導(dǎo)數(shù)定義的極限模型在極限運(yùn)算中的應(yīng)用

楊艷兵

（常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇常州 213164）

眾所周知，導(dǎo)數(shù)概念牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家在解決一些實(shí)際問題的過程中歸納、提煉出來的，是對(duì)客觀世界中的某些數(shù)量關(guān)系的精辟描述，是微積分學(xué)中的重要基礎(chǔ)概念。它對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科乃至整個(gè)自然科學(xué)的發(fā)展都起到了至關(guān)重要的作用。在高等數(shù)學(xué)中，我們可以利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值以及其相關(guān)問題。高等職業(yè)院校學(xué)生對(duì)于利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則計(jì)算各種類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)掌握得比較好，但是他們往往對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的具體極限形式理解模糊，且在利用導(dǎo)數(shù)解決一些問題的創(chuàng)造性思維上難以展開。學(xué)生存在這些問題的主要原因有兩點(diǎn)：其一是教師在教學(xué)的過程中，對(duì)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)不夠，一味注重訓(xùn)練學(xué)生對(duì)于各種類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，導(dǎo)致最后學(xué)生舍本逐末，竟不知導(dǎo)數(shù)為何物了；其二是高職學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的抽象定義形式有恐懼感，自然而然就不認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)最初的面目了。本文主要是在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義的極限形式的基礎(chǔ)上，給出其在極限運(yùn)算中的一些應(yīng)用。

1 函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義的極限形式

函數(shù)在一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)定義如下：

設(shè)函數(shù) y=f( x)在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在x0處有增量Δx時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有增量Δ y = f( x0+Δ x) - f( x0)，如果極限存在，稱函數(shù) y=f( x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，此極限值為函數(shù)y=f( x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為

若令 x = x0+Δx ，則 Δ x = x - x0，當(dāng) Δx→0時(shí)， x→x0，于是函數(shù) y=f( x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)還可以記為：

2 導(dǎo)數(shù)定義的極限形式在極限運(yùn)算中的應(yīng)用

此外，通過分析可知，若令

關(guān)于第二重要極限一般都是用夾逼準(zhǔn)則進(jìn)行證明，這種證明方法比較復(fù)雜麻煩，且其原理對(duì)于高職學(xué)生來說也較難掌握。故此題中的極限求法，也是第二重要極限的一種比較簡(jiǎn)潔的證明。

分析：該極限與上一例題本是同根生，進(jìn)行換元代換可以化為上一例題，但此題也可構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算。

分析：在極限的運(yùn)算中，該極限一般采用根式有理化的方式計(jì)算。但學(xué)生初次見到這個(gè)題目一般會(huì)有點(diǎn)懵，主要原因是一般的根式有理化中的題目一般都是比較具體的數(shù)字，如很少同時(shí)出現(xiàn)x和Δx。若是對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式熟悉，此題也可另辟新徑，下面的計(jì)算過程非常簡(jiǎn)單根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極限形式

得

3 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義形式可知，導(dǎo)數(shù)的極限形式本質(zhì)上是函數(shù)增量與自變量增量之比在自變量增量趨于零時(shí)的極限，故應(yīng)用其求極限的本質(zhì)就是根據(jù)要證明或計(jì)算的極限形式，構(gòu)造某個(gè)具體函數(shù)的“增量之比”的極限，從而解決問題。

通過以上例題我們可以發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的定義來證明或計(jì)算一些極限，給學(xué)生一種耳目一新的體驗(yàn)，增加了一種新的計(jì)算極限的方法。同時(shí)也加深了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的極限形式的記憶和理解，拓展了導(dǎo)數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用空間。