以教材為源 施習(xí)題設(shè)計(jì)
——以魯教版初中數(shù)學(xué)教材為例

山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué) (郵編：638400)

眾所周知，中考試題的命制對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有一定的導(dǎo)向意義，將課本上的某些典型例題、習(xí)題改編為中考題，是近年來各地中考命題時(shí)較為普遍的一種做法.這也就引導(dǎo)廣大一線教師要關(guān)注教材，用好教材，用活教材，書中自有“考題目”，書中自有“解題術(shù)”，書中自有“言如玉”.因此，對(duì)教材例習(xí)題的分析和拓展，在教學(xué)上就顯得十分重要.下面結(jié)合自己對(duì)魯教版教材習(xí)題設(shè)計(jì)的實(shí)踐，與大家交流探討.

1 立足教材，研透典型例題，提煉通性通法

圖1

案例1(魯教版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)128頁例3)如圖1，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.

(2)求證：AB=AC+CD.

本題第1問比較基礎(chǔ)，考察了角平分線的性質(zhì)，下面重點(diǎn)談一下第2問給自己的習(xí)題設(shè)計(jì)啟示.教材中的解答是這樣的：在直角三角形ACD和直角三角形AED中，因?yàn)镃D=DE,AD=AD,所以△ACD≌△AED(HL)，即AC=AE.

因?yàn)锽E=DE=CD，所以AB=AE+BE=AC+CD.

圖2

在平時(shí)的教學(xué)中，這道例題是不是到這里就結(jié)束了呢？我想還沒有.本題是初中階段例題中第一次出現(xiàn)線段和差的問題，對(duì)于解決這類問題的基本方法是截長補(bǔ)短，在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生充分思考，教材介紹的是截長法，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立補(bǔ)短法，形成解決這類問題的基本思路.如圖2，延長AC到點(diǎn)F，使CF=CD，連接DF.△DCF為等腰直角三角形，易得△ADF≌△ADB，同樣可證得AB=AC+CD.

至此，對(duì)于解決線段和差問題的基本方法讓學(xué)生進(jìn)行了初步感知，但如何讓學(xué)生能夠融會(huì)貫通，真正掌握解決這類問題的方法，我們可以對(duì)該例題重新設(shè)計(jì).如圖3，在△ABC中，AC=BC，AD是∠CAB的角平分線，AB=AC+CD，求∠ACB.

圖3

思路簡析1如圖3，在AB上截取AE=AC，連接DE,證△ADE≌△ADC，因?yàn)锳B=AC+CD，易得DE=EB，所以∠B=∠EDB，即∠ACB=2∠B，由三角形內(nèi)角和，∠ACB+2∠B=180°，所以∠ACB=90°.

思路簡析2如圖3，延長AC到點(diǎn)F，使CF=CD，連接DF，因?yàn)锳B=AC+CD，所以AB=AF，證△ADB≌△ADF，所以∠B=∠F，即∠ACB=2∠B，由三角形內(nèi)角和，∠ACB+2∠B=180°，所以∠ACB=90°.

中考數(shù)學(xué)試題的形式和知識(shí)背景可能會(huì)千變?nèi)f化，但其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法卻往往是相同的.我們來看2016淄博中考試題23題的第3問.

圖4

(1)求a的值；

(2)當(dāng)O、Q、M三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，求證：MF=MN+OF．

圖5

教學(xué)啟示人民教育出版社的章建躍博士說：“通性就是概念所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通法就是概念所蘊(yùn)含的思想方法.”因此筆者認(rèn)為通性通法就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的通用性質(zhì)去解決問題的通用思想方法.作為一名一線教師，平時(shí)聽了大量的課堂教學(xué)，現(xiàn)在很多教師在講解題目時(shí)，經(jīng)常給學(xué)生介紹很多的方法，尤其是一些很巧妙的方法，即簡單又快捷，但往往這些方法不能通用，當(dāng)學(xué)生以后碰到類似的題目時(shí)還是束手無策，因此我們?cè)谶M(jìn)行教材題目的處理時(shí)，要給學(xué)生講清通用的方法，解一題通一類，這樣效率就會(huì)明顯提升.

2 立足教材，善用基本模型，探究發(fā)現(xiàn)問題

圖6

案例2(魯教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)126頁想一想)如圖6，已知直線l∥AB，點(diǎn)P1、P2、P3都在l上，△ABP1，△ABP2，△ABP3的面積是否相等？為什么？

本問題是教材中的平行等積模型，在我們的教材中存在許多基本的數(shù)學(xué)模型，平時(shí)教學(xué)中，教師要充分研究教材，為學(xué)生搭建模型、應(yīng)用模型創(chuàng)造條件.在初次的復(fù)習(xí)時(shí)，設(shè)置了3個(gè)小問題，循序漸進(jìn)，層層提升，讓學(xué)生經(jīng)歷了建模、用模的過程.

圖7

問題1如圖7-①，若直線a∥直線b，則S△ABC=S△DBC，

若S△ABC=S△DBC，則直線a∥直線b

圖8

圖9

圖10

教學(xué)啟示本案例基于教材中的一個(gè)非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生正向和逆向兩個(gè)角度來進(jìn)行運(yùn)用，從而對(duì)反比例函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)進(jìn)行了探究，提高了學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的能力.在平時(shí)的教學(xué)中，教師要善于利用教材中的基本模型，遵循學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”原則，把握好度，分層設(shè)計(jì)，由淺到深，由易到難，逐步對(duì)問題進(jìn)行深入探究.數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“ 一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的，但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域 ”.

3 立足教材，改編教材習(xí)題，變式拓展提升

案例3(魯教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)27頁聯(lián)系拓廣)如圖11，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′O與正方形ABCD的邊長相等.在正方形A′B′C′O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

圖11

圖12

本題是課后的一道習(xí)題，基本解法有兩種.

許多數(shù)學(xué)問題它們都是衍生生長的，下面把該教材問題進(jìn)行變式提升，推陳出新，充分發(fā)揮題目的教學(xué)功能.

變式1如圖13，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，O為AC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥OF，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.若CF=4，AE=3，求EF的長與四邊形BFOE的面積.

圖13

圖14

圖15

簡析如圖13，連接BO，我們可以采用前面的思路1，得到△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF，進(jìn)而通過勾股定理求出EF，最終把四邊形BFOE的面積轉(zhuǎn)化為三角形BOC的面積.也可以采用思路2，這里不再贅述.

變式2如圖14，四邊形ABCD中，DC=AD,∠ABC=∠ADC=90°,連接BD，若BD=6，則四邊形ABCD的面積為多少？

簡析如圖14，延長BC至點(diǎn)E，使CE=AB，連接DE，類比思路1得出△ABD與△ECD全等，四邊形ABCD面積轉(zhuǎn)化成等腰直角△BDE的面積，同樣也可以類比思路2進(jìn)行求解.

變式3如圖15，點(diǎn)P為定角∠ABC的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠ABC互補(bǔ).若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與BA、BC相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：(1)PM=PN恒成立；(2)BM+BN的值不變；(3)四邊形PMBN的面積不變；(4)MN的長不變，其中正確的是______.

圖16

變式4如圖16，四邊形PMBN中，∠MBN與∠MPN互補(bǔ)，PM=PN，連接PB、PB=6，∠MBN=120°，則四邊形PMBN的面積是多少? 對(duì)于變式3和變式4的解法，請(qǐng)有興趣的讀者類比前面的思路1和思路2進(jìn)行探究，這里不再贅述.

教學(xué)啟示教材中的課后習(xí)題許多具有極高的研究探索價(jià)值，教師在教學(xué)的過程中不能就題論題，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目的內(nèi)涵，充分發(fā)揮習(xí)題的價(jià)值.正如上面的案例，是對(duì)教材習(xí)題的一個(gè)變式探究活動(dòng)，如果一線數(shù)學(xué)教師能在課堂中進(jìn)行上述變化，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟數(shù)學(xué)的魅力，其效果是不言而喻的.同時(shí)它的價(jià)值更在于讓學(xué)生理解知識(shí)的起源以及用什么方法和在什么地方運(yùn)用它們，可以建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).通過使用變式，幫助學(xué)生形成了概念，解決了問題，構(gòu)建了一個(gè)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng).

教材是知識(shí)點(diǎn)的精華與濃縮，是專家從大量的“原材料”中經(jīng)過仔細(xì)斟酌、篩選、檢驗(yàn)、考證后才形成的“ 產(chǎn)品”，具有較強(qiáng)的典型性，有極高的研究價(jià)值.只要一線教師注意對(duì)例習(xí)題進(jìn)行創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，包括對(duì)題目的選擇、挖掘、引申、改編，就一定能取得理想的教學(xué)效果.實(shí)踐證明許多數(shù)學(xué)問題可謂題在書外，根在書內(nèi)，是教材內(nèi)容的延伸.作為一線教師，要能引導(dǎo)學(xué)生的思維從教材延伸至遠(yuǎn)處，再從遠(yuǎn)處回歸到教材，這也是教材的最終意義.