高中數學核心素養(yǎng)之“數學模型”能力培養(yǎng)案例探析

安徽省蚌埠市第九中學 (郵編：233000)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出：“數學核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的. 高中階段數學核心素養(yǎng)包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數學分析.這些數學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.”

隨著新時代教育信息化的迅速發(fā)展，應用數學知識解決實際問題成為數學教育發(fā)展的趨勢. 數學核心素養(yǎng)能力培養(yǎng)的最重要的形式——數學建模，是利用所學知識，通過建立數學模型解決生活中的實際問題. 通過抽象建立能近似地刻畫并“解決”生活問題的一種強有力的數學手段. 通過運用數學思維去觀察、分析內在規(guī)律以及用數學的符號和語言作表述來建立各事物之間的關系，從社會生活的具體情境問題中抽象出與我們所學習過的的數學模型，進而實現利用數學模型來解決實際問題的目的[1]. 主要過程包括：在實際情境中從數學的角度發(fā)現問題、提出問題、分析問題、構建模型、求解、驗證結果并修整和重新構造出新模型，最終解決實際問題[2].

筆者認為，要想提高學生核心素養(yǎng)，首先要提高學生數學建模能力[3]. 如何在高中數學課堂教學中滲透數學模型核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，值得一線數學教師思考與討論. 下面就從數學建模案例出發(fā)，淺談一下學生核心素養(yǎng)的根植與培養(yǎng).

1 三角函數模型的建構與應用

三角函數建模方式有兩種：一是三角函數中的“形”的問題借助“數”來突破；二是三角函數中“數”的問題借助“形”來突破.

常見三角函數模型有：(1)正弦型函數模型y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)；(2)余弦型函數模型y=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)；(3)正切函數模型y=Atan(ωx+φ)+b(A>0,ω>0).

(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間．

探析本題屬于三角函數中“數”的問題. 凡是三角函數中求函數的定義域、值域、最小正周期、函數的最值、單調性等，都是通過構建已學過的正弦型、余弦型和正切型函數模型來解答.

2 立體幾何模型的建構與應用

立體幾何的研究對象都是從現實生活中抽象出來的，因此在教學過程中，教師應該多強調數學建模的學習價值，引導學生親自經歷運用數學建模方法探索與解決一些生活、生產中的實際問題，積累用數學方法解決實際問題的一些經驗，既能提高學生學習數學興趣和積極性，又能發(fā)展學生的數學建模核心素養(yǎng)[4]. 常見幾何體油箱、水壩等有關空間問題轉化為立體幾何模型去求解，往往使得問題迎刃而解. 空間幾何體模型，例如長方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關系，就是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的直觀載體.模型建構的過程是培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)的有效載體，模型建構教學是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的重要途徑.

例2(2016年江蘇卷理科第17題-倉庫存儲容積模型) 現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部分的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖1所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的四倍.

圖1

(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？

模型建構探析從(2)的問題出發(fā)，以PO1為自變量建立體積的函數關系式. 已知兩種幾何體的底都是正方形，將正四棱錐的高于底面邊長聯系起來，先用PO1=h分別表示正方形邊長

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2·OO1=62×8=288(m3).

所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).

(2)設A1B1=a(m),PO1=h(m)，則0

所以可得a2=2(36-h2).

下面利用導數或不等式放縮不難求出其最值.

素養(yǎng)教學評析試題給出的是倉庫的容積計算，從數學的視角發(fā)現該實物實際就是正四棱錐和正四棱柱，學生很容易就能運用已有的數學模型，構建解決問題的兩個體積之和求算倉庫體積. 本題綜合考查了函數的概念和導數的應用、棱柱和棱錐的體積等基礎知識. 從高考試題的考查形式來看，學生的數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)是迫在眉睫，考查空間想象能力和運用數學知識分析、解決實際問題的能力。這些能力的凸顯就是核心素養(yǎng)的落腳點.

3 向量模型構建與應用

涉及空間角度問題時，可以通過建立向量模型，借助空間向量運算來解決問題.

(1)求二面角B-PD-A的大小；(2)求證：M為PB的中點；

(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

圖2 圖3

向量模型應用分析本題考查直線與平面平行的性質，平面與平面垂直的性質，直線與平面所成的角，二面角的平面角及求法. (2)取AD中點G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性質可得PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,再證明OG⊥AD．以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，求出平面PBD與平面PAD的一個法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小；

解析(1)略;(2)取AD中點G，由PA=PD，得PG⊥AD，因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，

設平面PBD的一個法向量為m=(x,y,z),

取平面PAD的一個法向量為n=(0,1,0)．

故二面角B-PD-A的大小為60°；

立體幾何的教學是高中數學教學中的難點，而立體幾何教學的根本目的在于培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，其中關鍵在于提高學生的空間想象力，增強空間感知能力．為了實現這個目標，我們需要在直觀想象的基礎上培養(yǎng)學生的理性推理論證能力，借助理性思維來提高對空間量的感知力，并用科學的眼光分析空間問題．要幫助學生豐富和積累解決空間問題的典型模型和經驗，通過線面位置關系的等價轉化來抽象數學問題，提高解決問題的效率. 在空間想象能力一時無法發(fā)揮作用時，要引導學生通過空間向量的輔助功能來增強想象力，充分發(fā)揮直觀想象和空間向量各自的優(yōu)勢，以此來科學而有效地分析空間幾何體的數量關系．

4 構造函數模型解決不等式問題

例4(2017年江蘇卷)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值，且導函數f′(x)的極值點是f(x)的零點．(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)

(1)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；

(2)證明：b2>3a；

核心素養(yǎng)下構造函數案例教學解讀：本題研究函數的性質，如單調性、極值及零點問題，然后通過數形結合的思想找到解題的思路，最為關鍵的一點還是多次構造函數模型來解決問題.所以說數學模型構造水平是核心素養(yǎng)培養(yǎng)下的一個非常重要的落腳點.

5 解析幾何中的最值模型

圖4

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值.

解析(Ⅰ)由題可知

故直線AP斜率的取值范圍是：(-1，1).

所以|PA|·|PQ|=(1+k)3(1-k),

通過數學模型案例探析教學活動，學生的數學運算、邏輯思維能力、數學分析、空間直觀想象等幾個核心素養(yǎng)在模型建構中也會有充分的體現[6]. 應用數學的意識肯定能得到逐步增強. 可以說六大核心素養(yǎng)是蘊含在模型建構教學的整個過程中的，因此數學模型建構教學是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的重要途徑.