近三年高考中的“數(shù)學(xué)文化”試題賞析

江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué)北校 (郵編：221200)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)指出：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng).數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng).將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，還有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).[1]

在高考中，或平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐、測(cè)試中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生遇到涉及數(shù)學(xué)史、邏輯推理、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等“數(shù)學(xué)文化”色彩較濃的試題時(shí)，常被其表象所迷惑，認(rèn)為很深?yuàn)W、很神秘，沒有耐下心來(lái)仔細(xì)閱讀、審題，雖懂了相關(guān)知識(shí)，牢記住了相關(guān)的概念、公式、定理等，卻不會(huì)解題.其實(shí)，只要揭開“數(shù)學(xué)文化”神秘的面紗，去掉無(wú)關(guān)緊要的前情敘述，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，題目還是極易解決的.現(xiàn)對(duì)近三年來(lái)高考數(shù)學(xué)中的部分“數(shù)學(xué)文化”試題分類賞析，以管窺一斑.

1 數(shù)學(xué)史類

數(shù)學(xué)史類試題，蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)發(fā)展過程中若干重要事件、重要人物與重要成果，彰顯出數(shù)學(xué)對(duì)人類文明發(fā)展的作用，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值[2]，讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏染，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望.

圖1

案例1(算法類) (2016年全國(guó)Ⅱ卷 文9理8)中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，圖1是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2,依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=( ).

A.7 B.12

C.17 D.34

賞析“秦九韶算法”是中國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法，是一種將一元n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個(gè)一

次式的算法，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程.即使在現(xiàn)代，利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問題時(shí)，“秦九韶算法”依然是最優(yōu)的算法，極大地縮短了CPU運(yùn)算時(shí)間.此法在西方被稱作霍納算法，是以英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納命名的.

對(duì)于此題，去掉前情敘述，可知就是考查算法問題，屬于容易題. 答案C .

案例2(面積、體積類)(2017年浙江卷 第11題)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π,理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S內(nèi)，則S內(nèi)=______ .

賞析“割圓術(shù)”、《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》等，都是中華民族的數(shù)學(xué)瑰寶，是燦爛悠久的中華數(shù)學(xué)文化的重要組成部分. 撩開題中“數(shù)學(xué)史”的面紗，可以發(fā)現(xiàn)此題就是求單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，均屬容易題. 將正六邊形分割為6個(gè)等邊三角形，則：

圖2

案例3(概率類) (2018全國(guó)卷Ⅰ理10)圖2是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB、AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為p1、p2、p3,則( )

A．p1=p2B．p1=p3

C．p2=p3D．p1=p2+p3

賞析古希臘數(shù)學(xué)中的畢達(dá)哥拉斯多邊形數(shù)、勾股定理、勾股數(shù)、歐幾里得與《幾何原本》、尺規(guī)作圖以及公理化思想等，對(duì)近代科學(xué)的發(fā)展都具有深遠(yuǎn)的影響，都是數(shù)學(xué)中的瑰寶. 去掉前情敘述，此題就是考查直角三角形面積公式、圓的面積公式、幾何概型，屬容易題，選A.另外，由于是選擇題，可取特殊值a=5，b=3，c=4進(jìn)行計(jì)算，快速得到答案.

2 數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、邏輯推理類

數(shù)學(xué)文化不僅指數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理等這些表面的知識(shí)性的有形成分，還包括蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)之中的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)美等內(nèi)在的觀念性的無(wú)形成分[3].這些內(nèi)在的觀念性的無(wú)形成分是數(shù)學(xué)文化的核心，也就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉后剩下的可以終身受用的成分，用這些內(nèi)在的觀念性的無(wú)形成分可以進(jìn)行思考、判斷和邏輯推理，去提出、發(fā)現(xiàn)、分析和解決新問題.

賞析此題主要考查“數(shù)形結(jié)合”思想及“排除法”，屬中檔題.

法二當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=1+1+sin1=2+sin1>2,故排除A、C,當(dāng)x→+∞時(shí)，y→1+x,故排除B,滿足條件的只有D，故選D.

賞析此題考查“分類討論”思想或“數(shù)形結(jié)合”思想，以及邏輯推理.

圖3

案例8(1)(2016年全國(guó)Ⅱ卷 理14文16)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是______.

(2)(2017年全國(guó)Ⅱ卷 理7文9)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)，老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，則( )

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可能知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

賞析這兩題主要考查學(xué)生的邏輯思維能力(邏輯推理素養(yǎng)).

(1)因?yàn)楸目ㄆ瑪?shù)字之和不是 5，故丙的卡片數(shù)字應(yīng)為1與2，或1與3，

當(dāng)丙的卡片數(shù)字為 1與 2時(shí)，又因乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，則乙的卡片數(shù)字為 2 與 3，又因甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，故甲的卡片數(shù)字為 1 與 3．符合題意；

當(dāng)丙的卡片數(shù)字為 1 與 3時(shí)，又因乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，則乙的卡片數(shù)字為 2 與3，此時(shí)甲的卡片數(shù)字只能為 1 與2，這與已知甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2相矛盾．

綜上知，甲的卡片數(shù)字為 1 與 3．

(2)由題意，看完后，甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī)，這就說明乙、丙的成績(jī)應(yīng)是一人為優(yōu)，另一人為良. 由題意，這四人中有2位優(yōu)秀，2位良好.

所以當(dāng)給乙看過丙的成績(jī)后，乙定能知道自己的成績(jī)(若丙為優(yōu)，則乙為良；若丙為良，則乙為優(yōu)).

同樣地，當(dāng)給丁看過甲的成績(jī)后，丁也定能知道自己的成績(jī)(若甲為優(yōu)，則丁為良；若甲為良，則丁為優(yōu)).故選D.