商榷2018年高考題中表述欠嚴謹?shù)?0道題

北京豐臺二中 (郵編：100071)

一年一度的高考是考生、老師、家長、學校乃至全社會關注的重點話題．2018年的高考已塵埃落定，筆者作為一名高中數(shù)學老師，也抓緊時間認真鉆研了本年度的高考數(shù)學真題(文理共計13套，其中上海、浙江文、理同卷，江蘇文、理除附加題外同卷)，發(fā)現(xiàn)了它們有試題常規(guī)(多考計算)、情景新穎、杜絕偏怪、難度在降低等特點，這也與新課改之精神、教育乃培養(yǎng)人的活動、數(shù)學本來應當是人人能夠喜愛的美的科學合拍．但筆者發(fā)現(xiàn)有20道高考題在表述上欠嚴謹：雖然原題不會太影響考生正確答題，但作為高考題的權威性及引用的廣泛性，還是要注意表述上的嚴謹．

筆者發(fā)表的文獻[1]-[4]分別對2017,2016,2015,2014年的高考題在表述上欠嚴謹之處也作了商榷.

1 全國卷I

題1(2018年高考全國卷I理科第20題)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0；

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．

(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

商榷(1)因為現(xiàn)行高中數(shù)學教材(人民教育出版社·A版)中沒有介紹最大值點的概念(給出了極大值點、極小值點、極值點的概念)，所以建議把第(1)問改為“(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),若函數(shù)f(p)的最大值是f(p0),求p0的所有值；”.

(2)建議把這道題目中的“EX”改為“E(X)”，這樣才與現(xiàn)行新課標教材“普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學·選修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版)”一致．在以前的大綱教材“全日制普通高級中學教科書《數(shù)學·第三冊(選修II)》(2006年人民教育出版社)”中使用的記號是“Eξ,Dξ”，在而后的新課標教材中使用的記號是“E(ξ),D(ξ)”，這是否說明了記號“E(ξ),D(ξ)”更科學呢？筆者認為就是這樣的：記號“E(ξ),D(ξ)”的含義類似于函數(shù)記號“f(x)”，把“E、D”理解為“對應法則f”更科學．

(1)討論f(x)的單調性；

商榷本題與下面的一道高考題如出一轍(這對于高考有失公平)：

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

題3(2018年高考全國卷I理科第22題)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y=k|x|+2．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ-3=0．

(1)求C2的直角坐標方程；

(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．

商榷建議把這道題中的“正半軸”改為“非負半軸”.對2005年高考廣東卷第20題也有這種建議.

2 全國卷II

題4(1)(2018年高考全國卷II文科數(shù)學第10題)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是減函數(shù)，則a的最大值是

(2)(2018年高考全國卷II理科數(shù)學第10題)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù)，則a的最大值是

商榷建議把題4(1)中的“在[0,a]是減函數(shù)”改為“在[0,a]上是減函數(shù)”；把題4(2)中的“在[-a,a]是減函數(shù)”改為“在[-a,a]上是減函數(shù)”.否則，語句不通.

(1)若a=3,求f(x)的單調區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個零點．

商榷建議把題中的“只有一個零點”改為“有且只有一個零點”.

3 全國卷III

題6(2018年全國卷III文科、理科第23題)設函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|．

(1)在圖1中畫出y=f(x)的圖象；

圖1

(2)當x∈[0，+∞)時，f(x)≤ax+b,求a+b的最小值．

圖2

(2)由(1)知，當x∈[0，+∞)時，y=f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且兩部分所在直線斜率的最大值為3,所以當且僅當a≥3且b≥2時，f(x)≤ax+b在[0,+∞)時成立，因此a+b的最小值為5．

商榷建議把以上參考答案末的“f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立”改為“f(x)≤ax+b在[0,+∞)時成立”(否則，語句不通).

題7(2018年全國卷III理科第8題)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立，設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2.4,P(X=4)

A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3

商榷建議把這道題目中的“DX”均改為“D(X)”，理由同題1的商榷(2).

商榷建議把題目中的“在[0，π]的零點個數(shù)”改為“在[0，π]上的零點個數(shù)”(否則，語句不通).

圖3

(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)當三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

商榷建議把題目末的“面MAB與面MCD”改為“平面MAB與平面MCD”.

4 北京卷

題10(1)(2018年高考北京卷文科第4題)設a、b、c、d是非零實數(shù)，則“ad=bc”是“a、b、c、d成等比數(shù)列”的( )

(A)充分而不必要條件

(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件

(2)設a、b均為單位向量，則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )

(A)充分而不必要條件

(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件

商榷建議把這兩個小題的前三個選項分別改為“(A)充分不必要條件、(B)必要而不充分條件、(C)充要條件”，這樣與普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學·選修2-1·A版·教師教學用書》(人民教育出版社，2007年第2版第11頁習題1.2A組第3題的答案一致.

題11(2018年高考北京卷文科、理科第8題)設集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則( )

(A)對任意實數(shù)a,(2,1)∈Z

(B)對任意實數(shù)a,(2,1)?A

(C)當且僅當a<0時，(2,1)?A

題12(2018年高考北京卷文科第15題)設{an}是等差數(shù)列，且a1=ln2,a2+a3=5ln2.

(1)求{an}的通項公式；

(2)求ea1+ea2+…+ean.

解(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.

由a2+a3=5ln2,可得2a1+3d=5ln2.

再由a1=ln2,可得d=ln2.所以an=a1+(n-1)d=nln2.

(2)由(1)的答案數(shù)列{an}的通項公式為an=nln2,可得ean=enln2=(eln2)n=2n,所以

ea1+ea2+…+ean=eln2+eln22+…+eln2n=2+22+…+2n=2n+1-2.

商榷筆者認為，對于文科試卷的首道解答題，第(2)問有難度：在解答“enln2=(eln2)n=2n”中需要逆用冪的乘方公式(am)n=amn及考生不太熟悉的對數(shù)恒等式alogaN=N(且這里是其特例：elnN=N).

建議在第(2)問末給出“參考公式：alogaN=N”.

(1)求f(x)的最小正周期；

解可得

商榷筆者認為，官方(北京教育考試院)給出的第(2)問的參考答案：

……

題14(2018年高考北京卷理科第17題)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設所有電影是否獲得好評相互獨立.

(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

(3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關系.

商榷(1)建議把這道題目中的兩處“電影公司”均改為“某電影公司”.

(2)建議把這道題目中的“第一類、第二類、第三類、第四類、第五類、第六類”分別改為“第1類、第2類、第3類、第4類、第5類、第6類”，否則第(3)問中的“第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6)”與題設不符.

(3)建議把這道題目及其解答中的“Dξ,Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6”分別改為“D(ξ),D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)”，理由同題1的商榷(2).

5 上海卷

(1)當x在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

(2)求該地上班族S的人均通勤時間y2=8x(0≤x≤t,y≥0)的表達式；討論y2=8x(0≤x≤t,y≥0)的單調性，并說明其實際意義.

商榷建議把題目中的“單日”改為“當日”(因為單日與雙日是一對詞).

還建議把題目中的“(1)當x在什么范圍內時”改為“(1)當且僅當x在什么范圍內時”，否則答案不確定：答案可以是(45,100)的任意非空子集.

題16(2018年高考上海卷第21題)給定無窮數(shù)列{an},若無窮數(shù)列{bn}滿足：對任意n∈N*,都有|bn-an|≤1,則稱{bn}與{an} “接近”.

(1)設{an}是首項為1，公比為n∈N*的等比數(shù)列，bn=an+1+1,n∈N*,判斷數(shù)列{bn}是否與{an}接近，并說明理由；

(2)設數(shù)列{an}的前四項為：a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{bn}是一個與{an}接近的數(shù)列，記集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的個數(shù)m；

(3)已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列{bn}滿足：{bn}與{an}接近，且在b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100個為正數(shù)，求d的取值范圍.

商榷建議把題目中沒有打引號的“接近”(共3處)帶引號的“接近”，因為兩者的含義不同.

6 浙江卷

商榷建議把題中的“設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)”改為“設雞翁，雞母，雞雛只數(shù)”.

7 江蘇卷

商榷建議把題中的“以AB為直徑的圓C”改為“以AB為直徑的圓(其圓心為點C)”.因為“圓C”中的C指的是曲線(即圓)而不是點(即圓心).

題19(2018年高考江蘇卷第14題)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列{an}．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn>12an+1成立的n的最小值為______．

商榷建議把題中的“{x|x=2n-1,n∈N*}”改為“{2n-1|n∈N*}”，“{x|x=2n,n∈N*}”改為“{2n|n∈N*}”，“記Sn為數(shù)列{an}的前n項和”改為“記Sm為數(shù)列{an}的前m項和”.

前兩處改動的目的是簡潔(數(shù)學的表述應當盡可能簡潔)，對第三處改動的原因說明如下：

題中的敘述“記Sn為數(shù)列{an}的前n項和”很流行(教材也是這樣敘述的)，但這里三個“n”含義不同：

第一個“n”和第三個“n”的含義相同(表示同一個數(shù)或同一個變量)，但它們與第三個“n”的含義不同：“{an}”中的“n”指數(shù)列{an}的第n項(即通項)an中的變量；即使第一個“n”和第三個“n”均表示同一個變量時，與“{an}”中的變量“n”含義也不同(可取不同的值).

因而，第三處的改動是必須的(同一句話中的三個“n”表示的含義不全相同，是多么的匪夷所思呀).也建議這種流行的錯誤敘述(包括教材)盡早更改過來.

題20(2018年高考江蘇卷第20題)設{an}是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列，{bn}是首項為b1,公比為q的等比數(shù)列．

(1)設a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1對n=1,2,3,4均成立，求d的取值范圍；