由高考題例談高中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

王贅

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問(wèn)題。

江蘇高考卷一直在堅(jiān)持以建模為主，“在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，側(cè)重考查能力”是高考的重要意向，而應(yīng)用能力的考查又是近二十年來(lái)的能力考查重點(diǎn)。應(yīng)用題的載體很多，按考查的知識(shí)分類有：函數(shù)（一次、二次和三次函數(shù)以及分式函數(shù)、分段函數(shù)、三角函數(shù)等）型;不等式型;解三角形型;解析幾何型等。2016、2017年應(yīng)用考題是立體幾何模型，2017年應(yīng)用考題需利用空間中的垂直關(guān)系和解三角形的知識(shí)求解。

[例1]（2016.江蘇高考）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍。

（1）若AB=6m，P01=2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？

分析：本題考查柱體與錐體的體積計(jì)算方法，解題的關(guān)鍵是掌握柱體與錐體的體積計(jì)算公式，進(jìn)而化成函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決相應(yīng)最值問(wèn)題。

（如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm）

對(duì)應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點(diǎn)方面進(jìn)行強(qiáng)化，注重培養(yǎng)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法。應(yīng)用題體現(xiàn)綜合（在不同知識(shí)點(diǎn)交匯處編題），不斷創(chuàng)新（問(wèn)題的背景、設(shè)問(wèn)的方式、解題的方法方面），強(qiáng)化能力（對(duì)考生的閱讀理解能力、將實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力、運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決寞際問(wèn)題的能力）。

解答應(yīng)用題關(guān)鍵是要過(guò)好三關(guān)：

（1）審（讀）題關(guān)：讀懂題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景;審題時(shí)，抓住問(wèn)題中的有用信息，理順數(shù)量關(guān)系，為建模做準(zhǔn)備。審題時(shí)要努力做到三讀：粗讀——細(xì)讀——精讀。

（2）建模關(guān)：確定問(wèn)題模型，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，明確本小題實(shí)際上是一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題（已知什么？求什么？）。值得一提的是，由于一個(gè)大題有若干小題，因而對(duì)于題目提供的條件，在解每個(gè)小題時(shí)，要正確判斷該用哪些條件。

（3）解模關(guān)：將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題后，就要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)與方法去解決已轉(zhuǎn)化了的數(shù)學(xué)問(wèn)題：與圖形有關(guān)的應(yīng)用題應(yīng)、莊意數(shù)形結(jié)合;與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)注意函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用，與不等式有關(guān)的問(wèn)題要靈活運(yùn)用不等式知識(shí)（如解不等式、運(yùn)用基本不等式求最值等）。值得一提的是，幾乎每年的高考應(yīng)用題都有一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，因而在解模中要熟練掌握求最值的幾種常用方法。

通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察，用數(shù)學(xué)的思維來(lái)分析，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。除了通常講的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，我們還強(qiáng)調(diào)學(xué)生要有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，這其中有預(yù)判、預(yù)測(cè)、推演、找到巧妙的方法的過(guò)程，這才是數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。提升學(xué)生核心素養(yǎng)，是落實(shí)教育本源的問(wèn)題，也意味著教與學(xué)的方式都要轉(zhuǎn)型。關(guān)注學(xué)生身心健康，長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，終身學(xué)習(xí)的能力，為學(xué)生走上社會(huì)打好基礎(chǔ)，也就是“教是為了不教”。