應(yīng)用化歸思想，助力解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題

周鵬

化歸思想是一種有效的解題策略，簡單來說，所有將問題由難變易的過程都可以稱為化歸，它在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中能夠發(fā)揮很重要的作用。函數(shù)是許多學(xué)生較為薄弱的一部分內(nèi)容，但是它在高中數(shù)學(xué)中占有很大的比重，和其他部分知識的聯(lián)系也十分緊密，可以說，只有掌握了函數(shù)知識，才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。因此，對于函數(shù)的教學(xué)，教師更要多加重視，積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會應(yīng)用化歸思想，將復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化，提升解題能力。

一、正面反面化歸，改變方向

正面和反面是既有矛盾又有聯(lián)系的兩個方面，當(dāng)遇到一些正面求解較為困難的題目時，不妨轉(zhuǎn)換思路，改變解題方向，試著求一求問題的反面，往往能夠減少許多計算量，使得問題變得更加容易解決。

在函數(shù)零點(diǎn)這一部分經(jīng)常會有已知零點(diǎn)個數(shù)，要求參數(shù)取值范圍的問題，比如：若函數(shù)f（x） =x2-2ax+2在區(qū)間[O，4]上至少有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在拿到這道問題時，許多學(xué)生都會下意識地根據(jù)題目中存在零點(diǎn)的條件進(jìn)行求解，但是由于至少一個零點(diǎn)就意味著可能有一個或兩個，同時由于a的存在導(dǎo)致對稱軸無法確定，還有一個區(qū)間范圍的限制，這些因素都可能會導(dǎo)致學(xué)生在求解過程中出現(xiàn)錯誤，并且使得解題過程十分復(fù)雜。因此，不如引導(dǎo)學(xué)生試著從沒有零點(diǎn)這個反面情況考慮，函數(shù)在[O，4]上沒有零點(diǎn)，即沒有實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言就是x2-2ax+2≠0，即a≠x/2+1/x，xE[0，4]，觀察2+x這個式子的結(jié)構(gòu)，很容易聯(lián)想到所以說，也即當(dāng)a<√2時，方程才沒有實(shí)根。而題目條件是至少有一個零點(diǎn)，即要求的是方程有實(shí)根時a的范圍，所以結(jié)果應(yīng)為a≥√2。從這個例子中可以看出，對于含有“至少”這一類字眼的函數(shù)問題，要引導(dǎo)學(xué)生從反面進(jìn)行嘗試。值得注意的是，最后一定要再回到題目中去，回答真正的問題。

二、常量變量化歸，減少變元

許多函數(shù)問題中經(jīng)常會伴隨參數(shù)的出現(xiàn)，也就意味著要區(qū)分開哪個是常量，哪個是變量。對于這一類的問題，可以將常量和變量進(jìn)行互換，把函數(shù)中的參數(shù)變成主元，幫助減少不定因素，使得問題更加容易求解。

例如有這樣一道有代表性的例題：當(dāng)k≤1時，不等式（lg）z-（2+'k lgx+k-l>0恒成立，求x的取值范圍。在這道題目中，不等式是關(guān)于x的式子，k是其中的參數(shù)，即x是變量，而k為常量，相比于將函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于lgx的函數(shù)，觀察式子不難看出，倘若將其變?yōu)殛P(guān)于k的式子，則是一個一次函數(shù)，且題目中還給出了k的范圍，顯然一次函數(shù)更加簡單。因此，題目就變成了：當(dāng)k≤1時，不等式f（k）=（1-lgx）k+[（lgx）2-21gx_l]>0恒成立，求x的取值范圍。這樣，k就變成了函數(shù)中的變量，而x則變?yōu)槌Ａ?，即?shí)現(xiàn)了變量和常量的互化。問題簡單了，對于一次函數(shù)而言，只能增或減，再者不變，因此，想要在k≤1的范圍內(nèi)讓，f（k>0，只需要讓f（-1）>0和f（1）>O即可，問題就迎刃而解了?；仡欉@道題目，學(xué)生更容易想到的思路是生成一個新的變量來代替lgx，然后將其變成一個二次函數(shù)，這種方法雖然也可行，但是增加了一個未知的量，意味著求解過程將會變得更加復(fù)雜，學(xué)生會更加容易出現(xiàn)混亂，因此，如何將變元減少才是應(yīng)該考慮的方向，這也是教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會的一個重要解題思路。

三、特殊一般化歸，捕獲規(guī)律

特殊和一般的思想也是數(shù)學(xué)中經(jīng)常存在的一種思想，一般規(guī)律的發(fā)展往往是從特殊問題引發(fā)而來的，而一般的結(jié)論在特殊條件下也可以成立，這個相互轉(zhuǎn)化的過程應(yīng)用在解題中，也可以幫助解決一系列函數(shù)問題。

以函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)為例，經(jīng)常會遇到這樣的題目：函數(shù)f（x）在R上任意可導(dǎo)，若（x-2）f （x）≥O成立，則，（1）+f（3）和2f（2）之間有什么關(guān)系？觀察問題，f（l）、f（3）和f（2）都是指具體的函數(shù)值，學(xué)生看到這種要求函數(shù)值的問題，經(jīng)常會先想到要求出函數(shù)的表達(dá)式。這種思路是萬萬不可取的，一般對于這種類型的題目，很難直接得出函數(shù)具體的式子，但是我們可以分析出函數(shù)的性質(zhì)。在這道題目中，根據(jù)（x-2）f（x）≥O這個不等關(guān)系可以很容易地推導(dǎo)出：當(dāng)x≥2時，f（x）≥O;當(dāng)x<2時，f（x）2時，函數(shù)圖像遞增;當(dāng)x<2時，函數(shù)圖像遞減;當(dāng)x-2時，函數(shù)能夠取得最小值。根據(jù)這個規(guī)律可得f（l）≥f（2），f（3）≥f（2），所以f（1）+f（3）≥2f（2）。這就是一個簡單的利用一般規(guī)律來求解特殊值的例子，其中分析出的函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)題目信息得到的一般規(guī)律。也就是說，在面對許多無法直接求出函數(shù)表達(dá)式的問題時，都需要學(xué)會分析函數(shù)性質(zhì)來解決問題，同樣的，在遇到需要求解函數(shù)一般表達(dá)式的問題時，也要學(xué)會利用特殊值代入的方法進(jìn)行解答。

四、相等不等化歸，建立關(guān)系

相等和不等也是數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的兩種對立關(guān)系，在函數(shù)問題中經(jīng)常出現(xiàn)不等或相等關(guān)系，那么充分利用這些關(guān)系，并學(xué)會將其互相轉(zhuǎn)化，在問題和條件中建立一定的關(guān)系，也能夠幫助找到問題的突破口。

例如這道題目：定義在R上的函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=1，求f （2003）的僵。在拿到題目時，學(xué)生往往看到2003就不知如何下手了，但是其實(shí)這一類問題很簡單，題目讓求的是當(dāng)x=2003時，f（x）的值，但是條件卻給的是兩個不等關(guān)系，所以，不如利用f（2003）所存在的不等關(guān)系進(jìn)行求解。根據(jù)第一個不等式可以列出式子：f（2003）≤f（2000）+3≤f（1997） +3+3≤…≤f（2）+2001，同樣根據(jù)第二個不等式也可以得出：f（2003）≥f（2001） +2≥f（1999） +2+2≥…≥f（l）+2002。將這兩個不等式合并之后可以得到一個最終的不等關(guān)系：f（1）+2002≤f（2003）≤f（2）+2001，因此，只需要知道f（l）和f（2）的值，就可以知道f（ 2003）的范圍，題目中已給出f（1）=1，所以僅求出f（2）即可。在求解時，要對題目信息進(jìn)行充分的利用，分別讓x-l，O和-1，并代入這兩個不等關(guān)系中，最終可以求出f（2）-2，所以，2003≤f（2003）≤2003，即f（2003） =2003。函數(shù)問題中經(jīng)常會出現(xiàn)這種求函數(shù)值的問題，許多學(xué)生看到x的值很大，就會產(chǎn)生害怕心理，不敢繼續(xù)做下去，所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生不要膽怯，類似f（2003）的式子最終都會根據(jù)不等關(guān)系而轉(zhuǎn)化為求一個像f（2）一樣的式子，很輕易地就能夠得到結(jié)果。

函數(shù)問題千變?nèi)f化，但是萬變不離其宗。只要能夠正確判斷出題目的類型和解決這類題目的化歸方法，所有問題就都會變得簡單而有趣。因此在課堂上，教師應(yīng)充分運(yùn)用化歸思想，不斷重復(fù)，建立學(xué)生學(xué)會用轉(zhuǎn)化方法解決問題的意識，再配合不斷的練習(xí)，真正實(shí)現(xiàn)函數(shù)問題上的突破。