Gantry Robot位置的異步電機驅動控制研究

趙丙昆 于海生

摘要： 針對Gantry Robot位置控制效果不佳的問題，本文提出了PD加重力補償控制與反步法相結合的控制方法。建立了機器人空間變換與動力學模型，外環(huán)控制采用PD加重力補償控制，內環(huán)采用以轉速誤差和磁鏈誤差為輸入的反步控制，同時考慮異步電動機運行過程中轉子磁鏈和負載轉矩未知情況，引入轉子磁鏈觀測器和負載轉矩觀測器，并用Lyapunov理論判別整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結果表明，機器人位置控制具有較好的跟蹤效果，響應時間較短，靜態(tài)和動態(tài)性能都很好，轉子磁鏈觀測器和負載轉矩觀測器可以精確跟蹤轉子磁鏈和負載轉矩。該方法解決了異步電動機運行過程中轉子電阻變化帶來的負載轉矩觀測效果不佳問題，具有一定的理論意義和實際應用價值。

關鍵詞： 3D龍門直角坐標機器人； 異步電動機； 反步法控制； 位置控制； 負載轉矩觀測器

中圖分類號： TP242.6； TM343文獻標識碼： A

通訊作者： 于海生（1963），男，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為電能變換與電機系統(tǒng)非線性控制。Email： yhsh_qd@qdu.edu.cn直角坐標機器人的研究通常將機器人的動力學與驅動電機分開進行。近年來，許多研究者研究了機器人的高性能控制，有的采用神經(jīng)網(wǎng)絡控制來實現(xiàn)機器人控制[1]，該方法依靠大量編程語言來實現(xiàn)，但程序語言太復雜；也有采用自適應控制實現(xiàn)機器人控制[2]，該方式所設計的自適應律有時太過繁瑣；而運用SMC方法設計機器人控制算法[34]，無法克服滑模控制帶來的抖振問題。雖然這些方式能夠實現(xiàn)機器人的高性能控制，但沒有考慮電機的因素，特別是以異步電動機作為驅動電機的機器人控制。為解決這個問題，以3D龍門直角坐標機器人為研究對象，將異步電動機（induction motor，IM）作為Gantry Robot驅動電機，對機器人進行綜合研究。異步電動機由于性能優(yōu)越、運轉可靠等優(yōu)點得到了廣泛關注[57]，特別是在港口貨物搬運和裝卸等領域得到較多應用。張春朋等人[8]中運用反饋線性化進行電機控制，在一定調速范圍內可以實現(xiàn)電機控制；哈密頓控制方法是基于能量理論，解決電動機在穩(wěn)態(tài)運行時能量損失最小問題[910]；反步法控制設計方法簡單，在設計不確定系統(tǒng)（特別是當擾動或不確定不符合匹配前提時）魯棒或自適應控制器方面已經(jīng)顯示出它的優(yōu)越性[1112]。本設計方案中外環(huán)位置控制器中x、y軸采取PD控制，z軸采用PD加重力補償控制，該方法具有較高的可靠性和較好的抗滋擾能力；內環(huán)控制將轉速和磁鏈誤差作為反步控制器輸入，該方法控制簡單，具有良好的魯棒性?？紤]異步電動機運行過程中轉子磁鏈和負載轉矩未知情況，引入轉子磁鏈觀測器和負載轉矩觀測器。與傳統(tǒng)機器人控制相比，該方案考慮了電機因素，且設計的控制器結構簡單，解決了異步電動機運行過程中轉子電阻變化帶來的負載轉矩觀測效果不佳問題。該研究具有一定的應用前景。

1.1Gantry Robot空間變換與動力學模型

Gantry Robot通常有x、y、z 3個軸，x、y軸在水平面內，z軸垂直于水平面，3個軸兩兩垂直。機器人可實現(xiàn)橫向、縱向和末端抓手的裝卸運動。直角坐標系中，x、y、z軸都是直線運動單元，且每個軸由鋼或鋁支撐的滑塊組成，驅動電機為異步電機。電機旋轉帶動滑塊沿直線方向運動，機器人模型如圖1所示。

由于各運動軸之間兩兩垂直且均為直線運動單元，故直角坐標系機器人運動學中只存在空間位置的平移變換而沒有旋轉變換。因此，Gantry Robot靜態(tài)空間變換模型為

x

y

z=px/2π00

0py/2π0

00pz/2πθx

θy

θz，θx

θy

θz=px/2π00

0py/2π0

00pz/2π-1x

y

z（1）

其中，θ=θxθyθzT為電機轉角；pi、ki（i=x、y、z）為i軸絲杠螺距、運動加速度與電機角加速度折算值。

機器人動力學模型為[13]

H（θ）+Rmθ+G（θ）=T（2）

式中，θ、分別表示3×1角位移、角加速度向量；H（θ）為正定且對稱3×3階混合慣性矩陣；G（θ）為3×1階重力矩向量；T表示為3×1機器人輸入力矩，T=τ-τL。式（2）中各系數(shù)矩陣為

Rm=＼[rx+br2ry+br2rz+br2＼]T

式中，m1、m2、m3和Jx、Jy、Jz分別表示x、y、z軸質量和電機軸轉子轉動慣量，J為負載軸轉動慣量，r為折算比，Jmx、Jmy、Jmz為齒輪箱驅動側轉動慣量。

1.2異步電動機數(shù)學模型

引入dq旋轉坐標系，且按轉子磁鏈定向，即λrdi=λri，λrqi=0，推導建立異步電機數(shù)學模型[14]為

disdidt=-（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisdi+ωsiisqi+LmiRriσLsiL2riλrdi+1σLsiusdi

disqidt=-（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisqi-ωsiisdi-LmiωriσLsiLriλrdi+1σLsiusqi

dλrdidt=LmiRriLriisdi-RriLriλrdi

dωidt=τiJi-τLiJi

i=ωi（3）

τi=npiLmi（isqiirdi-isdiirqi）（4）

式中，isdi、isqi、usdi、usqi分別i（i=x、y、z）軸電機dq軸定子電流、電壓；λrdi、Lsi、Rsi、Lri、Rri、Lmi分別為轉子磁鏈、定子電感、定子電阻、轉子電感、轉子電阻、定子與轉子之間互感；σ=1-L2mi/LsiLri漏磁系數(shù)；ωei、ωi、ωri分別為電角速度、轉子機械角速度、電角速度；τLi為負載轉矩；npi和Ji分別極對數(shù)和轉動慣量。

2控制系統(tǒng)方案

考慮電機的Gantry Robot控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。給定機器人期望位置后，經(jīng)軌跡規(guī)劃得出異步電動機期望轉角，經(jīng)相應控制器控制各軸電機，電機輸出轉矩給到機器人，最后機器人將實際角位置反饋給期望角位置。以異步電動機為機器人x、y、z軸驅動電機，外環(huán)輸入為位置誤差，經(jīng)PD加重力補償控制器得到參考轉速ω*i（i=x，y，z），內環(huán)以轉速誤差和磁鏈誤差為反步控制器的輸入。

圖2中，給定機器人末端位置（假設初始位置在坐標原點），根據(jù)式（1）可計算出機器人各軸驅動電機期望轉角位置θ*i（i=x，y，z），機器人各軸驅動電機實際轉角位置θi反饋回來，得到位置誤差。定義位置誤差e=θ*i-θi。位置環(huán)采取PD加重力補償方法，使位置誤差為零?；谥苯亲鴺藱C器人結構，x、y軸無重力補償項，只在z軸方向增加常數(shù)重力補償項以此來抵消重力影響?？刂坡蔀?/p>

ωx=Kpxex+KDxx， ωy=Kpyey+KDyy， ωz=Kpzez+KDzz+G（θz）（5）

選取Lyapunov函數(shù)為V1=（TH（θ）+eTKPe）/2。由于H（θ）、Kp正定，則V1正定。根據(jù)文獻[15]可得

1=TH（θ）+TKp=-TKD≤0（6）

式中，Kp=diag（Kpx，Kpy，Kpz），KD=diag（KDx，KDy，KDz）。當且僅當e=0時，1=0。由Lyapunov穩(wěn)定性思想可知，位置控制子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

2.2轉子磁鏈觀測器的設計

圖2中，設計轉子磁鏈λrdi，由式（4）磁鏈方程可知，其估計值rdi可通過定子電流isdi來估計，即

λrdi=LmiRriisdi/Lri-Rrirdi/Lri（7）

定義誤差eλi=λrdi-rdi，對其求導并結合式（3）磁鏈方程和式（7），得磁鏈觀測誤差λi=-Rrieλi/Lri。選取Lyapunov函數(shù)V2=e2λi/2，對其求導，得

2=eλrλr=-Rrie2λi/Lri≤0（8）

當且僅當eλr=0時，恒成立。因此磁鏈觀測器漸近穩(wěn)定。

式（7）轉子磁鏈觀測器含Rri，而電機運轉過程中Rri因為溫度升高和集膚效應等原因會發(fā)生變化，有時甚至會變化2到3倍。因此，根據(jù)PCH方法，設計轉子磁鏈觀測器，該轉子磁鏈觀測器避免了電機運行過程中轉子電阻發(fā)生波動的影響。轉子磁鏈觀測器為

λr=Lrλs/Lm+（Lm-LsLr/Lm）is， s=-ωsJ2λs+us-Rsis（9）

2.3反步控制器設計

1）當τLi已知時，定義轉速和磁鏈誤差ewi=ωi-ωi，eλdi=λrdi-λrdi。對誤差求導并結合式（3），得

wi=i-i=i-a1iλrdiisqi+τLi/Ji（10）

λdi=rdi-rdi=rdi+Rriλrdi/Lri-LmiRriisdi/Lri（11）

選取Lyapunov函數(shù)V3=（e2wi+e2λdi）/2，對其求導，得

3=ewiwi+eλdiλdi（12）

將式（10）和式（11）代入式（12），得

3=ewi（i-a1iλrdiisqi+τLi/Ji）+eλdi（rdi+Rriλrdi/Lri-LmiRriisdi/Lri）（13）

為使式（13）小于0，即3<0，選取以下控制

isqi=（k1iewi+i+τLi/Ji）/（a1iλrdi）（14）

isdi=Lri（k2ieλdi+rdi+Rriλrdi/Lri）/（LmiRri）（15）

為計算定子d、q軸電壓usdi、usqi，定義電流誤差esq=isqi-isqi，esd=isdi-isdi，對其求導，得

sq=sqi-sqi=sqi+isqi（L2miRri+L2riRsi）/（σLsiL2ri）+ωsiisdi+Lmiωriλrdi/（σLsiLri）-usqi/（σLsi）（16）

sd=sdi-sdi=sdi+isdi（L2miRri+L2riRsi）/（σLsiL2ri）-ωsiisqi-LmiRriλrdi/（σLsiL2ri）-usdi/（σLsi）（17）

選取Lyapunov函數(shù)V4=（e2sq+e2sd）/2，對其求導，并將式（16）和式（17）代入導數(shù)方程，得

4=esq（sqi+（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisqi+ωsiisdi+LmiωriσLsiLriλrdi-usqiσLsi）+

esd（sdi+（L2miRri+L2riRsi）σLsiL2riisdi-ωsiisqi-LmiRriσLsiL2riλrdi-usdiσLsi）（18）

為使式（18）小于0，即4<0，選取以下控制為

usqi=σLsi（sqi+ωsiisdi+k3iesq）+isqi（L2miRri+L2riRsi）/L2ri+λrdiLmiωri/Lri（19）

usdi=σLsi（sdi-ωsiisqi+k4iesd）+isdi（L2miRri+L2riRsi）/L2ri-λrdiLmiRri/L2ri（20）

將式（13）、（14）代入式（12），式（19）、（20）代入式（18），得

3=-k1ie2wi-k2ie2λdi<0，4=-k3ie2sq-k4ie2sd<0（21）

恒成立，當且僅當k1i、k2i、k3i、k4i>0時，該子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2）電機實際運行時，τLi未知，可設計τLi觀測器來估計其值。設負載估計值為Li，則式（14）變?yōu)閕sqi=（k1iewi+i+Li/Ji）/（a1iλrdi）。τLi恒定且已知時，由式（4）得

i=ωi， i=a1irdiisqi-τLi/Ji， Li=0（22）

電機實際運行中，通常τLi未知，故要對其進行估計。在式（22）基礎上引入位置誤差，獲得τLi觀測器方程為

θi=i+k1（θi-i）， ωi=a1irdiisqi-Li/Ji+k2（θi-i）， τLi=k3（θi-i）（23）

其中，k1、k2、k3是設計參數(shù)。定義估計誤差為i=θi-i，i=ωi-i，Li=τLi-Li，v=iiLiT。由式（22）和（23）得觀測器跟蹤誤差動態(tài)方程為

=Av（24）

其中

A=-k110

-k20-1/Ji

-k300

顯然式（24）線性自治。為證明式（24）漸近穩(wěn)定，選取Lyapunov函數(shù)V5=vTPv>0，P正定矩陣。由Lyapunov方程ATP+PA=-Q，解得P矩陣為

P=Jik2/（2k3+2k1k2Ji）01/（2k3+2k1k2Ji）

0Ji/（2k3+2k1k2Ji）0

1/（2k3+2k1k2Ji）0-k1/[（2k3+2k1k2Ji）k3]，Q=100

000

000

依次判斷P的順序主子式可得，當k1>0，k2>0，k3<0時，P為正定矩陣，使V5=vTPv>0，5<0。故所設計的觀測器是漸近穩(wěn)定的。因此，τLi未知時，可用Li代替。式（24）特征方程為s3+k1s2+k2s-k3/Ji=0。假設所有極點都滿足sp<0，可得k1=-3sp，k2=3s2p，k3=Jis3p。

2.4整個系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

整個系統(tǒng)的Lyapunov方程為V=V1+V2+V3+V4+V5，按照以上分析1≤0，2≤0，3≤0，4≤0，5≤0，證得≤0，易得整個系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2.5軌跡規(guī)劃

采用逐點對照法實現(xiàn)直角坐標空間內的直線插補。設點M（xm，ym，zm）為軌跡上移動點，根據(jù)式（1）可計算角度序列θxjθyjθzj（j=1，2…），這些角度序列可作為圖2中的給定值，然后依次進行偏差計算，最終實現(xiàn)直角坐標空間的直線插補。

3系統(tǒng)仿真及其結果分析

仿真所用電機參數(shù)為：Rs=0687 Ω，Rm=0001 Ω，Rr=0842 Ω，Ls=0084 H，Lm=0081 3 H，Lr=0085 2 H，np=2，Lsc=0006 421 47 H，J=003 kg·m2，額定磁鏈為1 Wb。PD控制器、反步控制器、負載轉矩觀測器設計參數(shù)為kp=10 000，kD=1，k1i=2 000，k2i=8 000，k3i=20 000，k4i=5 000，sp=-500。設定機器人初始位置為坐標原點，末端位置為（1，11，12 m）。為驗證控制效果，對Gantry Robot的x、y、z軸電機進行仿真。3個軸異步電機角位移誤差變化曲線如圖4所示，轉子磁鏈估計曲線如圖5所示，負載觀測器曲線如圖6所示，Gantry Robot末端運動曲線如圖7所示，各軸向位移與時間關系曲線如圖8所示。

圖8各軸向位移與時間關系曲線由圖1可知，機器人各軸電機轉角誤差在t=006 s時收斂到零且響應時間較快，表明電機運行過程中動態(tài)和靜態(tài)性能較好；由圖2可知，兩種磁鏈觀測器對磁鏈的觀測效果基本一致，表明電機運行過程轉子電阻的變化對磁鏈變化影響不大；由圖3可知，不含轉子電阻的負載轉矩觀測器觀測效果更好，基本與所給定的階躍負載信號一致。該方法解決了異步電動機運行過程轉子電阻變化帶來的負載轉矩觀測效果不佳問題；由圖4可知，末端軌跡契合規(guī)劃要求，進行空間直線運動，達到預期目標；由圖5可知，各軸向移動距離均達期望距離，機器人x、y、z軸位置控制可很好的實現(xiàn)。

4結束語

本文對3D龍門式直角坐標機器人位置的異步電動機伺服控制系統(tǒng)進行研究，將機器人運動控制與電機運動控制相結合，并將機器人各軸向運動轉化為異步電動機轉角運動。外環(huán)控制采用PD加重力補償控制方法，內環(huán)采用轉速和磁鏈的反步法控制。設計了負載轉矩觀測器，解決了異步電動機在運行過程中轉子電阻變化帶來的負載轉矩觀測效果不佳問題。仿真結果表明，Gantry Robot位置控制具有較短響應時間及較好的跟蹤效果，靜態(tài)和動態(tài)性能都很好。本文設計方法簡單，便于實現(xiàn)，在港口龍門機器人應用方面前景廣闊。下一步可設計Rr自適應估計律，以此實現(xiàn)高精度的Gantry Robot位置控制。

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