(shù)得到的條件分布函數(shù),根據(jù)式(9)計(jì)算出θ(+2)為方程的唯一根或者兩根中的較大者.再將不同θ所對(duì)應(yīng)的期望收益π2(θ,θ(+2)|p)與邊界點(diǎn)處的期望收益比較,從而確定出分界點(diǎn);

步驟5在上,確定,在上,確定,從而計(jì)算出S?(2)(θ),然后再由p?(2)(θ)=V(θ)-S?(2)(θ)計(jì)算出p?(2)(θ).

下面的表2和表3給出了當(dāng)α分別為0.5和1.0時(shí),θ為0.2,0.3,0.4,0.5,0.6時(shí),全局供應(yīng)商在兩階段的均衡非價(jià)格屬性值、最低價(jià)格屬性值和最高得分的計(jì)算結(jié)果.

表2 當(dāng)α=0.5時(shí)全局供應(yīng)商的均衡投標(biāo)策略及最高退出得分Table 2 The global bidder’s equilibrium bidding strategy and optimal drop-out score when α equals 0.5

表3 當(dāng)α=1.0時(shí)全局供應(yīng)商的均衡投標(biāo)策略及最高退出得分Table 3 The global bidder’s equilibrium bidding strategy and optimal drop-out score when α equals 1.0

比較表2和表3中的數(shù)據(jù),可以看出:組合效應(yīng)α越大,全局供應(yīng)商在兩階段的均衡投標(biāo)最高得分和越大,而最低投標(biāo)價(jià)格屬性值p?.(1)和p?(2)越小,這些結(jié)果與文中的定理相符.

下面以α=0.5情形為例進(jìn)行說(shuō)明.假定全局供應(yīng)商的成本參數(shù)θ=0.5,兩個(gè)地方供應(yīng)商成本參數(shù)0.2≤θmin≤θmax≤0.6,查表可知:當(dāng)θmax＜0.482時(shí),全局供應(yīng)商退出拍賣,兩個(gè)地方供應(yīng)商贏得拍賣且支付分?jǐn)?shù)均為S?(0.482)=3.921;當(dāng)θmax≥0.482時(shí),全局供應(yīng)商贏得提供一個(gè)物品的機(jī)會(huì),其支付分?jǐn)?shù)為S?(θmax),并進(jìn)入拍賣第二階段.在第二階段,當(dāng)θmin＜0.392時(shí),全局供應(yīng)商退出對(duì)第二個(gè)物品的競(jìng)拍,該階段地方供應(yīng)商的支付分?jǐn)?shù)為S?(0.392)=4.350;當(dāng)θmin≥0.392時(shí),全局供應(yīng)商繼續(xù)贏得提供第二個(gè)物品的機(jī)會(huì),其支付分?jǐn)?shù)為S?(θmin),此時(shí)全局供應(yīng)商獲得了提供兩個(gè)物品的機(jī)會(huì).

6 結(jié)束語(yǔ)

在多屬性拍賣中,多物品采購(gòu)拍賣的相關(guān)研究尚不充分.基于存在兩類非對(duì)稱供應(yīng)商的前提,本文將同步增價(jià)拍賣(SAA)引入多屬性逆向拍賣中,設(shè)計(jì)了一種多物品多屬性逆向拍賣機(jī)制,即多屬性逆向同步增價(jià)拍賣機(jī)制.從供應(yīng)商的角度出發(fā),在研究了兩類供應(yīng)商的非價(jià)格屬性均衡投標(biāo)策略的基礎(chǔ)上,分別對(duì)兩類供應(yīng)商的價(jià)格屬性投標(biāo)策略進(jìn)行分析.針對(duì)公開競(jìng)分的拍賣形式和拍賣中存在的組合效應(yīng),將全局供應(yīng)商的投標(biāo)決策分為兩個(gè)階段進(jìn)行研究,得出了該拍賣機(jī)制下的精煉貝葉斯均衡,并對(duì)影響策略的組合效應(yīng)作了比較靜態(tài)分析.最后,通過(guò)拍賣實(shí)例給出了兩類供應(yīng)商均衡投標(biāo)策略的計(jì)算步驟,并對(duì)物品的分配和支付作了示例,以便于該機(jī)制在現(xiàn)實(shí)采購(gòu)拍賣中的運(yùn)用.

本文的分析只是基于兩個(gè)物品的情形,運(yùn)用類似的逆向遞推法,容易分析采購(gòu)物品多于兩個(gè)的多屬性逆向同步增價(jià)拍賣模型.另外,本文的分析主要基于供應(yīng)商視角,未來(lái)的研究可以從采購(gòu)商的角度進(jìn)行分析,研究采購(gòu)商所采取的最優(yōu)評(píng)分規(guī)則及對(duì)拍賣結(jié)果的影響[21].