高中數(shù)學(xué)排列組合問題解題策略研究

姚剛

[摘 要]排列組合是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點，同時也是高考的重要內(nèi)容.但是.不少學(xué)生很難掌握排列組合的相關(guān)知識.要破解排列組合問題學(xué)習(xí)難點，熟練掌握好相關(guān)的解題模型策略固然重要，但以“完成這件事”為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型才是關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞]排列組合問題；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)研究

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）26-0034-02

排列組合是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個重要組成部分.由于排列組合極具抽象性，使之成為高中數(shù)學(xué)中“教”與“學(xué)”的難點.第一，教師沒有詳細(xì)和透徹講解排列組合的原理，更多時候把重點放在解題方法上，忽略了原理的生成，導(dǎo)致學(xué)生在運用過程中出現(xiàn)遺漏、重復(fù)或者無法分類的情況；第二，教師在講解排列組合時，更多的是運用解題“模型”，忽略了模型的來源，導(dǎo)致學(xué)生碰到“模型”以外的類型，就束手無策.筆者認(rèn)為，排列組合中解題的常規(guī)“模型”的策略固然重要，但能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為可操作的數(shù)學(xué)模型更重要，這也是排列組合的本質(zhì)，也是我們高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的核心素養(yǎng)之一.首先介紹一下常見的解題模型策略.

1.特殊元素（位置）優(yōu)先策略

對于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題，經(jīng)常用“特殊”先入手，先滿足特殊元素或位置，再去排其他元素或位置.

2.“組”“排”混合，先選后排

對于排列、組合的混合問題，特別是元素比較多的情況下，一般先選元素，再進(jìn)行排列求解.

3.相鄰問題，捆綁法求解

相鄰問題是指有些元素有相鄰位置要求的排列組合問題.這類題的策略是先把相鄰的若干元素“捆綁”在一起成為一個大元素，再將其他元素進(jìn)行排列，然后再排列那些“捆綁”中的元素.

4.不相鄰問題，插空法求解

不相鄰問題是指有些元素有位置不相鄰的要求的排列組合問題，這類題的策略是先排余下沒有位置要求的元素，然后把要求不相鄰的元素插入上述元素之間的空隙或兩端.

5.定序問題，除法處理

某些元素有位置順序一定要求的排列組合問題，這類題的策略是先全排列，再除以要求定序的元素的全排列.

6.相同元素，隔板法處理

相同元素的分堆問題，可構(gòu)造一個隔板模型，設(shè)計一個特殊模型解決問題.

7.正難則反，間接處理

對于某些排列組合問題的正面情況比較復(fù)雜，難以分類；而其反面比較簡單，則可優(yōu)先考慮無限制條件的排列，再減去反面情況的總數(shù).因此，排列組合問題都有直接法和間接法兩種思路.

以上方法是排列組合問題的幾種常用“模型”策略.然而，我們碰到的問題可能是適合上述“模型”的一種，也可能是多種“模型”混合在一起.因此，需要我們熟練掌握好以上策略.但是，學(xué)生在實踐過程中，碰到的排列組合題目似乎更多時候不符合上述“模型”.這有兩方面原因.第一，學(xué)生不具備轉(zhuǎn)化為上述模型的能力；第二，題目本身根本不屬于上述模型范疇.要解決此類題目，只能建立另一種數(shù)學(xué)模型，這也是學(xué)生比較薄弱的方面.萬變不離其宗，排列組合問題終究只是計算完成一件事的方法總數(shù).因此，以“完成這件事”為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型才是解決排列組合問題的關(guān)鍵.

[例1]有甲、乙、丙等7個人排隊拍照，若甲、乙相鄰，丙與甲不相鄰，有多少種排隊方法？

分析：甲、乙相鄰運用“捆綁”法，丙與甲不相鄰運用“插空”法.

解：先將甲、乙捆綁成一個大元素，然后與丙之外的其他人先進(jìn)行排列有[A55A22]種，然后把丙再插進(jìn)去有[A15]種，所以總共的排法有[A55A22A15=1200]（種）.

點評：此題是相鄰與不相鄰的綜合題，合理運用捆綁法與插空法即可解決問題.因此，需要我們熟練掌握好以上常用模型策略.

[例2]有甲、乙、丙、丁、戊等7個人排隊拍照，甲、乙、丙不相鄰，丁、戊也不相鄰，有多少種不同的排隊方法？

分析：根據(jù)題意，甲、乙、丙不相鄰，丁、戊也不相鄰，照理應(yīng)該用典型的插空法處理，但實際操作時，插空法似乎比較困難，因此采用如下解法.

解法1：（直接法）第一類 丁、戊之間恰有甲、乙、丙中一人隔開，方法數(shù)為[A33A22C13A24]，第二類 丁、戊之間不是僅有甲、乙、丙中一人隔開，方法數(shù)為[A22A23A35].總數(shù)為[A33A22C13A24+A22A23A35=1152]（種）.

解法2：（間接法）總數(shù)只管甲、乙、丙不相鄰的方法數(shù)為[A44A35]，甲、乙、丙不相鄰，丁、戊相鄰的方法數(shù)為[A33A22A34]，則甲、乙、丙不相鄰，丁、戊也不相鄰的方法數(shù)為[A44A35-A33A22A34=1152]（種）.

[例3]將一個[4×4]正方形棋盤中的8個小正方形方格染成紅色，使得每行、每列都恰有兩個紅色方格，則有 種不同的染色方法.

分析：此題的模型并不適合常規(guī)“模型”，因此得根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)“如何完成這件事”建立數(shù)學(xué)模型.

解： 第一行染兩個紅格，有[C24]種染法.第一行完成后，有如下三種情況.

（1）第二行染的紅格均與第一行的紅格同列，這時余行都只有一種染法；

（2）第二行染的紅格與第一行的紅格均不同列，這時第三行有[C24]種染法，第四行的染法隨之確定；

（3）第二行染的紅格恰有一個與第一行的紅格同列，這樣的染法有[C12C12]種，而在第一行、第二行這兩行染好后，第三行染的紅格必然有1個與上面紅格均不同列（否則將存在一列有兩個紅格），這時第三行的染法有2種，第四行的染法隨之確定.

因此，共有染法[C24（1+C24+C12C12×2）=90]（種）.

點評：此題在建模過程中，務(wù)必抓住以“完成這件事”為目標(biāo)，合理建立模型.

[例4]工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如右圖所示的六個位置的螺絲.第一階段，隨意擰一個螺絲，接著擰它對角線上（距離它最遠(yuǎn)的，下同）的螺絲，再隨意擰第三個螺絲，第四個也擰它對角線上的螺絲，第五個和第六個以此類推，但每個螺絲都不要擰死；第二階段，將每個螺絲擰死，但不能連續(xù)擰相鄰的2個螺絲.則不同的固定方式有 .

分析：以“如何完成這件事”建立數(shù)學(xué)模型.

解： 第一階段，先隨意擰一個螺絲，接著擰它對角線上的螺絲，有[C16]種方法，再隨意擰第三個螺絲和其對角線上的螺絲，有[C14]種方法，然后隨意擰第五個螺絲和其對角線上的螺絲，有[C12]種方法.

第二階段，先隨意擰一個螺絲，有[C16]種方法，完成上述過程分步進(jìn)行；再隨意擰不相鄰的螺絲，若擰的是對角線上的螺絲，有[C14]種方法；若擰的是不相鄰斜對角線上的螺絲，則有6種擰法，所以總共有[C16C14C12C16（C14+6）=2880]（種）擰法.

綜上所述，排列組合問題抽象，解法靈活，解題過程中極易出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”.因此，解題時需靈活運用常規(guī)“模型”.但能夠以“完成這件事”為目標(biāo)建立模型來解決實際問題更為關(guān)鍵.我們在教學(xué)時，更需要凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)，只有這樣才能達(dá)到水到渠成的教學(xué)效果，才能增強學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，也才能體現(xiàn)新課標(biāo)的理念.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李斑.高中數(shù)學(xué)排列組合問題的教學(xué)策略[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（9）：47.

[2] 周淑清.高中數(shù)學(xué)“排列組合”教學(xué)現(xiàn)狀及優(yōu)化策略[J]. 知識窗（教師版），2016（4）：58.

[3] 夏佳星.排列組合中的解題策略及教學(xué)方法[J]. 中國校外教育，2009（S8）：220+241.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）