基于信號趨勢的自適應(yīng)分解方法研究

華北理工大學 王 猛

信號的分解質(zhì)量直接影響著信號的時頻分析，目前已有的信號分解方法都是按照信號頻率由高到低進行分解。本文提出一種基于信號趨勢的自適應(yīng)分層和提取方法，按照信號頻率由低到高，逐層實現(xiàn)信號的分解，通過仿真實驗驗證了該方法的可行性。這種處理方法為自適應(yīng)分解方法提供了新的思路，對分解出的趨勢分量采用希爾伯特變換進行相應(yīng)的時頻分析，求得瞬時頻率等參數(shù)，繪制信號的時頻譜圖，并對分解過程中的端點效應(yīng)進行了分析，完善了分解過程。

1.前言

信號是信息的載體，現(xiàn)實物理世界中，我們所接觸到的信號的頻率和幅度每時每刻都在發(fā)生變化。通常情況下，在同一時刻,信號包含了多個頻率分量，這樣的信號被稱為多分量信號,如光譜信號、生物電信號、雷達信號等[1]。在對這樣的信號進行分析處理時，頻率參數(shù)精準方法的確定就顯得格外重要。

傅里葉變換（FourierTransform）是最早提出的信號變換域處理方法，它能夠反映信號在頻域中的特點。通過傅里葉變換，我們可以獲知信號的頻域信息[2,3]。然而，絕大部分信號的頻率都是隨時間變換的。傅里葉變換是一個全局變換，它反映信號在整個時間區(qū)間內(nèi)的頻域特征，并不具備信號局部分析能力，不能得到信號的時變信息。因此，傅里葉變換只適合于時不變信號。

時頻分析方法，可以直觀展示信號的瞬時幅度和瞬時頻率[4,5]。時頻分析法將時域中信號的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)變到時-頻平面上，可以對信號的時變特征進行分析。在時頻分析中，采用瞬時頻率與傅里葉頻率相對應(yīng)，瞬時頻率是信號頻率在時間上的瞬時體現(xiàn)，是信號在該時刻下所具有的頻率值。

當每一時刻的頻率值具有唯一單值時，信號被稱為單分量信號[6,7]。相比多分量信號，單分量信號不存在信號頻率的混合項，單分量信號的瞬時頻率才有確定的意義。因此，在進行信號的時頻分析時，基本方法是對待分析信號進行分解，再對分解出來的子信號進行分析。

如小波變換（Wavelet Transform），小波變換是分析和處理非平穩(wěn)信號最成功的工具。Mallat所引入的小波多分辨率分析[8,9]可以按需要實現(xiàn)信號的子帶分解。目前，小波變換已在各個領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用，但是，小波變換也有不足：小波分解同樣屬于一種局部的信號分解方法，通過設(shè)定窗口的不斷平移，達到分解的目的。在對信號實施小波變換前，小波變換的基函數(shù)需要預(yù)先指定。而基函數(shù)一旦指定，在對該信號分析的過程中間，基函數(shù)保持不變。也就是說，基函數(shù)的選擇缺乏自適應(yīng)性。目前絕大部分信號分解的方法都不是自適應(yīng)的，其基本方法都是選擇一個基函數(shù)將信號分解為一系列的簡單分量。

1998年，Hilbert-Huang變換的提出[10]為非線性信號的分析與處理開辟了一條新穎的途徑，Huang采用了經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpirical Mode Decomposition）將一個復(fù)雜的信號分解為一系列簡單信號，先得到固有模態(tài)函數(shù)（IMF）[11]，然后對IMF分量進行希爾伯特變換，求得瞬時頻率和瞬時幅值，這個分解過程也不像小波變換或其他變換那樣預(yù)先選定基函數(shù)，而是取決于信號本身，因而它是自適應(yīng)的，且是高效的[12,13]。但是經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解過程中IMF分量之間的正交性是通過篩分迭代算法近似實現(xiàn)的，還沒有得到徹底的解決方案和完整的理論解釋，從而不可避免的導致能量的混疊和頻率的交疊。

同時現(xiàn)有的基于HHT思想的信號分解方法都是按照頻率從高到低[14,15]，依次將高頻信號分量分解出來。這種分解方式雖然適用性廣，理論成熟，但是在分解過程中，由于高頻分量的存在，容易對低頻分量造成影響，誤差大或分解不完全。故本文提出一種基于信號趨勢的自適應(yīng)分解的方法，對信號的趨勢進行了數(shù)學描述，按照頻率由低到高，依次實現(xiàn)信號的分解，具有很強的實用性，同時對分解過程中產(chǎn)生的端點效應(yīng)采用周期延拓的方法進行了有效的抑制，完善了整個分解過程。

2.基于信號趨勢的自適應(yīng)分解方法

2.1 信號的趨勢線函數(shù)

定義1：對于任意給定信號，由信號的全部極值點構(gòu)成的上、下包絡(luò)線，可得中心線A(t)，信號在時間域上變化的中心軸線即為趨勢線函數(shù)f(t)。即：

一般來說，信號的趨勢線函數(shù)是一個相對的概念，一個信號的趨勢線函數(shù)往往不是一個簡單函數(shù)。

定義2：對于任意給定的信號f (t)，若其趨勢線函數(shù)A(t)在每個時刻的值都為零，則稱A(t)為零趨勢函數(shù)。實際應(yīng)用中，考慮運算誤差，可設(shè)定任意小的一個正數(shù)，使每一時刻的，即：

則A(t)可視為零趨勢函數(shù)。例如常見的調(diào)幅信號與調(diào)頻信號，皆為零趨勢信號。

2.2 分解過程

基于信號趨勢的自適應(yīng)分解方法，通過不斷獲取當前信號的極大值與極小值，進行樣條插值，將信號恢復(fù)至原始長度，并求其中心線，以獲得趨勢線函數(shù)，達到信號的逐層分解，當分解出零趨勢線時，分解終止。對于任意給定長度為N的非零趨勢信號x(t)，其分解具體過程如下：

（1）分別求得信號x(t)所有的全局極大值點與極小值點，數(shù)量分別為N1與N2。

（2）采用三次樣條插值，對N1個極大值點與N2個極小值點進行插值，獲得長度為N的極大值包絡(luò)xmax(t)與極小值包絡(luò)xmin(t)。

（3）求極大值與極小值包絡(luò)的均值得到第一層信號分量，記為m(t)：

檢查m(t)是否為零趨勢函數(shù)，若滿足，即為第一個分量，若不滿足，繼續(xù)下述過程。

（4）取

重復(fù)（1）（2）（3），檢查n(t)是否滿足是零趨勢線，若滿足，即為第一個分量，若不滿足，使：

將n(t)當作原始信號，重復(fù)步驟（1）（2）（3）（4）。至ni(t)是零趨勢線時，分解出第一個趨勢線函數(shù)。

（5）記

其中N為循環(huán)次數(shù)，則c1(t)為信號x(t)的第一個被分解出來的趨勢線分量，并且在x(t)所包含的分量中頻率最低。

（6）取信號

重復(fù)步驟（1）（2）（3）（4）（5），依次得到頻率由低到高的趨勢線分量c2(t)、c3(t)，…，ck(t)。

（7）當

為零趨勢線時，分解終止。此時：

為最高頻信號。

3.仿真結(jié)果與討論

3.1 基于信號趨勢的自適應(yīng)分解

仿真實驗一采用由三種不同頻率的正弦信號疊加成的混合信號作為輸入信號，時間區(qū)間設(shè)置為[0,1]，信號長度N=4001，令sig=20sin(20πt)+10sin(200πt)+5sin(2*103πt)，其時域圖如圖1所示：

夾纻胎輕巧、牢固，成型后不易變形、開裂，留存時間長。從工藝角度看，造型的自由度增加了，能夠制造更為豐富多樣的器型。夾纻器的出現(xiàn)是漆工藝的一次革命，也為漆器生產(chǎn)的興旺發(fā)達奠定了基礎(chǔ)。夾纻器最早出現(xiàn)在戰(zhàn)國時期，兩漢中期以后盛行起來，成為最常見的制胎方法。魏晉南北朝以來，常采用夾纻胎工藝制作佛像。塑造的佛像十分輕便，可以車載、人抬游行于街市，達到宗教宣傳的目的。遺憾的是，唐末武宗滅佛，大量夾纻造像遭到毀壞，也導致這項工藝的失傳。到了清代，福州沈紹安恢復(fù)了傳統(tǒng)的“纻胎”工藝，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造出著名的“脫胎漆器”。

圖1 實驗一輸入信號

采用基于信號趨勢的自適應(yīng)分解方法，對輸入信號進行分解，得到的各趨勢線分量如圖2所示：

圖2 實驗一趨勢分量

采用希爾伯特變換，求解趨勢線分量的瞬時頻率和振幅，繪制時頻譜圖，如圖3所示：

圖3 實驗一時頻譜圖

通過時-頻譜圖，可以看出，仿真實驗一中分解出的趨勢線分量時頻平面特征體現(xiàn)明顯，能夠清楚的獲知原信號分量數(shù)與頻率特征。

仿真二采用線性趨勢信號，時間區(qū)間設(shè)置為[0,1]，信號長度N=4001，一次函數(shù)y=8000t+1000,正弦信號x=500*(200πt)，輸入信號sig=x+y,其時域圖如圖4所示：

圖4 實驗二輸入信號

采用基于信號趨勢的自適應(yīng)分解方法， 對輸入信號進行分解，得到的各趨勢線分量如圖5所示：

圖5 實驗二趨勢分量

采用希爾伯特變換，求解趨勢線分量的瞬時頻率和振幅，繪制時頻譜圖，如圖6所示：

圖6 實驗二時頻譜圖

通過時-頻譜圖，不難看出，仿真實驗二中分解出的趨勢線分量時頻平面特征體現(xiàn)明顯，在任意t點處都有唯一的瞬時頻率值與其對應(yīng)，其瞬時頻率具有單一性。但是在趨勢線信號端點處瞬時頻率值發(fā)生了發(fā)散，出現(xiàn)了端點效應(yīng)。

3.2 分解過程中端點效應(yīng)的抑制

延拓的信號如圖7所示：

圖7 延拓后的信號

分解后的趨勢線分量如圖8所示：

圖8 延拓后的趨勢分量

依據(jù)希爾伯特變換，求取整個時間區(qū)間內(nèi)的瞬時頻率和振幅，截取[0,1]信號趨勢線分量，繪制時頻譜圖，如圖9所示：

圖9 抑制端點效應(yīng)后的時頻譜圖

通過信號的時頻譜圖可以看出，相對于仿真三中出現(xiàn)的端點處信號瞬時頻率值發(fā)散的情況，采用周期延拓的方法，可以有效地抑制。

4.分析與總結(jié)

通過仿真實驗可以看出，基于信號趨勢的自適應(yīng)分解的方法能對信號進行自適應(yīng)的分解，通過分解出的趨勢分量求解瞬時頻率和振幅，繪制時頻譜圖，能夠很好地體現(xiàn)信號的參數(shù)特征。針對分解過程中出現(xiàn)的端點效應(yīng)，采用信號周期延拓的方法，可以很好地抑制。

現(xiàn)有信號分解或信號變換的基本思路是大多數(shù)將信號和一組函數(shù)作內(nèi)積，從而得到一組標量，即信號離散表示的系數(shù)。由于正交基具有很多優(yōu)點，因此，在信號處理中正交基的應(yīng)用最為廣泛。如小波變換。但是由于針對不同信號，基的選擇明顯不同，故自適應(yīng)程度較低，分解成本較高。該方法為一種數(shù)學方法，相對于選擇不同的基，自適應(yīng)程度高。相對于使用廣泛的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解與局部均值分解，其過程是按照信號頻率由高到低，逐層進行分解，降低了高頻信號對低頻信號分量的影響，較好的保留的信號的固有趨勢，可行性與可操作性極高。