論歐幾里得與幾何原本

羅子涵

摘要： 歐幾里得是古希臘的最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)家，他的代表著作《幾何原本》對(duì)后世產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響，以他的作品為載體的眾多教科書(shū)軍均起到了顯著的教學(xué)效果。文章從高中生的角度出發(fā)，結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，試論對(duì)歐幾里得和幾何原本在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的意義做一個(gè)探究。

關(guān)鍵詞： 歐幾里得;幾何原本;歐洲;奠基人

中圖分類(lèi)號(hào)： O18??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A??? 文章編號(hào)： 1672-9129（2018）09-0269-01

Abstract：? Euclid was one of the most famous mathematicians in ancient Greece. His representative work "the origin of geometry" had a profound influence on later generations. From the point of view of high school students， this paper discusses the significance of Euclid and geometry in the development of mathematics.

Key words：? Euclid; The original geometry; Europe; founder

歐幾里得是一位和藹可親的教育家，對(duì)有志學(xué)士，總是耐心指導(dǎo)。他極其厭惡投機(jī)取巧，不肯刻苦專(zhuān)研的行為和作風(fēng)。在他的帶領(lǐng)下，歐洲數(shù)學(xué)蓬勃健康發(fā)展，研究氣氛濃厚，成為培養(yǎng)科研工作的搖籃。

1 幾何原本的意義

偉大的“幾何之父”歐幾里得著作了被譽(yù)為歐洲數(shù)學(xué)奠基的《幾何原本》，書(shū)中關(guān)于透視，圓錐曲線(xiàn)，球面幾何學(xué)以及數(shù)論的作品更是成為了幾何學(xué)研究的新方向?！稁缀卧尽穼?duì)于后世的影響是深遠(yuǎn)的，其意義是重大的，不僅僅是幾何意義，還包括歷史意義和對(duì)世人的借鑒意義。盡管《幾何原本》依然存在著一些不足，具有自身的局限性，但它確實(shí)推動(dòng)了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展，使無(wú)數(shù)人領(lǐng)悟到了幾何學(xué)的美妙，并運(yùn)用在社會(huì)生產(chǎn)和生活中，進(jìn)而推動(dòng)了社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展?？偟膩?lái)說(shuō)，歐幾里德的《幾何原本》具備幾何意義、歷史意義以及借鑒意義，以下對(duì)其進(jìn)行逐一介紹：

1.1幾何意義。歐幾里德的《幾何原本》中的透視，圓錐曲線(xiàn)，球面幾何學(xué)在幾何學(xué)的發(fā)展中起到了至關(guān)重要的作用。以透視和球面幾何學(xué)為例，透視利用了假設(shè)的原則，將人們看到事物的表面消去或隱藏，使人們直觀(guān)地看到了事物的整體。這種方法使得人們看到了事物的整體，其而事物在繪畫(huà)上的特點(diǎn)是產(chǎn)生形的虛實(shí)變化，色調(diào)的深淺變化，形的平面變化，形的繁簡(jiǎn)變化。球面幾何學(xué)是建立的平面幾何和立體幾何上發(fā)展出來(lái)的新幾何學(xué)，它研究的方向是球面上的幾何知識(shí)，例如二面角，投影，映射等內(nèi)容，它對(duì)天文學(xué)和氣象學(xué)的發(fā)展有重要的推動(dòng)作用。

1.2歷史意義?！稁缀卧尽吠苿?dòng)了歐洲數(shù)學(xué)史的發(fā)展，因?yàn)闅W幾里得在其中對(duì)幾何進(jìn)行了全面的解析和注釋?zhuān)⒁宰钪庇^(guān)簡(jiǎn)單的方式呈現(xiàn)了幾何的美妙，闡述了幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)。歐幾里得的功績(jī)可謂全無(wú)古人后無(wú)來(lái)者，他的著作將幾何學(xué)推到了一個(gè)全新的高度，使得幾何學(xué)成為了一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)體系，被當(dāng)下的人們稱(chēng)之為“數(shù)學(xué)中的科學(xué)”。不僅如此，歐幾里得還發(fā)現(xiàn)了勾股定理，為后世之人研究三角形的邊角關(guān)系提供了強(qiáng)大的理論基礎(chǔ)，在兩千年后的今天，人們至今還無(wú)法找到像《幾何原本》那樣邏輯縝密、推理直觀(guān)的出色數(shù)學(xué)教材。

1.3借鑒意義?！稁缀卧尽返恼Q生對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，使無(wú)數(shù)的人接觸到幾何學(xué)并且深入了解幾何學(xué)，歷史上有數(shù)不勝數(shù)的科學(xué)家因?yàn)閷W(xué)習(xí)《幾何原本》而提高了自己的認(rèn)知水平，最終作出了偉大的貢獻(xiàn)?！稁缀卧尽窂膬汕Ф嗄炅鱾髦两?，并沒(méi)有因?yàn)闀r(shí)間的流逝而被人們遺棄，反而在現(xiàn)代社會(huì)作出了極其巨大的貢獻(xiàn)。在二十一世紀(jì)的今天，《幾何原本》的內(nèi)容被教輔人員編寫(xiě)進(jìn)教科書(shū)中，成為當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教材中必不可少的內(nèi)容，依舊影響著無(wú)數(shù)的中學(xué)生。

2 幾何原本的局限性

《幾何原本》具備幾何意義、歷史意義以及借鑒意義等多種意義，對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，可謂是幾何學(xué)的“百科全書(shū)”。盡管如此，《幾何原本》還是存在著一些不足和缺陷，因?yàn)閹缀螌W(xué)并不能在所有的條件下使用，其系統(tǒng)還不夠完善以及許多問(wèn)題和解法沒(méi)有涉及。經(jīng)過(guò)總結(jié)，《幾何原本》的局限性主要又三點(diǎn)，第一是幾何學(xué)只適合于所謂平直的空間，第二是公里系統(tǒng)并不完備，第三是很多幾何例題沒(méi)有在書(shū)中涉及與說(shuō)明。以下將《幾何原本》的局限性進(jìn)行逐一分析：

2.1幾何學(xué)只適合于所謂平直的空間。事實(shí)上，《幾何原本》中的假設(shè)和公式并不能放之四海而皆準(zhǔn)，因?yàn)檫@些假設(shè)和公式的成立是需要特定的條件的。在《幾何原本》里第五公設(shè)（平行公設(shè)）尚，后人發(fā)現(xiàn)在特定的情況下并沒(méi)有辦法適用，經(jīng)過(guò)研究和分析發(fā)現(xiàn)，這種公設(shè)只適合在平直的空間里。一旦不在平直空間上，在曲面和球面的空間里，《幾何原本》中的定理和公設(shè)將變得不再奏效，因此歐幾里得的研究并非十全十美。

2.2公理系統(tǒng)并不完備?！稁缀卧尽分械墓硐到y(tǒng)并不完備，沒(méi)有嚴(yán)格地按照假設(shè)-演繹推理的方法得出完整的公理系統(tǒng)，因此后人在學(xué)習(xí)的時(shí)候也容易陷入數(shù)學(xué)誤區(qū)。舉個(gè)例子，比如著名的第一條命題——可以做一個(gè)等邊三角形——本身就隱含了圓心距小于半徑和的兩圓一定能相交的前提。雖然《幾何原理》的絕大多數(shù)證明和公式定理都是無(wú)法推翻的，但一些公理系統(tǒng)卻不完整，比較容易造成學(xué)習(xí)障礙。

2.3很多幾何問(wèn)題沒(méi)有涉及到。雖然人們將《幾何原本》成為“幾何學(xué)的百科全書(shū)”，但許多幾何問(wèn)題并沒(méi)有在《幾何原本》中涉及，例如歐幾里得在某條定理中說(shuō)明了“圓是和內(nèi)接正方形成正比的”，但他卻沒(méi)有表示圓的面積到底是多少，也沒(méi)有給出圓周率的近似值?！稁缀卧尽分挥懻摿瞬糠诸?lèi)型的無(wú)理數(shù)，用線(xiàn)段、面積等概念來(lái)說(shuō)明計(jì)算問(wèn)題，我們?cè)诳创稁缀卧尽返牟蛔愕耐瑫r(shí)，也應(yīng)該看到《幾何原本》的光輝，因?yàn)檫@些不足絲毫無(wú)損于它的光輝。

綜上所述，《幾何原本》具備幾何意義、歷史意義以及借鑒意義等多種意義，對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，可謂是幾何學(xué)的“百科全書(shū)”。而我們?cè)谛蕾p《幾何原本》的同時(shí)還應(yīng)該看到它的不足，辯證看待問(wèn)題，從而提高自身對(duì)幾何學(xué)的了解與認(rèn)知。

參考文獻(xiàn)：

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[2]吳維煊.《幾何原本》的意義及對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的深遠(yuǎn)影響[J].廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào).2015-10-20