一道課本習題的拓展

安徽省合肥市第六十八中學 (郵編：230601)安徽省合肥市第八中學 (郵編：230601)

對課本的題目進行多方面的拓展、變形，找出在條件不變的前提下，與它平行的結(jié)論，和把題中的條件進行適當?shù)淖冃?，得出有關(guān)的結(jié)論.這樣的變式教學既調(diào)動學生學習的積極性，又培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，從而更有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).下面以一道課本習題為例，以期拋磚引玉.

圖1

題目已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，EF交⊙O于C、D兩點，AE⊥EF，BF⊥EF，E、F為垂足.求證：CE=DF.

分析一般容易想到常用的輔助線(即作弦心距OH)，利用垂徑定理和平行線等分線段定理來證明.

證明作OH⊥CD于H，所以CH=DH.

因為AE⊥EF，BF⊥EF，所以AE∥OH∥BF.又OA=OB，所以EH=FH，故EH-CH=FH-DH，即CE=DF.

拓展1這個題目還能得出其它結(jié)論嗎?

(3)因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，從而∠ACE+∠BCF=90°，又∠ACE+∠EAC=90°，所以∠EAC=∠BCF.

又∠E=∠F=90°，所以ΔAEC∽ΔCFB.

(4)因為ΔAEC∽ΔCFB，所以AE∶CF=EC∶BF，所以CF·EC=ab.又CF+EC=EF=c，所以CF、CE是一元二次方程x2-cx+ab=0的兩根.

(5)因為A、B、D、C四點共圓，所以∠BAC=∠BDF，又∠ACB=∠F=90°，

所以△ABC∽△DBF，故(AB+AC+BC)∶(BD+DF+BF)=AB∶BD.

拓展2當把弦CD向上移動時，結(jié)論會有什么變化嗎？

圖2

分析如圖2，(1)利用垂徑定理和平行線等分線段定理來證明(證明過程見上面題目的證明)；(2)延長BF交⊙O于M，連結(jié)AM，延長OH交AM于N，利用三角形中位線定理和矩形的性質(zhì)得證.

拓展3當把弦CD向下移動時，又會怎樣呢？

圖3

當把弦CD向下移動，使其與⊙O相切于H點(C、D點重合于H)，其它條件不變，結(jié)論有：(1)EH=HF；(2)OE=OF；(3)AB=AE+BF；(4)若又知AE=2，BF=3，求四邊形AEFB的面積.

分析如圖3，(1)利用平行線等分線段定理來證明；(2)利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明；(3)利用梯形的中位線定理和AB=2OH即可得證；(4)利用梯形的面積公式求四邊形AEFB的面積.

證明(1)連結(jié)OH，因為EF切⊙O于H，所以O(shè)H⊥EF，又AE⊥EF，BF⊥EF，所以AE∥OH∥BH，又OA=OB，故EH=FH.

(2)因為OH⊥EF，又EH=FH，所以O(shè)E=OF.

拓展4上述問題的逆命題成立嗎？

圖4

已知AB為⊙O的直徑，AE⊥EF，BF⊥EF，E、F為垂足，且AB=AE+BF,求證：EF與⊙O相切.

拓展5若在上題中EF與⊙O相切于H，連結(jié)AH和BH，其余條件不變，又能得出什么結(jié)論呢？

圖5

已知AB為⊙O的直徑，AE⊥EF，BF⊥EF，E、F為垂足，且EF與⊙O相切于H，連結(jié)AH和BH，求證：(1)△AEH∽△BHA∽ΔHFB；(2)EF2=4AE·BF；(3)若設(shè)BF=a，AE=c，EF=b，求證：方程x2-bx+ac=0有兩個相等的實數(shù)根.

分析如圖5，(1)證明兩角對應相等；(2)利用相似三角形的對應邊成比例；(3)利用△=b2-4ac=0.

證明(1)因為AB是直徑，所以∠AHB=90°=∠E.

因為EF是⊙O的切線，所以∠AHE=∠ABH，故△AEH∽△BHA.

同理可證△BHA∽ΔHFB，故△AEH∽△BHA∽ΔHFB.

(2)因為ΔAEH∽ΔHFB，所以AE∶HF=EH∶BF，又EH=HF，故EF2=(2EH)2=4EH2=4AE·BF.

(3)因為EF2=4AE·BF，即方程x2-bx+ac=0的判別式Δ=b2-4ac=0，故方程x2-bx+ac=0有兩個相等的實數(shù)根.

拓展6把上題中的AE⊥EF于E，BF⊥EF于F改為AE⊥AB于A，BF⊥AB于B，情況會怎樣呢？

圖6

已知：如圖6，AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于H，AE⊥AB，BF⊥AB，A、B為垂足.連結(jié)OE、OF，⊙O的半徑為R.求證：(1)EF=AE+BF；(2)∠EOF=900；(3)R2=AE·BF；(4)SABFE=R·EF.

分析(1)利用切線長定理；(2)利用全等三角形的性質(zhì)；(3)利用相似三角形的性質(zhì)或射影定理，因為OH⊥EF，∠EOF=90°，所以O(shè)H2=EH·HF；(4)SABFE=2S△EOF=R·EF.

證明(1)因為AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于H，AE⊥AB，BF⊥AB，A、B為垂足，所以EA、BF都是⊙O的切線.又EF切⊙O于H，所以EA=EH，F(xiàn)B=FH，故EF=AE+BF.

(2)連結(jié)OH，因為△OAE≌△OHE，所以∠EOH=∠EOA，同理得∠FOH=∠FOB，故∠EOF=900.

(3)因為∠A=∠B=90°，又∠EOF=900，

所以∠AOE=∠BFO，所以△AOE∽△BFO，故R2=AE·BF.

(4)因為△OAE≌△OHE，△OBF≌△OHF，故SABFE=2S△EOF=R·EF.

拓展7在上題中，若把連結(jié)OE、OF改為連結(jié)AF、BE，會有什么結(jié)論呢？

圖7

證明(1)因為AB為⊙O的直徑，AE⊥AB于A，所以EA是⊙O的切線.又因為EH是⊙O的切線，所以EA=EH.同理可得FB=FH，又AE⊥AB，BF⊥AB，所以AE∥BF，故AN∶NF=AE∶BF=EH∶FH.所以AE∥NH，又因為AE∥BF，故AE∥NH∥BF.

通過對這道習題的深入挖掘提煉，加工改造，變靜為動，動靜結(jié)合，縱橫溝通，這道題有七個拓展，每個拓展又有多個問題，這樣一個題目就變成了二、三十個題目，從中引導學生理解知識的內(nèi)在聯(lián)系，把握解題規(guī)律，鍛煉學生思維的靈活性、開拓性、多向性和創(chuàng)造性，從而更好地培養(yǎng)學生的探索能力和創(chuàng)新素養(yǎng).對防止“題海戰(zhàn)術(shù)”，提高課堂教學效率肯定大有裨益.