MEMS穿孔板微執(zhí)行器動(dòng)態(tài)Pull-in特性分析*

季蒞蒞,方玉明,孜乃提古麗·布爾漢,戚 舉,艾昕晨

(南京郵電大學(xué)電子與光學(xué)工程學(xué)院、微電子學(xué)院,南京 210023)

微執(zhí)行器是MEMS的核心部分,它既可以為微系統(tǒng)提供動(dòng)力,也可以成為微系統(tǒng)的操作和執(zhí)行單元,其中靜電驅(qū)動(dòng)的微執(zhí)行器是應(yīng)用最廣泛的執(zhí)行器之一。在靜電驅(qū)動(dòng)MEMS執(zhí)行器中,Pull-in現(xiàn)象是一個(gè)重要的影響因素,它限制了執(zhí)行器的行程范圍,Pull-in現(xiàn)象[1-9]包括靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種。

在實(shí)際的應(yīng)用中,有些器件需要避免Pull-in現(xiàn)象,例如壓力傳感器[10]必須預(yù)防Pull-in現(xiàn)象的發(fā)生,因?yàn)閮蓚€(gè)板之間的吸合會(huì)導(dǎo)致短路,使器件無(wú)法繼續(xù)操作。但是,在有些應(yīng)用中,Pull-in現(xiàn)象也可以被加以利用,例如在MEMS開(kāi)關(guān)[5]中,將驅(qū)動(dòng)電壓調(diào)至Pull-in電壓附近,可以利用Pull-in現(xiàn)象關(guān)閉開(kāi)關(guān),從而降低了輸入電壓。通常,在MEMS的設(shè)計(jì)中,為了加速釋放或者減小阻尼,會(huì)在平板上加工釋放孔或叫做阻尼孔[11],從而減小壓膜阻尼的影響。例如,在RF MEMS開(kāi)關(guān)中,會(huì)采用具有刻蝕孔的穿孔結(jié)構(gòu)來(lái)作為開(kāi)關(guān)的釋放膜,而利于膜的釋放,減少驅(qū)動(dòng)過(guò)程中的阻尼[12]。

MEMS執(zhí)行器中的Pull-in現(xiàn)象一直是人們的研究熱點(diǎn)。Farokhi H[2]等人利用Meijs-Fokkema公式建模,研究了考慮邊緣場(chǎng)效應(yīng)下,MEMS靜電諧振器的動(dòng)力學(xué)行為;Koochi A[3]等人基于Gurtin-Murdoch的表面彈性原理,研究了表面能對(duì)納米橋的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)Pull-in參數(shù)的影響;Liao L D[4]等人以五階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的封閉解預(yù)測(cè)Pull-in參數(shù),研究執(zhí)行器規(guī)格和壓膜阻尼效應(yīng)對(duì)圓形板電容式執(zhí)行器Pull-in現(xiàn)象的影響,發(fā)現(xiàn)可動(dòng)板厚度的變化會(huì)改變壓膜阻尼效應(yīng)對(duì)Pull-in電壓值的影響。并且,Harsha C S[6]等人研究了壓膜阻尼對(duì)于靜電驅(qū)動(dòng)微開(kāi)關(guān)的影響,利用壓膜阻尼可以增大Pull-in電壓并使系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)環(huán)境下更穩(wěn)定。Liu J[7]指出當(dāng)上電極寬度增大或者上下電極之間間距減小到一定程度時(shí),阻尼作用力甚至可以與驅(qū)動(dòng)的靜電力達(dá)到同一數(shù)量級(jí)。

如今,有關(guān)穿孔板的靜態(tài)Pull-in參數(shù)已經(jīng)有了較為詳細(xì)研究成果[1],因此本文主要基于穿孔板的結(jié)構(gòu),介紹靜電驅(qū)動(dòng)原理和Pull-in現(xiàn)象,并通過(guò)能量法進(jìn)行理論分析,將理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,探究不同阻尼比下,微執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)Pull-in現(xiàn)象,得到阻尼大小對(duì)Pull-in參數(shù)的影響。

1 靜電驅(qū)動(dòng)原理及結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

1.1 靜電驅(qū)動(dòng)原理

兩端固支的穿孔板微執(zhí)行器結(jié)構(gòu)如圖1所示。可動(dòng)板中間帶孔結(jié)構(gòu)為上電極,不可變形的固定板為下電極,支撐結(jié)構(gòu)的四根腿長(zhǎng)Lleg,寬Wleg。當(dāng)在上下驅(qū)動(dòng)電極之間施加驅(qū)動(dòng)電壓時(shí),在靜電力的作用下,固支梁產(chǎn)生變形向下?lián)锨鶾8],隨著電壓增大,梁的撓度增加,當(dāng)電壓超過(guò)臨界電壓時(shí),上電極會(huì)被吸合到下電極上,從而發(fā)生Pull-in現(xiàn)象。

圖1 兩端固支穿孔板靜電微執(zhí)行器結(jié)構(gòu)

1.2 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

當(dāng)對(duì)穿孔板微執(zhí)行器結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能分析時(shí),可以將靜電驅(qū)動(dòng)梁假設(shè)為彈簧諧振系統(tǒng),如圖2所示。B板為固定板,A板為可動(dòng)板,板間間距為g0。穿孔板的長(zhǎng)為l、寬為w、高為h,穿孔的形狀為邊長(zhǎng)為a的正方形,且孔邊緣與孔邊緣的間距為d,孔邊緣與板邊緣的間距為r。

圖2 穿孔板靜電微執(zhí)行器簡(jiǎn)化模型

該系統(tǒng)為阻尼機(jī)械系統(tǒng)模型,B板固定,A板與彈簧相連。A板受靜電力和彈簧回復(fù)力共同作用,只能上下垂直移動(dòng)。

在靜態(tài)分析系統(tǒng)中,忽略慣性和阻尼的作用,可動(dòng)板不會(huì)產(chǎn)生振蕩。在兩極板之間施加固定電壓值,在電場(chǎng)力作用下,可動(dòng)板向下移動(dòng),兩極板間距變小,彈簧形變,可動(dòng)板同時(shí)受到彈簧回復(fù)力,系統(tǒng)在電場(chǎng)力和彈簧回復(fù)力的作用下,達(dá)到平衡,極板也處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)電壓增加到一定值時(shí),極板會(huì)移動(dòng)到一個(gè)臨界的平衡位置,此時(shí),若繼續(xù)增加電壓或者給系統(tǒng)一個(gè)微小的擾動(dòng),系統(tǒng)失穩(wěn),可動(dòng)板立刻吸合到固定板。對(duì)應(yīng)的臨界點(diǎn)即為靜態(tài)Pull-in點(diǎn),此時(shí)的電壓為靜態(tài)Pull-in電壓[9]。

在動(dòng)態(tài)分析系統(tǒng)中,在兩極板之間施加階躍電壓信號(hào),能量瞬間注入系統(tǒng),可動(dòng)板發(fā)生位移并且在第一個(gè)周期移動(dòng)到最大位移。由于慣性的存在,如果未到達(dá)Pull-in點(diǎn),可動(dòng)板將做周期性的等幅振蕩運(yùn)動(dòng)(忽略阻尼)或衰減的周期振蕩運(yùn)動(dòng)(考慮阻尼);若到達(dá)Pull-in位置,可動(dòng)板到達(dá)最大位移處將立即吸合到固定板。

2 理論分析

靜電微執(zhí)行器在加載階躍電壓信號(hào)后,要發(fā)生Pull-in現(xiàn)象,需要一定量的能量瞬間注入到系統(tǒng)中,下面利用機(jī)械系統(tǒng)的能量存儲(chǔ)和轉(zhuǎn)換,采用“能量法”,利用整個(gè)系統(tǒng)的能量變化來(lái)研究穿孔板靜電微執(zhí)行器在施加階躍電壓信號(hào)后Pull-in特性。

階躍電壓信號(hào)的表達(dá)式為:

v(t)=V0U(t)

(1)

式中:U(t)為單位階躍函數(shù),V0為幅值,圖3為階躍電壓信號(hào),下文中涉及的施加電壓值均指階躍電壓的幅值。

圖3 階躍電壓信號(hào)

在施加電壓前,整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),施加電壓后,系統(tǒng)瞬間被注入能量,可動(dòng)板發(fā)生運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)能,同時(shí)彈簧發(fā)生形變產(chǎn)生彈性勢(shì)能,并且伴隨著可動(dòng)板的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生阻尼消耗。因此,整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)式[4]為:

Ein=Ekine+Epoten+Edamp

(2)

式中:Ein為注入系統(tǒng)的能量,Ekine為系統(tǒng)的動(dòng)能,Epoten為系統(tǒng)的勢(shì)能,Edamp為阻尼消耗的能量。加載階躍電壓信號(hào)后,可動(dòng)板發(fā)生運(yùn)動(dòng),產(chǎn)生位移,此時(shí)可動(dòng)板受到垂直向下的靜電引力Felec和垂直向上的彈性力Felas。

(3)

Felas=kx

(4)

式中:x為可動(dòng)板的位移,g0為兩極板的初始間距,ε為介電常數(shù),A為兩極板的正對(duì)面積,V0為階躍電壓的幅值,k為等效的彈簧彈性系數(shù)。

2.1 忽略阻尼的理論計(jì)算

在真空中,阻尼很小,可以忽略不計(jì),即Edamp=0。且當(dāng)可動(dòng)板到達(dá)最大位移時(shí),所有能量轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能,則Ekine=0,因此式(2)轉(zhuǎn)化為:

(5)

進(jìn)行積分處理,所施加階躍電壓的幅值V0與可動(dòng)板的位移有如下式(6)的關(guān)系

(6)

(7)

2.2 考慮阻尼的理論計(jì)算

在實(shí)際MEMS應(yīng)用中,當(dāng)兩個(gè)平行板做相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),其間的氣體受到擠壓而表現(xiàn)出一種阻尼效應(yīng),這種阻尼稱(chēng)作壓膜阻尼。壓膜阻尼對(duì)MEMS結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性影響很大,阻尼越大,其系統(tǒng)的品質(zhì)因子就越小。有時(shí)可以主動(dòng)利用這種關(guān)系來(lái)調(diào)節(jié)微機(jī)械結(jié)構(gòu)的品質(zhì)因子以降低阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響[13]。

本小節(jié)主要研究靜電微執(zhí)行器受阻尼影響后的特性,考慮阻尼效應(yīng)的非線(xiàn)性振動(dòng)方程為式(8)。

(8)

式中:m為可動(dòng)板的質(zhì)量。為了考慮阻尼條件下的Pull-in失穩(wěn)特性,引入新變量固有頻率ω0和阻尼比ζ與阻尼系數(shù)μ相關(guān)聯(lián)[1],其中,阻尼比ζ為阻尼系數(shù)μ與臨界阻尼系數(shù)μr之比,式(9)為各變量之間的關(guān)系。

(9)

則式(8)可表示為:

(10)

可見(jiàn),這是一個(gè)非線(xiàn)性常微分方程,難以獲得精確的解析式。因此,下文中有關(guān)考慮阻尼的理論值通過(guò)MATLAB,采用龍格-庫(kù)塔法[8]對(duì)式(10)進(jìn)行微分方程的求解,并與ANSYS仿真值進(jìn)行對(duì)比,從而研究阻尼對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性規(guī)律。

3 算例分析

本節(jié)主要采用商業(yè)FEM軟件ANSYS對(duì)穿孔板微執(zhí)行器進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真,對(duì)平行板和帶狀效率α分別為72.73%、63.64%、54.55%的穿孔板進(jìn)行仿真,帶狀效率α=d/(孔間距),定義α為孔-孔邊緣間距與孔-孔中心間距之比[14],仿真模型俯視圖如圖4所示。

圖4 仿真模型俯視圖

器件所采用的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)和其他仿真參數(shù)如下:可動(dòng)板長(zhǎng)l為50 μm,寬w為50 μm,厚h為2 μm;孔邊長(zhǎng)a為5 μm,可動(dòng)板與固定板的初始間距g0為2 μm;真空中的介電常數(shù)ε0為8.854×10-12F/m,空氣的相對(duì)介電常數(shù)εr為1;可動(dòng)板的楊氏模量E為70 GPa,材料密度ρ為2 700 kg/m3;根據(jù)固支梁彈性系數(shù)[14]計(jì)算公式k=4EWleg(h/Lleg)3,可得等效的彈簧彈性系數(shù)k值為35.84 N/m。

ANSYS仿真涉及到靜電場(chǎng)與結(jié)構(gòu)場(chǎng)之間的耦合,進(jìn)行靜電結(jié)構(gòu)耦合分析,就得解決靜電場(chǎng)與結(jié)構(gòu)場(chǎng)之間參數(shù)交換的問(wèn)題,因此在分析過(guò)程中在兩個(gè)場(chǎng)接觸面創(chuàng)建TRANS126單元[15]。TRANS126代表將能量從靜電場(chǎng)轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)場(chǎng)的轉(zhuǎn)換單元,充分耦合了機(jī)電領(lǐng)域。

3.1 壓膜阻尼對(duì)Pull-in電壓影響

圖5為不同阻尼比下,在平行板間施加45 V電壓的仿真圖。從圖5可以看出,對(duì)于相同規(guī)格的微執(zhí)行器,因?yàn)橛袎耗ぷ枘岬拇嬖?系統(tǒng)的總能量在振蕩過(guò)程中不斷耗散,隨著阻尼比的增大,可動(dòng)板在第一周期內(nèi)到達(dá)的最大位移將減小,動(dòng)能和勢(shì)能的最大值也將不斷減小,因此臨界Pull-in電壓值也會(huì)因壓膜阻尼的存在而產(chǎn)生變化。

圖6為對(duì)于不同帶狀效率的可動(dòng)板,阻尼比對(duì)Pull-in電壓的影響。

圖5 不同阻尼比下,電壓45 V時(shí)平行板的振蕩曲線(xiàn)

圖6 阻尼比與Pull-in電壓的關(guān)系

從圖6可以看出,通過(guò)龍格-庫(kù)塔法求解出的Pull-in電壓理論值與ANSYS仿真值基本吻合,并且,不管是在哪一種結(jié)構(gòu)中,壓膜阻尼效應(yīng)均會(huì)使得其Pull-in電壓比忽略阻尼情況時(shí)增大;當(dāng)阻尼比小于0.4時(shí),微執(zhí)行器所需要的動(dòng)態(tài) Pull-in 失穩(wěn)電壓會(huì)隨著阻尼比的增大而增大;當(dāng)阻尼比大于0.4時(shí),動(dòng)態(tài)Pull-in電壓將與其靜態(tài) Pull-in 電壓值一致。

3.2 壓膜阻尼對(duì)Pull-in位移影響

對(duì)于靜電微執(zhí)行器,Pull-in參數(shù)不僅有Pull-in電壓,也有Pull-in位移,下面對(duì)不同的可動(dòng)板進(jìn)行ANSYS仿真,通過(guò)MATLAB的擬合功能,對(duì)得到的離散點(diǎn)進(jìn)行擬合,得到不同的阻尼比對(duì)Pull-in位移的影響,如圖7所示。

從圖7可以看出,不管是在哪一種結(jié)構(gòu)中,壓膜阻尼效應(yīng)均會(huì)使得其Pull-in位移比忽略阻尼情況時(shí)減小;當(dāng)阻尼比小于0.5時(shí),微執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)Pull-in位移會(huì)隨著阻尼比的增大而減小。并且當(dāng)阻尼比大于0.5時(shí),動(dòng)態(tài)Pull-in位移將穩(wěn)定在其靜態(tài)Pull-in位移附近。

圖7 阻尼比與Pull-in位移的關(guān)系

4 結(jié)論

本文研究了穿孔板靜電微執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)Pull-in現(xiàn)象,通過(guò)能量法分析和ANSYS仿真,對(duì)忽略和考慮空氣壓膜阻尼兩種情況下的Pull-in參數(shù)進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果表明:壓膜阻尼效應(yīng)會(huì)增大動(dòng)態(tài)Pull-in電壓,減小動(dòng)態(tài)Pull-in位移。當(dāng)阻尼比大于0.4,動(dòng)態(tài)Pull-in電壓將增大到靜態(tài)Pull-in電壓;當(dāng)阻尼比大于0.5,動(dòng)態(tài)Pull-in位移將減小至靜態(tài)Pull-in位移處。