2018年廣州中考數(shù)學壓軸題解法探究及反思

廣東省廣州市第二中學 (郵編：510040)

1 題目呈現(xiàn)

(2018年廣州中考數(shù)學第25題)如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.

(1)求∠A+∠C的度數(shù)；

(2)連接BD,探究AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)若AB=1,點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動，且滿足AE2=BE2+CE2,求點E運動路徑的長度.

圖1

這是一道融合幾何三大核心能力(計算、作圖、推理)于一體，并且探究性極其豐富的試題，主要考查了四邊形內(nèi)角和、等邊三角形、勾股定理、全等三角形、垂徑定理、旋轉(zhuǎn)變換等內(nèi)容.其中第(1)問利用四邊形內(nèi)角和即可求得答案，屬于比較簡單的問題.第(2)問和第(3)問屬于較難的問題，需要學生合理利用輔助線構(gòu)造全等，綜合運用勾股定理、全等三角形、垂徑定理等知識進行求解，很多學生在求解這兩個問題的過程存在一定的困難.本文主要探究第(2)問和第(3)問的破題思路和解法反思.

2 破題思路

2.1 合理猜想尋思路，旋轉(zhuǎn)變換定方法

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

考慮到需要構(gòu)造直角三角形，即需要讓CD邊和AD邊構(gòu)造為直角三角形的兩條直角邊，結(jié)合條件“∠D=30°”，不難得出需要以線段AD為邊構(gòu)造等邊△ADP(如圖5)，或者以線段CD為邊構(gòu)造等邊△CDQ(如圖6).如圖5所示，由等邊△ABC和等邊△ADP,利用手拉手基本圖形可得△BAD≌△CAP(SAS),從而BD=CP.結(jié)合∠CDA=30°易得∠CDP=90°,故由勾股定理可得CD2+DP2=CP2,即CD2+AD2=BD2.利用圖6的轉(zhuǎn)化方法同樣可以證明該結(jié)論.

2.2 類比遷移覓良策，靈活運用顯威力

圖7

圖8

圖9

3 進一步研究

3.1 解幾思想威力無窮

解析幾何是高中階段核心的學習內(nèi)容，初中階段的很多平面幾何試題可以利用解析幾何的方法進行求解.例如上述問題的第(2)問和第(3)問，如果對輔助線的構(gòu)造不熟練，則可以采用下面的方法進行求解.

圖10

3.2 正余弦定理助力推廣

特別地，利用上述解法，我們可以得到如下推廣：

推廣如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=α,∠ADC=β,AB=BC,則：

(1)當α=60°時，則AD、BD、CD滿足：BD2=AD2+CD2-2AD·CDcos(60°+β)；

(2)當α=90°時，則AD、BD、CD滿足：2BD2=AD2+CD2-2AD·CDcos(90°+β),即2BD2=AD2+CD2+2AD·CDsinβ；

(3)當α=120°時，則AD、BD、CD滿足：3BD2=AD2+CD2-2AD·CDcos(120°+β)；

特別地，若α=180°時，則有4BD2=AD2+CD2-2AD·CDcos(180°+β),即4BD2=AD2+CD2+2AD·CDcosθ.

3 解題反思

3.1 凸顯核心素養(yǎng)的考查

隨著新一輪課程改革，中學數(shù)學課程的建設(shè)更加注重數(shù)學核心素養(yǎng)的滲透.作為指揮棒的中考，中考試題是否能考查出學生的核心素養(yǎng)直接影響著初中階段的教學導向.所謂數(shù)學核心素養(yǎng)，主要指的是以下六方面的數(shù)學素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析.作為廣州市中考數(shù)學的壓軸題，試題幾乎涉及到初中階段學習到的所有核心內(nèi)容.學生在求解的過程中，需要綜合運用全等三角形、勾股定理、垂徑定理、弧長公式等知識進行邏輯推理和運算，還要求學生在求解的過程中作出輔助探究的幾何圖形，對學生的直觀想象能力和作圖能力要求較高.若教師在平時的教學中能不斷提供有利于落實核心素養(yǎng)的數(shù)學課程，相信學生在求解這道試題會更加有信心.

3.2 培養(yǎng)合情推理的能力

對于大部分學生而言，在處理復雜數(shù)學問題的時候，除了需要具備克服困難的勇氣和意志力以外，還要求學生靈活運用演繹推理和合情推理的方式.合情推理主要指通過觀察，歸納，類比，實驗，聯(lián)想，猜測，矯正與調(diào)控等方法對問題進行探索，從而尋找得到正確的結(jié)論.在解決上面這道中考壓軸題的過程中，第(2)問起著承上啟下的作用，其解題的方法和思想對整道試題的順利解決起著關(guān)鍵的作用.在探究AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系的過程中，由于題目并沒有給出明確的目標，很多學生容易陷入證明一個錯誤結(jié)論的泥潭中.這個時候如果學生能夠先利用特殊情況(如點D落在BC的延長線上等)對結(jié)論進行合理的想象和驗證，則能為正確結(jié)論的推理和證明提供非常有利的支持.而這一方面的解題策略有賴于平時學習經(jīng)驗的積累，有賴于教師在平時教學中的不斷滲透和引導.

3.3 初高中數(shù)學課程的銜接與實驗

本文的后半部分利用解析幾何的思想和正余弦定理的知識對這道壓軸題進行了分析和求解，并且對其作進一步的推廣.實際上，這方面的嘗試來源于實際教學的需要.在2017年，廣州市的四所中學率先實施“2+4初高中一體化實驗課程”的實踐探索，部分學生在初三的時候開始學習高中的課程內(nèi)容.在平面直角坐標系、銳角三角函數(shù)、直線和圓等初中數(shù)學課程的基礎(chǔ)上，進一步學習了集合、任意角三角函數(shù)，正余弦定理、直線和圓的方程等內(nèi)容，大部分參與實驗的學生均能很好地理解和掌握.在高中階段，代數(shù)式的恒等變形是代數(shù)內(nèi)容的重要學習內(nèi)容，但限于課時緊而內(nèi)容多的現(xiàn)實矛盾，高中老師并不會花足夠的時間和精力來落實相關(guān)訓練，很多學生對相關(guān)內(nèi)容的掌握并不盡如人意.若能夠在初中階段的教學中滲透相關(guān)的思想和訓練，無疑對部分學生而言是非常有益的嘗試.本文提供的利用解析幾何以及正余弦定理的解法關(guān)鍵也是在代數(shù)變形上，這恰好是高中代數(shù)內(nèi)容學習的核心內(nèi)容.筆者所在學校有幸參加了由朱華偉教授主導的“教育數(shù)學創(chuàng)新教學實驗”課程實踐.實踐證明，在初中階段適當延伸拓展解析幾何、正余弦定理等內(nèi)容對部分初中生的學習是非常必要的.有興趣的老師可以參考張景中院士的著作《一線串通的初等數(shù)學》.