關(guān)于函數(shù)域中指數(shù)和的界

黎 嬌，曹亞萌，李國全

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

1 引言及主要結(jié)論

本文中使用的符號(hào)及定義可詳見文獻(xiàn)[1-4].設(shè)Fq為一個(gè)含有q個(gè)元的有限域，其特征為p.Fq[t]為Fq上的一元多項(xiàng)式環(huán).設(shè)K=Fq（t）為Fq[t]的商域.對(duì)f/g∈K，定義其范數(shù)為|f/g|=qdegf-degg，此處約定deg 0=-∞，|0|=0.K在此范數(shù)下的完備化為K∞=Fq（（t-1）），即關(guān)于t-1的形式Laurent級(jí)數(shù)域.因此，對(duì)于ξ∈K∞，存在n∈Z與Fq中的序列，適合當(dāng)時(shí)，記 ord ξ=n.特別地，當(dāng) ξ∈Fq[t]時(shí)，ord ξ=deg ξ.此外，約定 ord 0=-∞，則對(duì)一切 ξ∈K∞，有|ξ|=qordξ.稱為ξ的小數(shù)部分；稱a-1為ξ的留數(shù)，記為 res ξ.

對(duì) N∈N，記GN={x∈Fq[t]：ord x＜N}，則其基數(shù)為|GN|=qN.

記T={α∈K∞：|α|＜1}，則T為 K∞的一個(gè)緊子群.用dξ表示K∞上正規(guī)的Haar測度，適合.

記 tr：Fq→Fp為跡映射，定義 eq：Fq→C×為：?a∈，則eq為Fq上一個(gè)非平凡的加法特征.利用eq可定義一個(gè)指數(shù)函數(shù)e：K∞→C×，?ξ∈K∞，e（ξ）=eq（res ξ）.對(duì)k、M∈N+，2≤k＜p，定義指數(shù)和.

近年來，關(guān)于指數(shù)和的研究受到相關(guān)學(xué)者的關(guān)注[5-8].其中，文獻(xiàn)[6]利用對(duì)|SM，2（α）|6的一個(gè)積分估計(jì)建立了關(guān)于2次冪的Sárk?zy型理論，但文獻(xiàn)[6]中并沒有給出對(duì)這個(gè)積分估計(jì)的證明.本文研究關(guān)于指數(shù)和SM，k的更一般的界，對(duì)|SM，k（α）|r的積分進(jìn)行估計(jì)，并利用這個(gè)結(jié)果界定了齊次方程xk1+…+xkl=yk1+…+ykl（xi、yi∈Fq[t]，?1≤i≤l）的解數(shù).

定理設(shè)r∈R，r＞2k，則存在只依賴于q、k、r的常數(shù)C＞0，使得.

設(shè)l∈N+，對(duì)于Fq[t]上2l元齊次方程

本文利用定理結(jié)果與關(guān)于指數(shù)函數(shù)e（·）的一個(gè)正交關(guān)系，得到了在 xi、yi∈GM（1≤i≤l）的限制下，這個(gè)方程解數(shù)上界的估計(jì)：

推論1設(shè)l∈N，l＞2k-1.存在只依賴于 q、k與l的常數(shù)C′＞0，使得

對(duì)于SM，k的加權(quán)形式·e（xkα），本文利用推論 1 估計(jì)了的上界：

推論2設(shè)l∈N，l＞2k-1.存在只依賴于q、k與 l的常數(shù)C″＞0，具有下列性質(zhì)：設(shè)N∈N，α∈T，如果-N≤ord α ＜-kM+k，則.

文獻(xiàn)[6]的Lemma 9即為推論2在k=2與l=3時(shí)的特殊情形.

2 主要結(jié)論的證明

首先給出一些引理.

引理1[2]（1）對(duì) x∈Fq[t]，有

（2）對(duì) N∈N+與 ξ∈K∞，有

對(duì)于 x、y∈Fq[t]，當(dāng) x、y不同時(shí)為 0 時(shí)，以（x，y）表示x與y的首系數(shù)為1的最大公因式.特別的，（x，y）=1當(dāng)且僅當(dāng)x與y互素.

引理2[2（]Dirichlet原理） 設(shè)N∈N+，?α∈T，?（x，y）∈Fq[t]2，滿足下列條件：

（1）y首系數(shù)為 1，ord y≤N.

（2）ord x ＜ ord y，（x，y）=1.

應(yīng)用引理2可得引理3.

引理3（1）設(shè) x、x′、y、y′∈Fq[t]，如果 x/y、x′/y′∈A，則當(dāng)且僅當(dāng) x/y=x′/y′.

引理4[5]存在僅依賴于q與k的常數(shù)C1＞0，具有下列性質(zhì)：設(shè) α∈T，如果|α|＜q-(k-1)(M-1)，則C1qM（1+qk(M-1)|α|）-1/k.

引理5[2]?ε＞0，存在僅依賴于q、k與ε的常數(shù)C2＞0，滿足：

引理6[2]（1）設(shè) x/y∈A，如果 M（x，y）為一個(gè)優(yōu)弧，則?α∈M（x，y），有

（2）存在只依賴于k的常數(shù)C3＞0，具有下列性質(zhì)：設(shè)，如果（x，y）=1，則|S（x，y）|≤C3|y|1-1/k.

引理7存在只依賴于q與k的常數(shù)C4＞0，具有下列性質(zhì)：設(shè)x/y∈A，如果M（x，y）為一個(gè)優(yōu)弧，則

證明由引理6可得

由于|α-x/y|＜q-(k-1)M|y|-1≤q-(k-1)M，應(yīng)用引理 4 可得

因此，取C4=C1C3即可.

引理8設(shè)r∈R，r＞2k，則存在僅依賴于q、k與r的常數(shù) C5＞0，使得

證明設(shè)y首系數(shù)為1，有

此處，C5′＞0只與 q、k、r有關(guān).

此處，C5″＞ 0只與 q、k、r有關(guān).

引理9設(shè)r∈R，r＞2k，則存在只依賴于q、k與r的常數(shù)C6＞0，使得

證明首先，由積分性質(zhì)有

對(duì) ε=2-k應(yīng)用引理 5（2），有，其中C2′＞0只與q、k有關(guān).

由于 r＞2k，2-kr-1＞0.對(duì) ε=2-kr-1 應(yīng)用引理 5（1），有，其中常數(shù) C2″＞ 0 只與 q、k、r有關(guān).

定理的證明依次應(yīng)用引理8與引理9，可得

因此，取C=C5+C6即可.

推論1的證明

由引理 1（1）可得

由于2l＞2k，對(duì)r=2l應(yīng)用定理即可.

推論2的證明

由于

由推論1可得