從一個輪子悖論談起

山東省聊城市第六中學 (郵編：252000)

1 問題呈現(xiàn)

圖1

如圖1所示，亞里士多德說：有兩個大小不等的同心圓，半徑分別為R和r(R>r).大⊙O從A點出發(fā)，沿直線L1滾動一周到A1，線段AA1的長度應(yīng)等于大⊙O的周長2πR.大⊙O和小⊙O是固定在一起的同心圓，大⊙O滾動一周，小⊙O也滾動一周，這樣就應(yīng)該有BB1=2πr.因為AA1=BB1，所以2πR=2πr，得R=r.它表明大⊙O和小⊙O大小相等.這當然不可能！可問題出在哪兒呢？

上述問題被稱為亞里士多德輪子悖論(見文[1]).再次激起筆者對該問題的思考，有兩個原因：

(1)文[1]雖提到該悖論問題，但未做深入剖析，故進一步探究可彌補文[1]中此項教學資源之不足，從而更好地滿足各種教學需求.

圖2

基于以上原因，筆者也談一點粗淺認識，供同行參考.

2 分析探究

圖3

如果把大⊙O在直線L1上的滾動分解為該圓隨圓心O的平動(這里的平動指圓內(nèi)任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變)和繞圓心O的轉(zhuǎn)動，那么大⊙O的平動如圖1所示，大⊙O的轉(zhuǎn)動如圖3所示(注：圓轉(zhuǎn)動時，圓與直線的不同切點間依次變動的方向與圓本身轉(zhuǎn)動的方向相反).

顯然，小⊙O與大⊙O作為固定在一起的同心圓，也要進行相應(yīng)地平動和轉(zhuǎn)動.但問題是這兩個圓的運動狀態(tài)是否完全相同呢？輪子悖論的癥結(jié)何在？

對此，從以下幾個方面進行分析：

2.1 通過速度合成考察兩圓的滾動

圖4

2.2 通過圖形疊加考察兩圓滾動的路程

因為輪子在滾動過程中，其滾動可分解為平動與轉(zhuǎn)動，而這兩種分運動都會對圓的運動位置產(chǎn)生影響，所以為探尋兩種運動互相作用的結(jié)果，不妨以輪子轉(zhuǎn)動過程中的動點A為參照點，把同一時間段內(nèi)大⊙O與小⊙O所對應(yīng)的平動圖疊加到轉(zhuǎn)動圖上，如圖5中的實線部分所示.這樣，若從轉(zhuǎn)動的角度看平動，易知：大⊙O與小⊙O的平動過程對應(yīng)著兩個轉(zhuǎn)動，即當圖5中右下角的大⊙O與小⊙O均以點O為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向轉(zhuǎn)動角度θ時，圖5左上角的大⊙O與小⊙O則相應(yīng)地均以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向也應(yīng)轉(zhuǎn)動角度θ，而且后者使小⊙O沿小⊙A按逆時針方向滑動.再根據(jù)前面的分析結(jié)論，既然小⊙O在直線L2上有滑動現(xiàn)象，則由運動的相對性知，在同一段時間t內(nèi)，小⊙O在小⊙A上滑動的弧BB之長就等于小⊙O在直線L2上滑動的距離.因此，根據(jù)運動的獨立性原理，考察動點A(或B)分別到點A1(或B1)的移動路徑，會發(fā)現(xiàn)：

圖5

對于同一段時間t來說，圖1中動點A在時間t內(nèi)平動的路程AA1=圖5中點A沿大⊙O在時間t內(nèi)順時針方向轉(zhuǎn)動的弧AA1的長；圖1中動點B在時間t內(nèi)平動的路程BB1=圖5中小⊙O沿⊙A在時間t內(nèi)逆時針方向滑動的弧BB的長+圖5中點B沿小⊙O在時間t內(nèi)順時針方向轉(zhuǎn)動的弧BB1的長.根據(jù)前面的分析結(jié)論，因為大⊙O在直線L1上做無滑動的滾動，所以前者是顯然的，而后者可通過計算來驗證：線段BB1的長=線段AA1的長=弧AA1的長=Rθ=(R-r)θ+rθ=弧BB的長+弧BB1的長.特別地，當θ=2π時，該式仍成立.由此表明，輪子悖論的癥結(jié)在于忽視了小⊙O在滾動過程中所發(fā)生的滑動.

2.3 小⊙O的滑動為什么看不見？

因為在觀察大⊙O與小⊙O的滾動狀態(tài)時，一般將其分為平動和轉(zhuǎn)動兩種運動狀態(tài)，而且這兩個圓又是固定在一起的同心圓，所以在這兩種運動狀態(tài)下，它們的平動速度相同，轉(zhuǎn)動的角速度也相同.因此，如果將這兩種運動狀態(tài)割裂開來，只是單純地從平動速度v0或轉(zhuǎn)動角速度ω上來考察兩個圓的滾動情況，當然是看不出差別的.這樣一來，根據(jù)大⊙O做無滑動的滾動，就容易誤認為小⊙O也是做無滑動的滾動.可見，看不出小⊙O的滑動現(xiàn)象，是因為觀察的角度太片面，且缺乏深入分析所造成的.

3 拓展延伸

前面對輪子悖論的分析表明，隨著時間t的延續(xù)，小⊙O在滾動過程中自始至終都有滑動現(xiàn)象.不僅如此，如果把小⊙O的半徑r視為變量(0

動點B在時間t內(nèi)平動的路程=該點B在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)動的路程與其滑動的路程之和.(*)

筆者指出，結(jié)論(*)不僅當大⊙O在直線軌道上滾動時成立，而且當大⊙O在圓弧形曲線軌道上滾動時也成立.現(xiàn)分析如下：

3.1 當大⊙O在圓弧形軌道(令其半徑為d)上滾動時

為方便起見，不妨設(shè)大⊙O沿圓弧形軌道恰好滾動了一周(所謂圓滾動一周是指，圓上的每一點(起始點除外)有且僅有一次作為圓與軌道的公切點)，且把圓的滾動分解為沿圓弧形軌道的平動和繞圓心的轉(zhuǎn)動兩種運動形式，并分成下列兩種情況進行討論：

圖6

圖7

3.2 當大⊙O繞一點旋轉(zhuǎn)時

不妨設(shè)大⊙O繞點A旋轉(zhuǎn)過的角度為θ，并把該旋轉(zhuǎn)分解為平動和轉(zhuǎn)動兩種運動狀態(tài)，如圖8所示.那么，若以轉(zhuǎn)動的觀點看平動，由圖8可見：大⊙O和小⊙O隨其圓心分別平動到大⊙O1和小⊙O1的位置，相當于除了兩個圓繞點A的轉(zhuǎn)動外，還伴隨著發(fā)生了兩個圓繞點O的轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動的角度均為θ).因此，類比前面的結(jié)論，可進一步得到：從點A到A1，點A只有轉(zhuǎn)動而無滑動，且點A轉(zhuǎn)動的弧AA1的長=Rθ，但從點B到B1，點B既有轉(zhuǎn)動又有滑動，且該點轉(zhuǎn)動與滑動的路程之和=rθ+(R-r)θ=Rθ；另外，還易知點A、B分別平動到點A1、B1時，其平動的路程相等，即弧AmA1的長=弧BmB1的長=弧OmO1的長=Rθ，故當大⊙O繞一點A旋轉(zhuǎn)時，結(jié)論(*)仍成立.

圖8

3.3 當大⊙O與軌道上不同的點同時接觸時

圖9

如圖9所示，當大⊙O與軌道上不同的點A、B、C同時接觸時，因為這一時刻所持續(xù)的時間t=0，所以大⊙O(包括小⊙O)在這段軌道(從點A到點C)上不可能發(fā)生任何形式的運動.因此，(*)式兩端的各部分路程均可視為0，故結(jié)論(*)仍成立.但是需要指出，當大⊙O進入或離開這段軌道時，它在該軌道兩端點A(或C)上有可能發(fā)生旋轉(zhuǎn)，而由上述分析知，這種旋轉(zhuǎn)發(fā)生與否，結(jié)論(*)均成立.

顯然，對于平面上的曲線軌道而言，如果它是由圓弧形的軌道和直線形的軌道連接而成的，那么當大⊙O(包含小⊙O)在這樣的軌道上滾動時，除上述已討論過的幾種情況外，不可能再有其它情況.因此，綜合上述各個結(jié)論知，當大⊙O在由圓弧和直線(或線段)連接而成的平面曲線軌道上滾動時，結(jié)論(*)都成立.這表明結(jié)論(*)深刻反映了輪子滾動問題的本質(zhì)，從而它也透徹地揭示了輪子悖論背后所隱藏的秘密.