分?jǐn)?shù)階Liu混沌系統(tǒng)的Adomian分解法求解及數(shù)字實(shí)現(xiàn)

雷騰飛，陳 恒，付海燕

(1. 齊魯理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，濟(jì)南 250200；2. 西京學(xué)院理學(xué)院，西安 710123)

17世紀(jì) 90年代，在整數(shù)階微積分提出不久，即出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階微積分的概念．近年來(lái)，混沌動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[1]，其中隨著分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的理論發(fā)展，以經(jīng)典的混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象，重新引入分?jǐn)?shù)階微積分算子，即提出了許多分?jǐn)?shù)混沌系統(tǒng)如分?jǐn)?shù)階 Chen系統(tǒng)[2-3]、分?jǐn)?shù)階 Lü系統(tǒng)[4]、分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)[5]等．

目前，研究人員已在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)分析與控制領(lǐng)域取得一定的成果，但分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的相關(guān)工作等卻是最近才開始，且相關(guān)文獻(xiàn)較少．關(guān)于分?jǐn)?shù)階的定義較多，基于此的分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值方法也存在不同[6]．文獻(xiàn)[7-9]將分?jǐn)?shù)階模型通過(guò)拉氏變換到頻域中，利用高階系統(tǒng)模擬分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，分別對(duì)分?jǐn)?shù)階 Lorenz、分?jǐn)?shù)階超 Qi、分?jǐn)?shù)階超 Lorenz混沌系統(tǒng)進(jìn)行基本動(dòng)力學(xué)分析，同時(shí)采用模擬電路實(shí)現(xiàn)了相應(yīng)的混沌系統(tǒng)．文獻(xiàn)[10]采用預(yù)估矯正法對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌進(jìn)行同步控制研究．文獻(xiàn)[11-12]采用 Adomian分解法對(duì)分?jǐn)?shù)階Chen以及Lü系統(tǒng)進(jìn)行混沌特性的分析與研究，該方法的不足在于不可闡述分?jǐn)?shù)階的記憶特性．

分?jǐn)?shù)階 Liu混沌系統(tǒng)，一般稱為臨界混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)與經(jīng)典的混沌系統(tǒng)(Lonrez系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)以及Lü系統(tǒng))存在不等價(jià)的拓?fù)?，故?duì)分?jǐn)?shù)階Liu混沌系統(tǒng)的動(dòng)力特性的探究討論尤為重要．若進(jìn)一步利用改進(jìn)的 Adomain分解法，則能夠更加準(zhǔn)確地分析分?jǐn)?shù)階Liu混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)，這對(duì)于認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的機(jī)理具有重要意義，特別是階數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響．

本文采用改進(jìn)的 Adomian分解法對(duì)分?jǐn)?shù)階 Liu混沌系統(tǒng)進(jìn)行分解與數(shù)值仿真，根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果分析 0.9階的 Liu混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為．同時(shí)，利用DSP芯片實(shí)現(xiàn)了基于改進(jìn)Adomian分解法的分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)，從而說(shuō)明分?jǐn)?shù)階Liu混沌系統(tǒng)的混沌吸引子存在性，也為進(jìn)一步在混沌密碼、機(jī)電耦合系統(tǒng)控制以及圖像、文字視頻加密領(lǐng)域的應(yīng)用[13-14]提供參考．

1 分?jǐn)?shù)階Liu混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)[15]提出經(jīng)典的含有平方項(xiàng)的臨界Liu混沌系統(tǒng)，根據(jù)此系統(tǒng)可寫出分?jǐn)?shù)階Liu混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

對(duì)式(1)系統(tǒng)進(jìn)行非線性項(xiàng)的分解，截取前6項(xiàng)

給定初始狀態(tài)：x0=x(t0)=c10，y0=y(t0)=c20，z0=z(t0)=c03，根據(jù)改進(jìn)Adomian分解法[16]和分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)得

將相對(duì)應(yīng)的變量賦系數(shù)值，令

可見，只需求出每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)即可．根據(jù)改進(jìn)Adomian分解法運(yùn)算可知

從而，得出系統(tǒng)的解

式中：x、y、z為系統(tǒng)變量；a、b、c、k、h、q 為系統(tǒng)參數(shù)，a＝10，b＝40，c＝2.5，k＝1，h＝4，q＝0.9．對(duì)上述 Adomain分解下的分?jǐn)?shù)階 Liu系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，即可得出式(1)系統(tǒng)的混沌軌跡，如圖1所示．

圖1 式(1)系統(tǒng)的軌跡圖Fig. 1 Phase portrait of system(1)

2 系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度

2.1 參數(shù)q的變化

分析了系統(tǒng)階數(shù) q以及內(nèi)部參數(shù) a、b、c對(duì)分?jǐn)?shù)階臨界混沌系統(tǒng)的分岔圖和復(fù)雜度[16]的影響．首先，固定內(nèi)部參數(shù)，改變 q ∈[0.65,1]，從圖 2(a)的系統(tǒng)分岔圖可看出，系統(tǒng)在此區(qū)間處于混沌態(tài)；從圖 2(b)的復(fù)雜度SE和C0可以看出，隨著階數(shù)q增大，系統(tǒng)的復(fù)雜度在逐漸減?。?/p>

圖2 參數(shù)q變化時(shí)式(1)系統(tǒng)的分岔圖和復(fù)雜度Fig. 2 Bifurcation diagram and complexity of system(1)with parameter q

2.2 參數(shù)a的變化

令q=0.9，a ∈[5 ,20]，改變參數(shù) a時(shí)系統(tǒng)的分岔圖、復(fù)雜度SE和C0如圖3所示．由圖3可知：分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)以倍周期分岔進(jìn)入混沌，即隨著參數(shù)a逐步減小，系統(tǒng)是通過(guò)倍周期方式進(jìn)入混沌態(tài)；a ∈[5,14.7)屬于混沌狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜度 SE相對(duì)值較大(0.6左右)，復(fù)雜度 C0相對(duì)值也較大(0.4左右)，總體此區(qū)間系統(tǒng)的復(fù)雜度較高；a ∈[1 4.7,20]屬于周期狀態(tài)，此區(qū)間內(nèi)分叉圖數(shù)據(jù)點(diǎn)比較稀疏且成線狀出現(xiàn)，此時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜度SE處于0.1左右，復(fù)雜度C0處于0.05左右，系統(tǒng)復(fù)雜度相對(duì)較低．

圖3 參數(shù)a變化時(shí)式(1)系統(tǒng)的分岔圖和復(fù)雜度Fig. 3 Bifurcation diagram and complexity of system(1)with parameter a

為了驗(yàn)證上述分岔圖與復(fù)雜度的正確性，采用相圖法對(duì)具體參數(shù)下的相圖進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果見圖4，圖 4(a)為混沌態(tài)，圖 4(b)為多周期態(tài)，圖 4(c)為雙周期態(tài)，圖4(d)為單周期態(tài)．

2.3 參數(shù)b的變化

令q=0.9，b ∈[0 ,60]，改變參數(shù) b時(shí)式(1)系統(tǒng)的分岔圖和復(fù)雜度如圖5所示．由圖5可知：系統(tǒng)是以擬周期的行為進(jìn)入混沌態(tài)；b ∈[0 ,6]時(shí)系統(tǒng)屬于非混沌狀態(tài)，此時(shí)分?jǐn)?shù)階 Liu系統(tǒng)的復(fù)雜度 SE為0.38～0.6，復(fù)雜度 C0接近 0；b ∈(6,60]時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，此區(qū)間對(duì)應(yīng)的復(fù)雜度SE都處于0.6左右，從分岔圖可以看出 b ∈(10,20)有隔離帶，即陣發(fā)混沌態(tài)，相應(yīng)點(diǎn)的復(fù)雜度值也較?。畯姆植韴D與復(fù)雜度SE可以看出，周期態(tài)部分存在差異，但復(fù)雜度C0一致，從而說(shuō)明三者是相互補(bǔ)充的．對(duì)于參數(shù) b具體值時(shí)的系統(tǒng)相圖，由于篇幅有限，不再給出．

圖4 式(1)系統(tǒng)在參數(shù)a取不同值時(shí)的相軌跡圖Fig. 4 Phase portrait of system(1)with different parameter a

圖5 參數(shù)b變化時(shí)式(1)系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度Fig. 5 Bifurcation diagram and complexity of system(1)with different parameter b

2.4 參數(shù)c的變化

令q=0.9，c ∈[1,10]，改變參數(shù) c時(shí)式(1)系統(tǒng)的分岔圖和復(fù)雜度見圖6．由圖6可知：此時(shí)系統(tǒng)是以倍周期分岔方式脫離混沌，與參數(shù)a變化時(shí)的方式相似．c ∈[8,10]時(shí)，系統(tǒng)屬于周期狀態(tài)，可以明顯觀察出分岔點(diǎn)的參數(shù)值范圍，此時(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜度SE和C0均較低；c∈(1,8]時(shí)，系統(tǒng)屬于混沌狀態(tài)，復(fù)雜度 SE較高(取值范圍為0～1)，c＝6左右時(shí)分岔圖存在明顯的隔離，相應(yīng)的復(fù)雜度值也較?。到y(tǒng)的相圖在參數(shù) c變化時(shí)的仿真結(jié)果與參數(shù)a相似，本文沒有給出．

圖6 參數(shù)c變化時(shí)式(1)系統(tǒng)的分岔圖和復(fù)雜度Fig. 6 Bifurcation diagram and complexity of system(1) with different parameter c

3 系統(tǒng)的分岔空間

式(1)系統(tǒng)在雙參數(shù)變化下的復(fù)雜度 SE見圖7．從圖 7可以看出：系統(tǒng)分岔空間與單參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響具有一致性，即圖7與圖3、圖5、圖6具有一致性．參數(shù)a與c同時(shí)變化，系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌態(tài)較大，當(dāng)然復(fù)雜度也較高，如圖7(b)所示．

圖7 雙參數(shù)變化時(shí)式(1)系統(tǒng)的復(fù)雜度SEFig. 7 Bifurcation space of system(1)

4 系統(tǒng)的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

通常采用模擬電路搭建和實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)．與模擬電路相比，數(shù)字電路抗干擾能力強(qiáng)，隨著數(shù)字電路技術(shù)的發(fā)展，利用數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)特別是分?jǐn)?shù)階混沌電路更有實(shí)際意義．?dāng)?shù)字信號(hào)處理芯片(DSP)采用 TI公司的 TMS320F28335，數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片采用DAC8552，TMS320F28335與 PC間采用串口通信．TMS320F28335為浮點(diǎn) DSP控制器，主頻為150MHz，精度高，運(yùn)算快，可滿足復(fù)雜算法的運(yùn)算需要．離散數(shù)據(jù)通過(guò)基本Adomian分解法產(chǎn)生，然后將離散值通過(guò)DMA(direct memory access)傳輸給數(shù)模轉(zhuǎn)換芯片．具體DSP硬件框架圖見圖8，系統(tǒng)硬件電路采用 TMS320F28335最小系統(tǒng)板(研旭最小系統(tǒng)板)搭建．

圖8 DSP硬件框架圖Fig. 8 DSP hardware framework diagram

將 DSP產(chǎn)生的混沌序列值先取小數(shù)點(diǎn)后 4位，且對(duì)于初值后的一段序列采用丟棄法，即取 3000～15000區(qū)間的序列，用示波器觀察到的系統(tǒng)吸引子見圖 9．

圖9 示波器觀察的系統(tǒng)吸引子Fig. 9 System attractor observed by oscilloscope

5 結(jié) 語(yǔ)

本文運(yùn)用 Adomian分解法，從數(shù)值仿真方面分析一類經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為，且根據(jù)參數(shù) q的特點(diǎn)得出，隨著分?jǐn)?shù)階的增大，系統(tǒng)復(fù)雜度減?。捎脭?shù)字芯片 DSP實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階 Liu混沌系統(tǒng)，進(jìn)一步說(shuō)明系統(tǒng)的存在性與可實(shí)現(xiàn)性，同時(shí)也從一定意義上為分?jǐn)?shù)階 Liu混沌系統(tǒng)的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)．