兩個齊次線性方程組同解的充要條件

周津名

摘要：本文研究了兩個齊次線性方程組同解的充要條件及其在代數(shù)圖論里的一個簡單應用。

關鍵詞：齊次線性方程組；同解

線性方程組是線性代數(shù)里的一個重要內(nèi)容，不少線性代數(shù)教材中都詳細講解了線性方程組的解法及解的結構，但介紹同解線性方程組的內(nèi)容卻不多。本文研究齊次線性方程組同解的充要條件，并給出在代數(shù)圖論中零因子圖中的一個應用。

下文中，對任意矩陣A，用r（A）表示A的秩，用En表示n階單位陣。本文主要定理如下：

定理

設A，B均為矩陣m×n，則齊次線性方程組Ax=0和Bx=0同解，當且僅當存在m階可逆矩陣P使得B=PA。

證明

先證充分性。若P為M階可逆矩陣且B=PA，顯然有Ax=0Bx=P（Ax）。

再證必要性。若Ax=0和Bx=0同解，則Ax=0和Bx=0的解空間具有相同的維數(shù)，即n-r（A）=n-r（B），從而可設r=r（A）=r（B）。下面分兩種情況進行討論。（1）若r=0，則由r（A）=r（B）=0可知A=B=0。此時，任取m階可逆矩陣P均有B=PA。（2）若r>0，將矩陣A按行分塊A=，不妨設a1，a2，……，ar為A的行向量組a1，a2，……，am的一個最大無關組。由r（B）可知，存在初等矩陣P1，使得P1B的前行r為P1B的行向量組的一個最大無關組。因此，不妨設P1B=，且β1，β2，……，βr為B的行向量組β1，β2，……，βm的一個最大無關組。注意到Bx=0和P1Bx=0同解，故Ax=0和P1Bx=0同解，進而Ax=0和同解。由于的解空間維數(shù)為n-r（A），且a1，a2，……，ar的前行線性無關，故ar+1，……，am，β1，β2，……，βm可由a1，a2，……，ar線性表示。從而β1，β2，……，βr可由線性表示，又由于β1，β2，……，βr與a1，a2，……，ar均線性無關，故存在r階可逆矩陣P2使得（β1，β2，……，βr）=（a1，a2，……，ar）。由ar+1，……，am，β1，β2，……，βm可由a1，a2，……，ar線性表示可得，βr+1-ar+1，……，βm-am可由a1，a2，……，ar線性表示，可設

令，則，

且。

令，則P為M階可逆矩陣，且B=PA。證畢。

由定理1易得下述推論

推論1

設A，B均為m×n矩陣，則矩陣方程AX=0和BX=0同解，當且僅當存在m階可逆矩陣使得B=PA。

推論2

設A，B均為m×n矩陣，則齊次線性方程組xA=0和xB=0同解，當且僅當存在n階可逆矩陣Q使得B=AQ。

推論3

設A，B均為m×n矩陣，則矩陣方程XA=0和XB=0同解，當且僅當存在m階可逆矩陣Q使得B=AQ。

下面介紹上述結論在代數(shù)圖論的零因子圖中的一個簡單的應用。設F是n階矩陣環(huán)的零因子圖，也就是說，以全體行列式為0的n階非零矩陣為頂點，從頂點A到頂點B有一條有向邊，當且僅當AB=0。此時，稱Nl（A）={B|BA=0}為A的左鄰集，Nr（A）={B|AB=0}為A的右鄰集。若兩個頂點A，B滿足Nl（A）=Nl（B）且Nr（A）=Nr（B），稱A和B互為孿生點。由推論1和推論3可得，若A和B互為孿生點，則存在n階矩陣P，Q使得B=PA=AQ。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系.工程數(shù)學線性代數(shù)（第六版）[M].高等教育出版社，2014.

[2]丘維聲.簡明線性代數(shù)[M].北京大學出版社.2007.

基金項目：

2018年度高校自然科學研究項目（KJ2018A0496）