“多彩、互動(dòng)、高效”微專題教學(xué)
——以“有關(guān)組合數(shù)的求和問(wèn)題”為例探究

江蘇省徐州市第一中學(xué) (郵編：221000)

1 問(wèn)題的背景

江蘇高考卷在2016年，2017年附加題23題都考查了有關(guān)組合數(shù)的求和問(wèn)題，借助該題型考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)基本知識(shí)，基本方法，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.從考的情況看，學(xué)生掌握得很不好，得分率很低.這類題型在平時(shí)質(zhì)檢卷23題的位置直接出現(xiàn)和與計(jì)數(shù)原理問(wèn)題等綜合出現(xiàn)的概率高達(dá)二分之一以上.學(xué)生反應(yīng)，看到這類題，就懵，感覺(jué)無(wú)從下手.

筆者將高二階段、高三一輪復(fù)習(xí)階段的練習(xí)題和考試題進(jìn)行仔細(xì)篩選，重新組織，設(shè)計(jì)了一節(jié)二輪復(fù)習(xí)微專題——“有關(guān)組合數(shù)的求和問(wèn)題”.由高考題導(dǎo)入，采用題組呈現(xiàn)、一題多解、一題多變、問(wèn)題串、小組討論等豐富多彩的方式，讓學(xué)生們多思考、多動(dòng)手、多討論、多總結(jié).在知識(shí)和方法上，努力讓學(xué)生達(dá)到融匯貫通、舉一反三的程度；在核心素養(yǎng)上，努力提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2 課堂引入

教師：這道題是前一天的作業(yè)，第一問(wèn)都會(huì)，第二問(wèn)同學(xué)的做法大多是數(shù)學(xué)歸納法，方法同標(biāo)準(zhǔn)答案，不同的是在證明n=k+1時(shí)的情況處理上，大家采用的是分析法書寫(要證……,只要證……)，由要證的結(jié)果倒推，想法自然，運(yùn)算難度降低不少.

教師：還有沒(méi)有其他做法？第二問(wèn)的每一項(xiàng)結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)，上標(biāo)，下標(biāo)，前面的系數(shù)？第一問(wèn)有什么作用？

教師：大家動(dòng)手試一試.

右邊.

設(shè)計(jì)意圖由2016年江蘇高考題23題引入，引起學(xué)生對(duì)該類題的重視，方法上也復(fù)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法和組合數(shù)的常用性質(zhì)和結(jié)論.然后以課本書后習(xí)題作為鞏固練習(xí)，一方面是檢測(cè)學(xué)生對(duì)剛剛講過(guò)的高考題第二問(wèn)思路二的掌握程度，并加深印象.一方面也因?yàn)檫@是道母題，經(jīng)常是復(fù)雜組合數(shù)求和的關(guān)鍵步，也是學(xué)生容易卡住的地方.最后自然而然地進(jìn)入了該節(jié)課的探究中：還有哪些常考類型？還有哪些常用方法？

3 例題講解

題型一逆用二項(xiàng)式定理求和

教師：(1)(2)兩題是二項(xiàng)式系數(shù)很重要的性質(zhì)，大家一定要熟練記憶.2018年徐州二模的23題，求和關(guān)鍵就是(1)(2)兩題的變式，見(jiàn)變式1—4.變式5出處是平時(shí)練習(xí)中學(xué)生沒(méi)吃透的題.

教師：大家小組討論，這道求和題通項(xiàng)形式是什么？二項(xiàng)式定理可以解決哪類組合數(shù)求和問(wèn)題？并舉一些例子.

注問(wèn)題變式1、3、4答案分別為：

題型二“各項(xiàng)下標(biāo)相同，上標(biāo)不同”問(wèn)題

生二:由組合數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合等差數(shù)列的求和方法——倒序相加法，可得.

教師：將系數(shù)變?yōu)槠椒叫问?，如何求和?/p>

生二:聯(lián)想問(wèn)題3的構(gòu)造法，在求導(dǎo)之后式子兩邊乘以x后，兩邊再求導(dǎo)，再兩邊令x=1,可得.

教師：完全正確，將未知的問(wèn)題劃歸為已知的問(wèn)題，大家邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力很不錯(cuò).如果將系數(shù)變?yōu)榱⒎叫问?，是不是可以類似可得?/p>

教師：這題是2018年南京一模的23題，結(jié)合變式1的做法，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)思路？

下面結(jié)合問(wèn)題3的構(gòu)造法和變式1的構(gòu)造法可得.

教師：很好，請(qǐng)大家課后將該題做在作業(yè)本上.

注答案為(n2+5n+4)·2n-2.

題型三“各項(xiàng)上標(biāo)相同，下標(biāo)不同”問(wèn)題

生一：利用

得

生三:構(gòu)造，算兩次思想

構(gòu)造(x+1)n-1+2(x+1)n-2+…+(n-2)(x+1)2,

所求即為上式中x2的系數(shù).再由錯(cuò)位相減求和得上式

教師：例3與2016年江蘇卷所考一題類型一致，各項(xiàng)上標(biāo)相同，下標(biāo)不同.兩類題的解決都有多種方法，大家課后認(rèn)真消化.

題型四各項(xiàng)是組合數(shù)相乘的形式

學(xué)生：構(gòu)造，算兩次思想

為所求的式子.

教師：該題是蘇教版選修2-1課本43頁(yè)17題閱讀題，主要介紹算兩次的方法.計(jì)數(shù)原理法出自于課本二項(xiàng)式定理的證明方法，學(xué)生沒(méi)有想起來(lái)，但方法很簡(jiǎn)潔，漂亮.要了解.

生二:聯(lián)想問(wèn)題3的倒序相加法，可得所求.

題型五各項(xiàng)出現(xiàn)了(-1)n

簡(jiǎn)析構(gòu)造，算兩次思想

簡(jiǎn)析裂項(xiàng)求和法.因?yàn)楫?dāng)r=1,2,…時(shí)，

4 教后反思

這堂課所有題學(xué)生都做過(guò)，但分布在各張?jiān)嚲砩希R(shí)和方法都非常零散，不便于比較，消化，吸收.微專題教學(xué)的設(shè)計(jì)就很好地彌補(bǔ)了這個(gè)問(wèn)題.具體操作：引入和例題是前一天發(fā)給學(xué)生，要求做完.上課時(shí)讓學(xué)生們展示他們各種各樣的方法，然后通過(guò)問(wèn)題串、變式題將他們的思維進(jìn)一步深化和整合.目的是下次碰到類似題能夠較快地找到優(yōu)美解法，解決問(wèn)題.

但真正上課才發(fā)現(xiàn)，雖然這些題學(xué)生都做過(guò)，但變式題學(xué)生做的并沒(méi)有想象中好，我認(rèn)為老師講遠(yuǎn)沒(méi)有學(xué)生自己思考出來(lái)收獲大，所以我有意識(shí)把速度放慢，多給學(xué)生“想一想，做一做，議一議”的時(shí)間.一節(jié)課的內(nèi)容，我拆成了一節(jié)半課講完，第二節(jié)課最后半節(jié)課留給學(xué)生自主整理、談?wù)摵痛鹨?課后和部分學(xué)生進(jìn)行溝通，學(xué)生反映這節(jié)課收獲頗多，對(duì)這類題常見(jiàn)類型和方法也有了較深刻的理解，大部分的題也基本沒(méi)問(wèn)題.但是課后還要定期通過(guò)復(fù)習(xí)和做題去鞏固提升.

高三中后期，將重要考點(diǎn)和頻繁考點(diǎn)通過(guò)微專題的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，在不斷提升了學(xué)生對(duì)中檔題和難題的掌握程度的同時(shí)，也不斷提升了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但要關(guān)注一個(gè)“慢”字.在“慢”中老師要耐心傾聽(tīng)、平等對(duì)話、追根溯源，讓學(xué)生充分思考、充分表達(dá)、充分消化，這樣才能收獲幸福、收獲精彩、收獲奇跡！